多維隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,分布函數(shù)能夠完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特 性，但在一些實(shí)際問題中，只需知道隨機(jī)變量的 某些特征，因而不需要求出它的分布函數(shù),評定某企業(yè)的經(jīng)營能力時，只要知道該企業(yè) 人均贏利水平,例如,研究水稻品種優(yōu)劣時，我們關(guān)心的是稻穗的 平均粒數(shù)及每粒的平均重量,檢驗(yàn)棉花的質(zhì)量時，既要注意纖維的平均長 度，又要注意 纖維長度與平均長度的偏離程度， 平均長度越長、偏離程度越小，質(zhì)量就越好,考察一射手的水平，既要看他的平均環(huán)數(shù) 是否高，還要看他彈著點(diǎn)的范圍是否小，即數(shù) 據(jù)的波動是否小,由上面例子看到，與隨機(jī)變量有關(guān)的某些 數(shù)值，雖不能完整地描述隨機(jī)變量，但能清晰 地描述隨機(jī)變量在某些方

2、面的重要特征 , 這些 數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都具有重要意義,隨機(jī)變量某一方面的概率特性 都可用數(shù)字來描寫,定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量X 的分布列為,若無窮級數(shù),絕對收斂，則稱其和為隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望 記為,1. 數(shù)學(xué)期望的定義,4.1 數(shù)學(xué)期望,設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的概率密度為,若積分,絕對收斂，則稱此積分的值為隨機(jī)變量 X 的 數(shù)學(xué)期望，記為,數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱均值,注意:數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量取值的平均值,它是一種加權(quán)平均,解,例1,例2,解,例3,解,例4,解,例5,解,例6,解,常見隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,區(qū)間(a,b)上的 均勻分布,E(,N(, 2,2. 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),解,引

3、入隨機(jī)變量,則有,例7,故,次,例8,解,3. 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,例9,解,解,例10,例11,解,解,例12 設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量 的概率密度為,數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),注意,3. 數(shù)學(xué)期望的簡單應(yīng)用,市場上對某種產(chǎn)品每年的需求量為X 噸 ， X U 2000,4000 , 每出售一噸可賺3萬元 , 售不出去，則每噸需倉庫保管費(fèi)1萬元，問 應(yīng)該生產(chǎn)這中商品多少噸, 才能使平均利潤 最大,例13,解,設(shè)每年生產(chǎn) y 噸的利潤為 Y,2000 y 4000,故 y = 3500 時，EY 最大， EY = 8250萬元,為普查某種疾病, n 個人需驗(yàn)血, 可采用兩種 方法驗(yàn)血： 分別化驗(yàn)每個人的血,

4、 共需化驗(yàn) n 次； 將 k 個人的血混合在一起化驗(yàn)，若化驗(yàn)結(jié) 果為陰性, 則此 k 個人的血只需化驗(yàn)一次； 若為陽性, 則對 k 個人的血逐個化驗(yàn)，找 出有病者, 這時 k 個人的血需化驗(yàn) k + 1 次. 設(shè)某地區(qū)化驗(yàn)呈陽性的概率為 p，且每個 人是否為陽性是相互獨(dú)立的. 試說明選擇哪一 種方法可以減少化驗(yàn)次數(shù),驗(yàn)血方案的選擇,解 為簡單計(jì)，設(shè) n 是 k 的倍數(shù)， 設(shè)共分成 n / k 組,第 i 組需化驗(yàn)的次數(shù)為X i,若,則EX n,例如,4.2,例1,解,例2,解,4.3 方差,引例 檢驗(yàn)兩批燈泡的質(zhì)量,從中分別隨機(jī)抽樣5只,測得使用壽命(單位:小時)如下: A: 2000 150

5、0 1000 500 1000 B: 1500 1500 1000 1000 1000 試比較這兩批燈泡質(zhì)量的好壞,計(jì)算得:平均壽命分別為:A:1200 B:1200,觀察得:A中使用壽命偏離較大,B中使用壽命 偏離較小,所以,B產(chǎn)品質(zhì)量較好,數(shù)學(xué)期望,方差,1. 方差的定義,X - EX)2 隨機(jī)變量X 的取值偏離平均值的 情況, 是X的函數(shù), 也是隨機(jī)變量,E(X - EX)2 隨機(jī)變量X的取值偏離平均值的平均偏離程度 數(shù),注,方差反映了隨機(jī)變量相對其均值的偏離程度,若 X 為離散型隨機(jī)變量，概率分布為,若 X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為f (x,常用的計(jì)算方差的公式,2. 方差的性質(zhì),

6、例1 設(shè) X P (), 求 DX,解,3. 方差的計(jì)算,例2 設(shè) X B( n , p)，求 DX,解一 仿照上例求DX,解二 引入隨機(jī)變量,相互獨(dú)立,故,解,例3 設(shè) X U( a , b)，求 DX,例4 設(shè) X N ( , 2), 求 DX,解,常見隨機(jī)變量的方差,區(qū)間(a,b)上的 均勻分布,E(,N(, 2,f(x,x,0,若固定,改變,則越大,曲線越平坦, 越小,曲線越陡峭,大,方差的概念直觀背景也可以通過正態(tài)分布中不同2的密度曲線反映出來,解,例5,證,例6,例7 已知X ,Y 相互獨(dú)立，且都服從 N (0,0.5), 求 E( | X Y ,解,故,例8 設(shè)X 表示獨(dú)立射擊直

7、到擊中目標(biāo) n 次為止 所需射擊的次數(shù)，已知每次射擊中靶的概 率為 p ，求EX , DX,解 令 X i 表示擊中目標(biāo) i - 1 次后到第 i 次擊中 目標(biāo)所需射擊的次數(shù)，i = 1,2, n,相互獨(dú)立 ,且,故,例9,求 EY , DY,解,標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量,為 X 的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量. 顯然,僅知隨機(jī)變量的期望與方差并不能確定其分布, 例如,與,它們有相同 的期望,方差 但是分布 卻不同,但若已知分布的類型及期望和方差，常能 確定分布,例10 已知 X 服從正態(tài)分布, EX = 1.7, DX = 3, Y = 1 2 X , 求 Y 的密度函數(shù),解,例11 已知 X 的密度函數(shù)為,其中

8、A ,B 是常數(shù)，且 EX = 0.5,求 A ,B 設(shè) Y = X 2, 求 EY ,DY,解 (1,2,4.4 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù),問題 對于二維隨機(jī)變量(X ,Y,已知聯(lián)合分布,邊緣分布,這說明對于二維隨機(jī)變量，除了每個 隨機(jī)變量各自的概率特性以外，相互之間 可能還有某種聯(lián)系. 問題是用一個什么樣 的數(shù)去反映這種聯(lián)系,數(shù),反映了隨機(jī)變量X ,Y 之間的某種關(guān)系,定義 稱,為X ,Y 的協(xié)方差 ，記為,1. 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義,為X ,Y 的 相關(guān)系數(shù),稱,因此,方差是協(xié)方差的特例 協(xié)方差刻畫兩個隨機(jī)變量之間的“某種”關(guān)系,可以證明 若(X,Y)服從二維正態(tài)分布, 即,則,若 ( X ,Y ) 為離散型,若 ( X ,Y ) 為連續(xù)型,計(jì)算協(xié)方差的常用公式,注,注,顯然,相關(guān),不相關(guān),正相關(guān),負(fù)相關(guān),完全正相關(guān),完全負(fù)相關(guān),求 Cov (X ,Y ), XY,解,例2 設(shè) ( X ,Y ) N (