線性回歸方程(提高)

1、.線性回歸方程(提高)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.明確兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的意義；2.知道回歸分析的意義；3.知道回歸直線、回歸直線方程、線性回歸分析的意義；4.掌握對兩個(gè)變量進(jìn)行線性回歸的方法和步驟，并能借助科學(xué)計(jì)算器確定實(shí)際問題中兩個(gè)變量間的回歸直線方程；要點(diǎn)梳理要點(diǎn)一、變量之間的相關(guān)關(guān)系變量與變量之間存在著兩種關(guān)系：一種是函數(shù)關(guān)系，另一種是相關(guān)關(guān)系。1函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，如y=kx+b，變量取的每一個(gè)值，都有唯一確定的值和它相對應(yīng)。2相關(guān)關(guān)系變量間確定存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性相關(guān)關(guān)系分為兩種:正相關(guān)和負(fù)相關(guān)要點(diǎn)詮釋：對相關(guān)關(guān)系的理解應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn)：（1）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)

2、系不同.因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)系是一種非常確定 的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系.而函數(shù)關(guān)系可以看成是兩個(gè)非隨機(jī)變量之間的關(guān)系.因此，不能把相關(guān)關(guān)系等同于函數(shù)關(guān)系.（2）函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系.例如，有人發(fā)現(xiàn)，對于在校兒童，鞋的大小與閱讀能力有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系.然而，學(xué)會新詞并不能使腳變大，而是涉及到第三個(gè)因素年齡.當(dāng)兒童長大一些，他們的閱讀能力會提高而且由于長大腳也變大.（3）函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系之間有著密切聯(lián)系，在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化.例如正方形面積S與其邊長x間雖然是一種確定性關(guān)系，但在每次測量邊長時(shí)，由于

3、測量誤差等原因，其數(shù)值大小又表現(xiàn)出一種隨機(jī)性.而對于具有線性關(guān)系的兩個(gè)變量來說，當(dāng)求得其回歸直線后，我們又可以用一種確定性的關(guān)系對這兩個(gè)變量間的關(guān)系進(jìn)行估計(jì).3散點(diǎn)圖將收集到的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分別作為橫、縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，這樣的圖叫做散點(diǎn)圖。通過散點(diǎn)圖可初步判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，她反映了各數(shù)據(jù)的密切程度。要點(diǎn)二、正相關(guān)、負(fù)相關(guān)（1）正相關(guān)：在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中的兩個(gè)變量，一個(gè)變量的值由小變大時(shí)，另一個(gè)變量的值也由小變大，這種相關(guān)稱為正相關(guān)。如：家庭年收入越高，年飲食支出越高。反映在散點(diǎn)圖上它們散布在從左下角到右上角的區(qū)域，按表中所列數(shù)據(jù)制作散點(diǎn)圖如圖A0510152025303

4、5B54167602.66670.09704.99806.71908.59975.421034.75（2）負(fù)相關(guān)：如果兩個(gè)變量中，一個(gè)變量的值由小到大變化時(shí)，另一個(gè)變量的值由大到小變化，那么這種相關(guān)稱為負(fù)相關(guān)。在散點(diǎn)圖中，對應(yīng)數(shù)據(jù)的位置為從左上角到右下角的區(qū)域。按表中所列數(shù)據(jù)制作的散點(diǎn)圖如圖。C581618283035D64565042373221（3）無相關(guān)關(guān)系：如果關(guān)于兩個(gè)變量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如下圖所示，那么這兩個(gè)變量之間不具有相關(guān)關(guān)系。例如，學(xué)生的身高與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績沒有相關(guān)關(guān)系。要點(diǎn)詮釋：利用散點(diǎn)圖可以大致判斷兩個(gè)變量之間有無相關(guān)關(guān)系。要點(diǎn)三、線性回歸方程1. 回歸直線方程（1）回歸直

5、線：觀察散點(diǎn)圖的特征，發(fā)現(xiàn)各個(gè)大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近。如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線。求出的回歸直線方程簡稱回歸方程。2回歸直線方程的求法設(shè)與個(gè)觀測點(diǎn)（）最接近的直線方程為，其中a、b是待定系數(shù).則.于是得到各個(gè)偏差.顯見，偏差的符號有正有負(fù)，若將它們相加會造成相互抵消，所以它們的和不能代表幾個(gè)點(diǎn)與相應(yīng)直線在整體上的接近程度，故采用n個(gè)偏差的平方和.表示n個(gè)點(diǎn)與相應(yīng)直線在整體上的接近程度.記.上述式子展開后，是一個(gè)關(guān)于a、b的二次多項(xiàng)式，應(yīng)用配方法，可求出使Q為最小值時(shí)的a、b的值.即，相應(yīng)的直線叫

