山東專用2021新高考數(shù)學一輪復習第七章立體幾何7.7立體幾何中的向量方法學案含解析

1、第七節(jié)立體幾何中的向量方法課標要求考情分析能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何中的應用.1.本節(jié)是高考中的必考內(nèi)容，涉及用向量法計算空間異面直線所成角、直線和平面所成角、二面角2題型以解答題為主，要求有較強的運算能力，廣泛應用函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想.知識點一異面直線所成角設異面直線a，b所成的角為，則cos，其中a，b分別是直線a，b的方向向量兩異面直線所成的角為銳角或直角，而不共線的向量的夾角為(0，)，所以公式中要加絕對值知識點二直線與平面所成角如圖所示，設l為平面的斜線，la，a為l的方向向量，n為平面的法向量，為l與所

2、成的角，則sin|cosa，n|.直線與平面所成角的范圍為，而向量之間的夾角的范圍為0，所以公式中要加絕對值知識點三二面角1若ab，cd分別是二面角l的兩個平面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的平面角(或其補角)的大小就是向量與的夾角，如圖(1)2平面與相交于直線l，平面的法向量為n1，平面的法向量為n2，n1，n2，則二面角l的平面角大小為或.設二面角的平面角大小為，則|cos|cos|，如圖(2)(3)利用公式求二面角的平面角時，要注意n1，n2與二面角大小的關系，是相等還是互補，需要結(jié)合圖形進行判斷1思考辨析判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)兩直線的方向向量的夾角就是兩條直線

3、所成的角()(2)已知a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，則ac，ab()(3)已知向量m，n分別是直線l的方向向量和平面的法向量，若cosm，n，則直線l與平面所成的角為120.()(4)已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為45.()2小題熱身(1)在正方體abcda1b1c1d1中，e是c1d1的中點，則異面直線de與ac夾角的余弦值為(d)abcd(2)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)abca1b1c1的底面邊長為2，側(cè)棱長為2，則ac1與側(cè)面abb1a1所成的角為. (3)在四棱錐pabcd中，底面abcd是正方形

4、，pd底面abcd，pddc則二面角cpbd的大小為60.解析：(1)如圖建立空間直角坐標系dxyz，設da1，a(1,0,0)，c(0,1,0)，e，則(1,1,0)，設異面直線de與ac所成的角為，則cos|cos，|.(2)以c為原點建立坐標系，得下列坐標：a(2,0,0)，c1(0,0，2)點c1在側(cè)面abb1a1內(nèi)的射影為點c2.所以(2,0,2)，設直線ac1與平面abb1a1所成的角為，則cos.又，所以.(3)以點d為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設pddc1，則d(0,0,0)，p(0,0,1)，c(0,1,0)，b(1,1,0)，所以(0,0,1)，(0,1，1)，

5、(1,1,0)，(1，0,0)，設平面pbd的一個法向量為n1(x1，y1，z1)，由n10，n10得令x11，得n1(1，1,0)設平面pbc的一個法向量為n2(x2，y2，z2)，由n20，n20得令y21得n2(0,1,1)設二面角cpbd的大小為，則cos，由圖形得二面角的平面角為銳角，所以60.考點一兩條異面直線所成的角【例1】(1)在正方體abcda1b1c1d1中，點e，f分別是bb1，d1b1的中點，則ef與a1d所成角的大小為()a60b90c45d75(2)在如圖所示的幾何體中，四邊形abcd為矩形，直線af平面abcd，efab，ad2，abaf2ef1，若p是df的中點

6、，則異面直線be與cp所成角的余弦值是_【解析】(1)如圖所示，以d為坐標原點，以da所在直線為x軸，dc所在直線為y軸，dd1所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，設正方體abcda1b1c1d1的棱長為2，易得e(2,2,1)，f(1,1,2)，d(0,0,0)，a1(2,0,2)，(1，1,1)，(2,0,2)，220，故選b(2)因為直線af平面abcd，abad，所以以a為坐標原點，分別以ab，ad，af所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖所示，則e，b，p，c(1,2,0)，1，1，cos，則異面直線be與cp所成角的余弦值為.【答案】(1)b(2)方法技巧(1)兩異

7、面直線所成角的余弦值等于兩條異面直線的方向向量所成角的余弦值的絕對值；(2)在證明兩直線垂直時，可證兩條直線所成的角為90；(3)注意兩異面直線所成角的范圍是(0，90.)如圖，在四棱錐pabcd中，pa平面abcd，底面abcd是菱形，ab2，bad60.(1)求證：bd平面pac；(2)若paab，求直線pb與ac所成角的余弦值解：(1)證明：因為四邊形abcd是菱形，所以acbd又因為pa平面abcd，bd平面abcd所以pabd因為paaca，所以bd平面pac(2)設acbdo.因為bad60，paab2，所以bo1，aoco.如圖，以o為坐標原點，建立空間直角坐標系，則p(0，2)

