一道關(guān)于橢圓習(xí)題的改編

1、一道關(guān)于橢圓習(xí)題的改編原題 （本小題滿分8分）已知經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)作垂直于軸的直線,交橢圓于,兩點(diǎn),是橢圓的左焦點(diǎn).（1）求的周長；（2）如果不垂直于軸,的周長有變化嗎？為什么？1 (選自人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1第42頁第3題)本題的考查目標(biāo)： 考查橢圓定義的應(yīng)用,即橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和是定值,即長軸長，同時(shí)考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法.解 由已知, 如果不垂直于軸,的周長不變化 這是因?yàn)槭饺匀怀闪? ,這是定值. 【當(dāng)時(shí)】變式1 （本小題滿分14分）已知經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)的直線,交橢圓于,兩點(diǎn),是橢圓的左焦點(diǎn).是否存在一點(diǎn),使得？若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)；否則,探究橢圓滿足什么條件時(shí),存在.本

2、題的考查目標(biāo)：考查橢圓的定義,基本不等式, 勾股定理,完全平方公式的綜合應(yīng)用.考查運(yùn)算能力及數(shù)學(xué)探究能力.解 由已知, 若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則在中, 又 又 顯然矛盾，故該橢圓上不存在一點(diǎn),使得. 下面探究橢圓上存在一點(diǎn),使得應(yīng)滿足的條件： 由得, 且 橢圓上存在一點(diǎn)使得應(yīng)滿足的條件是： 特點(diǎn)：考查的知識點(diǎn)較多,要求掌握多種數(shù)學(xué)思想方法,此外要求學(xué)生具有嚴(yán)密的邏輯思維,將基本不等式, 勾股定理,完全平方公式等知識點(diǎn)融入到橢圓的知識點(diǎn)中,具有一定的探究性,有一定的難度. 【直線過橢圓右頂點(diǎn)】變式2 （本小題滿分8分）已知經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)的直線,交橢圓于,兩點(diǎn),是橢圓的左焦點(diǎn).若的周長為,求點(diǎn)的

3、坐標(biāo).本題的考查目標(biāo)：考查了橢圓的定義,中點(diǎn)公式.考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及運(yùn)算求解能力.解 連接,由已知, 的周長 又 點(diǎn)在軸上的投影為中點(diǎn), 又點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)橫坐標(biāo). 將帶入橢圓方程中,解得 點(diǎn)坐標(biāo)為或. 特點(diǎn)：本題難度不大,但要求學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)線段間的關(guān)系,從而利用橢圓定義快速解題. 【直線過橢圓中心】變式3 （本小題滿分12分）已知經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線交橢圓于,兩點(diǎn),分別是橢圓的左右焦點(diǎn),求周長的取值范圍.本題的考查目標(biāo)：考查橢圓的定義,平行四邊形的判定定理,同時(shí)考查轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)探究能力.解 連接,點(diǎn)為線段,的中點(diǎn)得平行四邊形 的周長 當(dāng)垂直于軸時(shí),，當(dāng)垂直于軸時(shí)

4、, ,三點(diǎn)共線,不能構(gòu)成三角形 的周長的取值范圍為. 特點(diǎn)：通過作輔助線,將三角形問題轉(zhuǎn)化為四邊形的問題,通過轉(zhuǎn)換相等線段，利用橢圓定義得到三角形其中兩邊長的和等于定值，從而將求三角形周長的取值范圍的問題轉(zhuǎn)換為求解線段的取值范圍,這部分需要作簡單的分析.【以為圓心作圓】變式4 （本小題滿分16分）以橢圓右焦點(diǎn)為圓心的圓，交橢圓于,兩點(diǎn),是橢圓的左焦點(diǎn).求圓的半徑的取值范圍；的周長有最大值嗎，若有，求最大值，若沒有，說明理由AF2OF1B變式4圖本題的考查目標(biāo)：考查橢圓的定義,圖形的對稱性，一元二次方程判別式及求根公式，不等式及利用導(dǎo)數(shù)求最值等知識點(diǎn).考查數(shù)形結(jié)合、化歸的數(shù)學(xué)思想方法以及運(yùn)算求解能力、數(shù)學(xué)探究分析能力.解 由橢圓及圓圖形的對稱性知，、兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，設(shè)圓的半徑為，則圓的方程為 聯(lián)立橢圓方程 整理得 解得 或 （舍去） 即 由知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)不能構(gòu)成，把代入，解得， 圓的半徑取值范圍為 令 解得 或（舍去） 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)且時(shí)，時(shí)， 特點(diǎn)：將原題的直線改編成圓，由簡單到復(fù)雜，具有一定的梯度，加大了思維張力.考查了較多的知識點(diǎn),要求掌握多種數(shù)學(xué)思想方法.此外要求學(xué)生具有嚴(yán)密的邏輯思維,注意到三角形三個(gè)頂點(diǎn)不能共線，并利用導(dǎo)數(shù)求最值,另外體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要性，具有一定的探