6、做回歸直線，對兩個(gè)變量所進(jìn)行的上述統(tǒng)計(jì)分析叫做回歸分析上述求回歸直線的方法是使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法，叫做最小二乘法。要點(diǎn)詮釋：1.對回歸直線方程只要求會運(yùn)用它進(jìn)行具體計(jì)算a、b，求出回歸直線方程即可.不要求掌握回歸直線方程的推導(dǎo)過程.2.求回歸直線方程，首先應(yīng)注意到，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)標(biāo)意義.否則，求出的回歸直線方程毫無意義.因此，對一組數(shù)據(jù)作線性回歸分析時(shí)，應(yīng)先看其散點(diǎn)圖是否成線性.3.求回歸直線方程，關(guān)鍵在于正確地求出系數(shù)a、b，由于求a、b的計(jì)算量較大，計(jì)算時(shí)仔細(xì)謹(jǐn)慎、分層進(jìn)行，避免因計(jì)算產(chǎn)生失誤.4.回歸直線方程在現(xiàn)實(shí)生活與生

7、產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用.應(yīng)用回歸直線方程可以把非確定性問題轉(zhuǎn)化成確定性問題，把“無序”變?yōu)椤坝行颉?，并對情況進(jìn)行估測、補(bǔ)充.因此，學(xué)過回歸直線方程以后，應(yīng)增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用回歸直線方程解決相關(guān)實(shí)際問題的意識.典型例題類型一：變量間的相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系1下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系中，不是函數(shù)關(guān)系的是（ ）A角度和它的余弦值 B正方形的邊長和面積C正n邊形的邊數(shù)和其內(nèi)角度數(shù)之和 D人的年齡和身高【答案】D【解析】函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系。而相關(guān)關(guān)系是非確定性關(guān)系。選項(xiàng)A、B、C都是函數(shù)關(guān)系，可以寫出它們的函數(shù)表達(dá)式：，選項(xiàng)D不是函數(shù)關(guān)系，在相同年齡的人群中，仍可以有不同身高的人，故選D【總結(jié)升華】本題考查非數(shù)據(jù)型

8、兩個(gè)變量的相關(guān)性判斷要根據(jù)兩個(gè)變量之間是否具有確定性關(guān)系及因素關(guān)系進(jìn)行判斷【變式1】下列圖形中具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量是（ ）【答案】C【解析】A、B中顯然任給一個(gè)x都有唯一確定的y值和它對應(yīng)，是函數(shù)關(guān)系；C中從散點(diǎn)圖可看出所有點(diǎn)看上去都在某條直線附近波動(dòng)，具有相關(guān)關(guān)系，因此變量間是不相關(guān)的?！咀兪?】下列關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是_（填序號）人的年齡與他擁有的財(cái)富之間的關(guān)系；曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；森林中的同一種樹木，其斷面直徑與高度之間的關(guān)系；學(xué)生與其學(xué)號之間的關(guān)系【答案】2某小賣部為了解熱茶銷售量與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)并制作了某6天賣出熱茶杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的

9、對比表。氣溫x2618131041杯數(shù)y202434395064請畫出散點(diǎn)圖，并判斷它們是否有相關(guān)關(guān)系?！窘馕觥可Ⅻc(diǎn)圖如下圖： 從圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與杯數(shù)之間具有相關(guān)關(guān)系，當(dāng)氣溫的值由小到大變化時(shí)杯數(shù)值由大變小，所以氣溫和杯數(shù)成負(fù)相關(guān)。【總結(jié)升華】畫出散點(diǎn)圖可幫助分析變量間是否具有相關(guān)關(guān)系，但不是唯一的判斷途徑?！咀兪?】下表是某地的年降雨量與年平均氣溫，判斷兩者是相關(guān)關(guān)系嗎？求回歸直線方程有意義嗎？年平均氣溫（）12.5112.7412.7413.6913.3312.8413.05年降雨量（mm）748542507813574701432【解析】以x軸為年平均氣溫，y軸為年降雨量，可得相應(yīng)的散點(diǎn)圖

