全國高中數(shù)學說課大賽教學設計一等獎作品：33《數(shù)列極限》

1、“三角函數(shù)的誘導公式(第一課時)”教學設計一、教學內容與內容解析“三角函數(shù)的誘導公式”是普通高中課程標準實驗教科書人教A版必修4第一章第三節(jié)，其主要內容是三角函數(shù)的誘導公式中的公式二至公式六，是三角函數(shù)的主要性質.學生在前面已經(jīng)學習了誘導公式一和任意角的三角函數(shù)的定義，這節(jié)課在此基礎上，繼續(xù)學習公式二至公式四.三角函數(shù)的誘導公式是圓的對稱性的“代數(shù)表示”，利用對稱性，讓學生自主發(fā)現(xiàn)終邊分別關于原點或坐標軸對稱的角的三角函數(shù)值之間的關系，使得“數(shù)”與“形”得到緊密結合，成為一個整體.通過簡單問題的提出、誘導公式的發(fā)現(xiàn)、問題的解決，體會由未知到已知的轉化，為以后的三角函數(shù)求值、化簡、簡單證明以及后

2、續(xù)學習的三角函數(shù)圖像和性質等知識打好基礎誘導公式的主要用途是把任意角的三角函數(shù)值問題轉化為求090角的三角函數(shù)值.誘導公式的推導過程，體現(xiàn)了“數(shù)形結合”和復雜到簡單的“轉化”的數(shù)學思想方法，反映了從特殊到一般的歸納思維形式對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識、發(fā)展學生的思維能力，掌握數(shù)學的思想方法具有積極的作用. 誘導公式的學習和推證過程還體現(xiàn)了三角函數(shù)之間的內部聯(lián)系，是定義的延伸與應用，在本章中起著承上啟下的作用.本節(jié)課的重點是誘導公式的探究，運用誘導公式進行簡單函數(shù)式的求值與化簡，提高對數(shù)學知識之間（圓的對稱性與三角函數(shù)性質）聯(lián)系的認識，把過去滲透在具體數(shù)學內容中的重要的方法以集中的、顯性的形式呈現(xiàn)出來，

3、使學生更加明確這些方法，并能在今后的學習中有意識地使用它們. 二、教學問題診斷分析在教師的組織和引導下學生以自主探索、動手實踐、合作交流的方式進行學習.在學習中了解和體驗公式的發(fā)生、發(fā)展過程，讓學生領會到誘導公式是前面三角函數(shù)定義、單位圓對稱性等知識的延續(xù)和拓展，應用遷移規(guī)律，引導學生聯(lián)想、類比、歸納推導公式.在教學中可能會遇到如下幾個問題：1在利用多媒體引導學生從特殊到一般的學習過程中，部分學生認為只要記住公式，會做題就可以，對公式的推導重視不夠.為了盡量避免這種情況的出現(xiàn)，我采用小組討論制，考慮到學生的個體差異，把“強”、“中”、“弱”合理搭配，安排組長監(jiān)管收集討論的結果，記錄收集每一階段

4、的過程材料.2角的任意性，怎樣向學生交代清楚是這節(jié)課我一直思考的問題.為了解決這個問題我自己利用幾何畫板制作教學課件，通過用角終邊的任意一點的拖動，顯示三角函數(shù)值在各個象限的變化，讓學生明白角不局限為第一象限的角，它具有任意性，從而突破了難點.3公式的記憶也是個難點.特別是十字口訣更是理解不深.對于幻燈片中的公式，教師對照幾何畫板課件逐字逐句的分析，讓其明白公式中的角是任意的，而記憶時將其看成銳角.另外，反思學習過程時，體會角的終邊的對稱性與三角函數(shù)值之間的關系也有利于公式的記憶.三、目標和目標解析（一）教學目標1.能借助三角函數(shù)的定義及單位圓的對稱性推導出誘導公式,會利用誘導公式進行簡單的三

