空間及其直線方程

1、第六節(jié),一、空間直線的一般方程,空間直線及其方程,第七章,二、空間直線的點向式方程與參數(shù)方程,三、兩直線的夾角,四、直線與平面的夾角,五、雜例,定義,空間直線可看成兩平面的交線,空間直線的一般方程,一、空間直線的一般方程,方向向量的定義：,如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱為這條直線的方向向量,二、空間直線的點向式方程與參數(shù)方程,直線的點向式（對稱式）方程,令,方向向量的余弦稱為直線的方向余弦.,直線的參數(shù)方程,例1 用點向式方程及參數(shù)方程表示直線,解,在直線上任取一點,取,解得,點坐標(biāo),因所求直線與兩平面的法向量都垂直,取,對稱式方程,參數(shù)方程,解題思路:,先找直線上一點;,再找直

2、線的方向向量.,定義,直線,直線,兩直線的方向向量的夾角.（銳角）,兩直線的夾角公式,三、兩直線的夾角,兩直線的位置關(guān)系：,/,直線,直線,例如，,例2. 求以下兩直線的夾角,解: 直線,直線,二直線夾角 的余弦為,從而,的方向向量為,的方向向量為,定義,直線和它在平面上的投影直線的夾角 稱為直線與平面的夾角,四、直線與平面的夾角,直線與平面的夾角公式,直線與平面的位置關(guān)系：,/,解: 取已知平面的法向量,則直線的對稱式方程為,直的直線方程.,為所求直線的方向向量.,垂,例3. 求過點(1,2 , 4) 且與平面,解:,設(shè)所求直線的方向向量為,根據(jù)題意知,取,所求直線的方程,五、雜例,例5 求

3、直線,與平面2x+y+z-6=0,解 所給直線的參數(shù)方程為,x=2+t, y=3+t, z=4+2t,代入平面方程中，得,2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0.,解上列方程，得t=-1.把求得的t值代入直線的 參數(shù)方程中，即得所求交點的坐標(biāo)為,x=1, y=2, z=2.,的交點.,解,先作一過點A且與已知直線垂直的平面,再求已知直線與該平面的交點N,令,代入平面方程得 ,交點,取所求直線的方向向量為,所求直線方程為,有時用平面束的方程解題比較方便。,設(shè)直線L由方程組,所確定，其中系數(shù)A1、B1、C1與A2、B2、C2不成比例.,我們建立三元一次方程：,因為A1、B1、C1與A2、B

4、2、C2不成比例，,不全為零，,若一點在直線L上，則點的坐標(biāo)必滿足方程(a),因而,從而方程(13)表示一個平面，,也滿足方程(b)，故方程(b)表示通過直線L的平面，,的不同的平面.,反之，通過直線L的任何平面(除(a)中第二個平面外) 都包含在方程(b)所表示的一族平面內(nèi). 通過定直線的 所有平面的全體稱為平面束，而方程(b)就作為通過 直線L的平面束的方程。,例 7 求直線,在平面x+y+z=0上的投影,直線的方程.,即,由此得,代入得與所給平面垂直的平面(稱為投影平面)的方程為,所以投影直線的方程為,即,這平面與平面x+y+z=0垂直的條件是,即,1. 空間直線方程,一般式,對稱式,參數(shù)式,內(nèi)容小結(jié),直線,2. 線與線的關(guān)系,直線,夾角公式:,平面 :,L,L / ,夾角公式：,3. 面與線間的關(guān)系,直線 L :,作業(yè) P335 4，5，7，9 ,15,解：,相交,求此直線方程 .,的方向向量為,過 A 點及,面的法向量為,則所求直線的方向向量,方法1 利用叉積.,所以,一直線過點,且垂直于直線,又和直線,備用題,設(shè)所求直線與,