10、如下圖所示。因?yàn)閳D中各點(diǎn)并不在一條直線的附近，所以兩者不具有相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程是沒有意義的?！究偨Y(jié)升華】用回歸直線進(jìn)行擬合兩變量關(guān)系的一般步驟為：作出散點(diǎn)圖，判斷各點(diǎn)是否散布在一條直線附近。如果各點(diǎn)散布在一條直線附近，那么可用公式求出線性回歸方程；如果各點(diǎn)不在一條直線附近，那么求出的回歸直線方程沒有意義。類型二：回歸直線方程的求解3在鋼鐵中碳含量對于電阻的效應(yīng)的研究中，得到如下表所示的一組數(shù)據(jù)：碳含量%0.100.300.400.550.700.800.9520時(shí)電阻1518192122.623.826（1）畫出散點(diǎn)圖；（2）求回歸方程【解析】由散點(diǎn)圖知能用回歸直線擬合樣本數(shù)據(jù)，然后，利

11、用表中的數(shù)據(jù)，可以得到，計(jì)算公式中所需的數(shù)據(jù)，代入易得，（1）作出散點(diǎn)圖如下圖所示（2）由散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，可求回歸方程由表中的數(shù)據(jù)可求得，則， 所以回歸方程為【總結(jié)升華】求線性回歸直線方程的步驟為：第一步：列表；第二步：計(jì)算；第三步：代入公式計(jì)算的值；第四步：寫出直線方程.【變式1】 某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x（萬元）4235銷售額y（萬元）49263954根據(jù)上表可得回歸方程中的為94，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為A636萬元 B655萬元 C677萬元 D720萬元【答案】選B【解析】，回歸方程為，當(dāng)時(shí)，=65.5，故

12、選B.【變式2】 觀察兩相關(guān)變量得如下數(shù)據(jù)：x1234553421y9753115379求兩變量間的回歸方程【答案】【解析】列表：i12345678910xi1234553421yi9753115379xiyi9141512551512149計(jì)算得：，。，。所求回歸直線方程為。類型三：利用回歸直線對總體進(jìn)行估計(jì)4給出了隨機(jī)抽取的10位男性的收縮血壓.年齡x(歲）收縮壓y(毫米汞柱）年齡x(歲）收縮壓y(毫米汞柱）37110501463511749148411255415043130601544213865160（1）畫出散點(diǎn)圖；（2）求出收縮壓與年齡之間的回歸直線；（3）利用所求回歸直線分別預(yù)

13、測20歲、45歲的人的收縮壓是多少？（4）就（3）所得預(yù)測結(jié)果，比較其預(yù)測的精確性?！窘馕觥浚?）散點(diǎn)圖為：（2）收縮壓與年齡之間的回歸直線 列表：序號xyx2xy1371101369407023511712254095341125168151254431301849559054213817645796650146250073007491482401725285415029168100960154360092401065160422510400求和47613782353066968 所以y對x的回歸直線方程為：（3）根據(jù)所求的回歸直線方程可以預(yù)測20歲的收縮壓為 45歲的收縮壓為：毫米汞柱（4

14、）預(yù)測20歲的結(jié)果時(shí)，20是外推的，所以不是很精確；而45是內(nèi)插值，所以精確性比20的預(yù)測結(jié)果要好。【總結(jié)升華】只有當(dāng)兩個(gè)變量之間存在線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，才能用回歸直線方程對總體進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測否則，如果兩個(gè)變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，即使由樣本數(shù)據(jù)求出回歸直線方程，用其估計(jì)和預(yù)測結(jié)果也是不可信的【變式1】為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對父子的身高數(shù)據(jù)如下：父親身高x（cm）174176176176178兒子身高y（cm）175175176177177則y對x的線性回歸方程為（ ）【答案】C【變式2】下表是某地搜集到的新房屋的銷售價(jià)格y，（單位：萬元）和房屋的面積x（單位：m。）的數(shù)據(jù)

15、： x11511080135105 y44.841.638.449.242（1）畫出散點(diǎn)圖；（2）求回歸方程；（3）根據(jù)（2）的結(jié)果估計(jì)當(dāng)房屋面積為150 m2時(shí)的銷售價(jià)格【解析】據(jù)已知樣本數(shù)據(jù)得到回歸直線方程后，即得到兩個(gè)變量之間相關(guān)關(guān)系的一個(gè)規(guī)律，因此可將給定的x值代入回歸直線方程預(yù)測y值（1）散點(diǎn)圖如下圖所示 （2）由散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，可求回歸方程由表中的數(shù)據(jù)， 用計(jì)算器計(jì)算得， 則，故所求回歸方程為（3）根據(jù)上面求得的回歸方程，當(dāng)房屋面積為1500時(shí)銷售價(jià)格的估計(jì)值為0.196150+21.836=51.236（萬元）鞏固練習(xí)1下列所給出的兩個(gè)變量之間存在