5、角函數(shù)式的求值與化簡.2.通過誘導公式的推導過程，體會數(shù)形結合及轉化思想的運用.3.培養(yǎng)學生由特殊到一般的歸納意識，學會用聯(lián)系的觀點看待問題.（二）目標解析在初中學生已經(jīng)學習過關于原點、x軸以及y軸對稱的點的坐標的內在聯(lián)系，并且前面學生能運用三角函數(shù)的定義和公式一進行三角函數(shù)求值，但對于任意角的三角函數(shù)之間存在的聯(lián)系還不清楚，或者只有一點模糊的感性認識數(shù)學課程標準強調：“學生要獲得必要的數(shù)學基礎知識和基本技能，理解數(shù)學結論的本質，了解概念、結論等產(chǎn)生的背景、應用，體會其中所蘊含的數(shù)學思想和方法，以及它們在后續(xù)學習中的作用通過不同形式的自主學習、探究活動，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程”所以，根據(jù)課程

6、標準、教材的特點、對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標根據(jù)教學內容的結構特征及教學目標，本節(jié)課采用了“問題發(fā)現(xiàn)歸納類比”的教學方法和“自主探究小組合作”的學習方式.由問題驅動，通過誘導公式二至四的探究，概括得到誘導公式的特點，提高對數(shù)學內部關聯(lián)的認識，理解求任意角三角函數(shù)值所體現(xiàn)出來的化歸思想，培養(yǎng)學生的探究能力. 教學目標實現(xiàn)過程：1利用已有知識導出新的問題，創(chuàng)設問題情境，引起學生學習興趣，激發(fā)學生的求知欲，達到以舊拓新的目的.2由特例與30與30，與30的關系提出問題，啟發(fā)學生的思維，引導他們分析角的終邊對稱關系，利用定義進行推導得到公式二，再利用多媒體動態(tài)

7、演示，使學生對“為任意角”的認識自然合理.之后如法炮制公式三、四，通過聯(lián)想，類比、方法遷移，學生很輕松的發(fā)現(xiàn)公式，每小組積極發(fā)言并且通過實物展臺展示交流，發(fā)現(xiàn)任意角與，三角函數(shù)值的關系，體會了從特殊到一般的歸納推理過程，使學生的思維得到科學訓練，有助于培養(yǎng)學生的概括能力和創(chuàng)新能力.3采用問題設疑，觀察演示，步步深入，逐層引導，探究合作的教學方法，旨在讓學生充分感受和理解知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程.在教師適時的啟發(fā)點撥下，學生在類比、歸納的過程中積極主動地去探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律（公式），培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神.通過引導學生探索并發(fā)現(xiàn)公式，將發(fā)現(xiàn)與證明合為一體，體現(xiàn)了“數(shù)形結合”的思想方法.4通過例

8、1和變式，把誘導公式（一）、（二）、（三）、（四）的應用進一步拓廣，發(fā)展學生的思維能力和計算能力.例2的擴展讓學生認識到公式的實用性和學習的必要性.本節(jié)課的教學設計力求體現(xiàn) “問題性”、“科學性”與“思想性”，以多媒體為輔助手段，采用教師為主導學生為主體的啟發(fā)式與探究式相結合的方法，使學生快樂地學習.3、 教學支持條件分析在進行本節(jié)課的教學時，學生已經(jīng)學習了三角函數(shù)的定義、各象限角的三角函數(shù)值的符號和公式一，這些內容是學生理解、歸納公式二至公式四的基礎，因此教學時應充分注意利用這一有利條件，引導學生多進行歸納與概括.另外，信息技術的使用也為突破教學難點、啟發(fā)學生思維、增加課堂容量提供了有力的支

