特征方程解數(shù)列遞推關系

1、用特征方程與特征根解數(shù)列線性遞推關系式的通項公式一.特征方程類型與解題方法類型一 遞推公式為An+2aAn+1bAn特征方程為 X2 =aX+b 解得兩根X1 X2 (1)若X1X2 則An=pX1n+qX2n (2)若X1=X2=X 則An=(pn+q)Xn (其中p.q為待定系數(shù)，由A1.A2聯(lián)立方程求得)(3)若為虛數(shù)根，則為周期數(shù)列類型二 遞推公式為An+1 特征方程為X= 解得兩根X1 X2 (1)若X1X2 則計算=k接著做代換Bn= 即成等比數(shù)列（2）若X1=X2=X 則計算=k+ 接著做代換Bn= 即成等差數(shù)列(3)若為虛數(shù)根，則為周期數(shù)列類型三 遞推公式為An+1特征方程為X

2、= 解得兩根X1 X2 。然后參照類型二的方法進行整理類型四 k階常系數(shù)齊次線性遞歸式 An+k=c1An+k-1+c2An+k-2+ckAn 特征方程為 Xk= c1Xk-1+c2Xk-2+ck(1) 若X1X2Xk 則An=+(2) 若所有特征根X1,X2,Xs.其中Xi是特征方程的ti次重根,有t1+t2+ts=k 則An=+ ， 其中=+（B1,B2，Bti為待定系數(shù)）二.特征方程的推導及應用 類型一、遞推公式為（其中p，q均為非零常數(shù)）。先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，其中滿足，顯然是方程的兩個非零根。 1） 如果，則，成等比，很容易求通項公式。2） 如果，則成等比。公比為， 所以，轉(zhuǎn)化成：，

3、( I )又如果，則等差，公差為，所以，即： 可以整理成通式： Ii)如果，則令，,就有，利用待定系數(shù)法可以求出的通項公式所以，化簡整理得： ，可以整理成通式小結特征根法：對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，為特征方程。若是特征方程的兩個根，當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）；當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）。簡例應用（特征根法）：例1：數(shù)列：， 解：特征方程是： ,。又由，于是故例2：設p、q為實數(shù)，、是方程x2-px+q=0的兩個實數(shù)根，數(shù)列xn滿足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n

4、=3,4,5)求數(shù)列xn的通項公式。 解： 顯然xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5)的特征根方程就是x2-px+q=0，而、是方程x2-px+q=0的兩個實數(shù)根，所以可以直接假設：1 當=時，設，因為x1=p,x2=p2-q，所以 解得2 當時，設，因為x1=p,x2=p2-q，所以 解得，+類型二、遞推公式為 解法：如果數(shù)列滿足：已知，且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程,當特征方程有且僅有一根時,如果則；如果則是等差數(shù)列。當特征方程有兩個相異的根、時，則是等比數(shù)列。（證明方法如同類型一，從略）例1：已知數(shù)列滿足：對于且求的通項公式. 解: 數(shù)列的特征方程為變形得其根為故特征方程有兩個相異的根，則有 即例2：已知數(shù)列滿足：對于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當取哪些值時，無窮數(shù)列不存在？解：作特征方程變形得特征方程有兩個相同的特征根(1)對于都有(2) 令，得.故數(shù)列從第5項開始都不存在， 當4，時，.(3) 令則對于(4)、顯然當時，數(shù)列從第2項開始便不存在.由第（1）小題的解答知，時，是存在的，當時，有令則得且2.當（其中且N2）時，數(shù)列從第項開始便不存在。于是知：當在集合或且2上取值時，無窮數(shù)列都不存在。例3: 數(shù)列記 求數(shù)列的通項公式及數(shù)列的前n項和解：由已知,得,其特征方程為解之得,或,