16、相關(guān)關(guān)系的是（ ）A學(xué)生的座號與數(shù)學(xué)成績B學(xué)生的學(xué)號與身高C曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系D學(xué)生的身高與體重2下列各圖中所示兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的是（ ）A B C D3一位母親記錄了她兒子3歲到9歲的身高，建立了兒子身高 （單位：cm）與年齡的回歸方程為，用這個(gè)方程預(yù)測兒子10歲時(shí)的身高，則下面的敘述正確的是（ ）A她兒子10歲時(shí)的身高一定是145.83 cmB她兒子10歲時(shí)的身高在145.83 cm以上C她兒子10歲時(shí)的身高在145.83 cm左右D她兒子10歲時(shí)的身高在145.83 cm以下4對變量x，y，有觀測數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，10），得散點(diǎn)圖（1）；對變量u，v有觀測

17、數(shù)據(jù)（ui，vi）（i=1，2，10），得散點(diǎn)圖（2）由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷（ ）A變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)5變量X與Y相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；變量U與V相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則()A B C D6下列說法中，錯(cuò)誤的是（ ）A如果變量x與y之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，那么根據(jù)實(shí)驗(yàn)

18、數(shù)據(jù)得到的點(diǎn)（xi，yi）（i=1，2，n）將散布在某一條直線的附近B如果變量x和y之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，那么根據(jù)它們的一組數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，n）不能寫出一個(gè)線性回歸方程C設(shè)x、y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，且y關(guān)于x的線性回歸方程為，、就是回歸系數(shù)D為使求出的線性回歸直線方程有意義，可用統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)的方法來判斷變量x和y之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系7已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357則y與x的線性回歸方程為必過( )A.(2，2)點(diǎn)B.(1.5，0)點(diǎn)C.(1，2)點(diǎn) D.(1.5，4)點(diǎn)8為了考察兩個(gè)變量x和y之間的線性關(guān)系，甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立做了10次和15次試

19、驗(yàn)，并且利用線性回歸方法求得回歸直線分別為1、2，已知兩人得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中，變量x和y的數(shù)據(jù)的平均值都相等，且分別都是s、t，那么下列說法正確的是（ ）A直線1和2一定有公共點(diǎn)（s，t）B直線1和2相交，但交點(diǎn)不一定是（s，t）C必有直線12D1和2必定重合9經(jīng)實(shí)驗(yàn)得（x，y）的四個(gè)值，即（1，2），（2，3），（3，4），（4，5）y與x之間的回歸直線方程是_10回歸分析是處理變量之間的_關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，稱相應(yīng)的回歸分析為_11為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時(shí)間x（單位：小時(shí)）與當(dāng)天投籃命中率y

20、之間的關(guān)系：時(shí)間x12345命中率y0.40.50.60.60.4小李這5天的平均投籃命中率為_；用線性回歸分析的方法，預(yù)測小李該月6號打6小時(shí)籃球的投籃命中率為_。12某農(nóng)場糧食產(chǎn)量的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示，從圖中我們可以看到前年的糧食總產(chǎn)量與之間的關(guān)系。則從目前的統(tǒng)計(jì)結(jié)果來看，前_年的年平均糧食產(chǎn)量最高。 13假設(shè)學(xué)生在七年級和八年級數(shù)學(xué)成績是線性相關(guān)的，若10個(gè)學(xué)生七年級（x）和八年級（y）數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)如下x74717268767367706574y76757170767965776272試求七年級和八年級數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)間的回歸直線方程14一般來說，一個(gè)人的身高越高，他的手就越大，為調(diào)查這一問題，對某校

21、10名高一男生的身高與右手長度進(jìn)行測量得到如下數(shù)據(jù)（單位：cm）：身高168170171172174176178178180181右手長度19.020.021.021.521.022.024.023.022.523.0（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)制作散點(diǎn)圖，判斷兩者有無線性相關(guān)關(guān)系；（2）如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸方程；（3）如果一名同學(xué)身高為185 cm，估計(jì)他的右手長【答案與解析】1【答案】D 【解析】A與B中的兩個(gè)變量之間沒有任何關(guān)系；C中的兩個(gè)變量之間具有函數(shù)關(guān)系故選D2【答案】D 【解析】具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的數(shù)據(jù)所對應(yīng)的圖形是散點(diǎn)圖，能反映兩個(gè)變量的變化規(guī)律， 它們之間是相關(guān)關(guān)系故選D3【答案】C