9、持.五、教學過程設計（一）創(chuàng)設問題情境師生活動：教師提問，學生思考、回答，學生口述的同時，教師加以引導并用幻燈片展示問題1：（1）各象限內三角函數(shù)值的符號是什么？（只討論正弦、余弦、正切）（2）任意角的三角函數(shù)的定義是什么？（3）公式一的內容與作用是什么？問題2:已知如何求的值.教師引導：能否再把0360間的角的三角函數(shù)，化為我們熟悉的090間的角的三角函數(shù)問題呢？這節(jié)課我們就來學習和研究這樣的問題. 【設計意圖】通過復習舊知，為新知識的學習打下基礎.特別是各象限三角函數(shù)的符號，對于誘導公式記憶起關鍵作用.提出的新問題，引導學生進一步思考，激起學生們的興趣. (二)探索開發(fā)新結論教師引導：為了

10、解決以上問題，我們采用各個擊破的方法.首先看，如果我們知道一個任意角與()三角函數(shù)值的關系，問題就解決了.探究一：任意角與()三角函數(shù)值的關系.問題3：與 ()角的終邊關系如何？（互為反向延長線或關于原點對稱） 設與()角的終邊分別交單位圓于點P1，P2，則點P1與P2位置關系如何？（關于原點對稱）設點P1(x，y)，那么點P2的坐標怎樣表示？（P2(x，y)）sin與sin()，cos與cos()，tan與tan()的關系如何？經(jīng)過探索，歸納成公式 -公式 二.【設計意圖】公式二的三個式子中，是第一個解決的問題，由于方法及思路都是未知的，所以采取教師引導，師生合作共同完成辦法通過腳手架式的層

11、層提問，引導學生自主推導誘導公式二，讓學生體驗證明猜想的樂趣，凸顯學生學習的主體地位.同時，試圖通過環(huán)環(huán)相扣的問題給學生傳遞“由宏觀到微觀考慮問題”的思維習慣，從而達到“授人以漁”的目的.后兩個均由學生類比討論完成學生活動：小組討論，代表發(fā)言交流問題4：公式中的角僅是銳角嗎？【設計意圖】課前提問的問題是以引入的，之后的討論只是用代數(shù)方法換成了一般形式的角，有些同學肯定會有這樣的疑問，所以這個問題的解決好，就是突破難點的關鍵.引導學生互相討論，交流可以使學生記憶更深刻.師生活動：演示幾何畫板課件，首先作出第一象限的任意角，之后得到相應的三角函數(shù)值，拖動其終邊上任意點，再讓學生觀察每一象限內三角函

12、數(shù)值的符號和它們之間存在的對稱關系，從而驗證了猜想，使學生更好的理解了這個公式 【設計意圖】通過多媒體演示，發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律，從而總結出三角函數(shù)的誘導公式類比第一個問題的解決方法，我們再來解決后面的兩個問題.觀察，由公式一知的終邊與的終邊相同，所以我們必須知道一個任意角與(-)三角函數(shù)值的關系.探究二：任意角與(-)三角函數(shù)值的關系.問題5：與()角的終邊位置關系如何？(關于x軸對稱) 設與()角的終邊分別交單位圓于點P1，P2點P1與P2位置關系如何(關于x軸對稱)設點P1(x，y)，則點P的坐標怎樣表示？P2(x，y)sin與sin()，cos與cos() ，tan與tan()關系如何？經(jīng)過探

13、索，歸納成公式 -公式 三.【設計意圖】通過學生自主探究與合作交流，完成由角的終邊點的對稱性得到公式的過程，充分調動學生學習的積極性和激發(fā)學生的參與、探究和體驗的欲望，讓他們既動腦又動手，讓學生參與教學活動.讓學生體驗數(shù)與形的關系，嘗試自主探究的樂趣.教師引導：那，我們須知與()的三角函數(shù)值的關系，同學們繼續(xù)發(fā)揮聰明才智解決它吧！探究三：與()的三角函數(shù)值的關系問題6：與()角的終邊位置關系如何？(關于y軸對稱) 設與()角的終邊分別交單位圓于點P1，P2點P1與P2位置關系如何？(關于y軸對稱)設點P1(x，y)，則點P的坐標怎樣表示？P2(-x，y)sin與sin()，cos與cos()

14、，tan與tan()關系如何？經(jīng)過探索，歸納成公式 -公式 四【設計意圖】與探究二的教法相同，學生分組討論，嘗試推導公式，教師巡視，及時反饋、矯正、講評采用合作學習有助于觀察的多種方式的呈現(xiàn)，通過學生多角度的觀察所得到結論的交流，讓學生感受數(shù)學美和發(fā)現(xiàn)規(guī)律（公式）的喜悅，激發(fā)學生更積極地去尋找規(guī)律、認識規(guī)律.同時讓學生感受到只要做個有心人，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并非難事. (三)總結概括新結論師生活動：為了更好的使學生們把自己的研究成果記憶牢靠，師生共同大聲朗讀這四組公式.三角函數(shù)的誘導公式公式一：公式二：公式三：公式四：說明：公式中的指使公式兩邊有意義的任意一個角問題7：你能用一句話概括公式一、二、三、四

15、嗎？為了讓學生更好的記憶公式，通過幻燈片展示，猜想驗證，如果把角看成銳角，分別位于第一、二、三、四象限，由課前提問各象限內三角函數(shù)值的符號，學生可以試著敘述.師生活動：總結概括公式一、二、三、四：的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號.公式特點：“函數(shù)名不變，符號看象限”【設計意圖】逐步理解十字口訣含義，并且訓練學生的概括能力. (四)鞏固應用結論例1 求下列三角函數(shù)值：師生活動：學生板書，教師巡視，糾正錯誤（1）；（2）；（3）；（4）分析：先將不是0范圍內角的三角函數(shù)，轉化為0范圍內的角的三角函數(shù)（利用誘導公式一）或先將負角轉化為正角然后再用誘導公式化到范圍

16、內角的三角函數(shù)的值.解：（1）（2）（3）（4）=問題8：用誘導公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一般步驟是什么？（學生大膽說，互相討論）化負角的三角函數(shù)為正角的三角函數(shù)；化大于的正角的三角函數(shù)為0內的三角函數(shù)；化0內的三角函數(shù)為銳角的三角函數(shù)變式：已知是第三象限的角且，求，（學生口答）【設計意圖】在得到誘導公式后，在此讓學生獨立去實踐解決問題，一般情況下，1、2小題都能很快解決，只是到了第3、4小題時，條件變化稍復雜一些，同學們就會出現(xiàn)思維障礙，需及時引導他們去進行角的轉化，在實踐中體會誘導公式在解題過程中的應用，使任意一個角都轉化為他們所熟知的銳角，體會從未知到已知的化歸思想，

17、從而為總結出解題的一般步驟埋下伏筆.變式是為了讓學生進一步理解公式中角的任意性而設立.例2 化簡（學生板書）解：，所以原式=變式：已知，求的值.【設計意圖】在例題的選取與設計上，主要體現(xiàn)“由易到難，由簡單到復雜，層層推進”的想法，例1體現(xiàn)在求值上，例2主要體現(xiàn)在化簡上，使學生明白公示的應用所在.變式需要利用誘導公式進行一下變形再求值，對于初學者有點難度，需要教師從旁指導.練習是遞進，體現(xiàn)化歸思想、整體思想、使學生思維得到鍛煉，體驗學習的樂趣，從而達到初步掌握知識應用的目的.(五)課堂小結問題9 ：通過這節(jié)課的學習，大家有什么收獲嗎？主要提示從以下三方面 （由學生完成）1四組誘導公式及公式的記憶方法2求任意角的三角函數(shù)的步驟：任意負角的三角函數(shù)任意正角的三角函數(shù)用公式三或一用公式一0的三角函數(shù)用公式二或四銳角的三角函數(shù)上述過程體現(xiàn)了由未知轉化為已知的化歸思想.3公式中的的任意性.【