8、，a(0，0)，b(1,0,0)，c(0，0)所以(1，2)，(0，2，0)，設直線pb與ac所成角為，則cos.考點二直線與平面所成的角【例2】如圖1，平面多邊形pabcd中，papd，ad2dc2bc4，adbc，appd，addc，e為pd的中點，現(xiàn)將apd沿ad折起，如圖2，使pc2.(1)證明：ce平面abp；(2)求直線ae與平面abp所成角的正弦值【解】(1)證明：取pa的中點h，連接he，bh，如圖e為pd的中點，he為apd的中位線，head，且head又adbc，bcad，hebc，hebc，四邊形bceh為平行四邊形，cebh.bh平面abp，ce平面abp，ce平面ab

9、p.(2)由題意知pad為等腰直角三角形，四邊形abcd為直角梯形取ad的中點f，連接bf，pf，ad2bc4，平面多邊形pabcd中，p，f，b三點共線，且pfbf2，翻折后，pfad，bfad，pfbff，df平面pbf，bc平面pbf，pb平面pbf，bcpb在直角三角形pbc中，pc2，bc2，pb2，pbf為等邊三角形取bf的中點o，dc的中點m，連接po，om，則pobf，df平面pbf，dfpo.又dfbff，po平面abcd以o為原點，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，則b(1,0,0)，d(1,2,0)，p(0,0，)，a(1，2,0)，e，(2,2,0)

10、，(1,0，)設平面abp的法向量為n(x，y，z)，則故可取n(3，3，)，cosn，直線ae與平面abp所成角的正弦值為.如圖所示，在梯形cdef中，四邊形abcd為正方形，且aebfab1，將ade沿著線段ad折起，同時將bcf沿著線段bc折起，使得e，f兩點重合為點p.(1)求證：平面pab平面abcd；(2)求直線pb與平面pcd所成角的正弦值解：(1)證明：四邊形abcd為正方形，adab，又adae，即adpa，且paaba，ad平面pab，又ad平面abcd，平面pab平面abcd(2)如圖，pab為正三角形，cd中點為m，ab中點為o，連接om，op，以o為坐標原點，ob所在

11、直線為x軸，om所在直線為y軸，op所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，aebfab1，b，c，d，p，(1,0,0)，設n(x，y，z)是平面pcd的法向量，則即令z1得x0，y，即n，|n|，設直線pb與平面pcd所成的角為，則sin，直線pb與平面pcd所成角的正弦值為.考點三二面角【例3】(2019全國卷)如圖，直四棱柱abcda1b1c1d1的底面是菱形，aa14，ab2，bad60，e，m，n分別是bc，bb1，a1d的中點(1)證明：mn平面c1de；(2)求二面角ama1n的正弦值【解】(1)證明：連接b1c，me.因為m，e分別為bb1，bc的中點，所以meb1c，

12、且meb1c又因為n為a1d的中點，所以nda1d由題設知a1b1綊dc，可得b1c綊a1d，故me綊nd，因此四邊形mnde為平行四邊形，mned又mn平面edc1，所以mn平面c1de.(2)由已知可得deda以d為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系dxyz，則a(2,0,0)，a1(2,0,4)，m(1，2)，n(1,0,2)，(0,0，4)，(1，2)，(1,0，2)，(0，0)設m(x，y，z)為平面a1ma的法向量，則所以可取m(，1,0)設n(p，q，r)為平面a1mn的法向量，則所以可取n(2,0，1)于是cosm，n，所以二面角ama1n的正弦值為.方

13、法技巧(1)求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.(2)利用向量法求二面角的大小的關鍵是確定平面的法向量，求法向量的方法主要有兩種：求平面的垂線的方向向量；利用法向量與平面內(nèi)兩個不共線向量的數(shù)量積為零列方程組求解.(2019全國卷)如圖，長方體abcda1b1c1d1的底面abcd是正方形，點e在棱aa1上，beec1.(1)證明：be平面eb1c1；(2)若aea1e，求二面角becc1的正弦值解：(1)證明：由已知得，b1c1平面abb1a1，be平面abb1a1，故

14、b1c1be.又beec1，且ec1與c1b1相交于c1，所以be平面eb1c1.(2)由(1)知beb190.由題設知rtaberta1b1e，所以aeb45，故aeab，aa12ab以d為坐標原點，的方向為x軸正方向，|為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系dxyz，則c(0,1,0)，b(1,1,0)，c1(0,1,2)，e(1,0,1)，(1,0,0)，(1，1,1)，(0,0,2)設平面ebc的法向量為n(x，y，z)，則即所以可取n(0，1，1)設平面ecc1的法向量為m(x1，y1，z1)，則即所以可取m(1,1,0)于是cosn，m，所以，二面角becc1的正弦值為.考點四空

15、間角中探究性問題【例4】(2018全國卷)如圖，在三棱錐pabc中，abbc2，papbpcac4，o為ac的中點(1)證明：po平面abc；(2)若點m在棱bc上，且二面角mpac為30，求pc與平面pam所成角的正弦值【解】(1)證明：因為apcpac4，o為ac的中點，所以opac，且op2.連接ob因為abbcac，所以abc為等腰直角三角形，且obac，obac2.由op2ob2pb2知poob由opob，opac，acobo知po平面abc(2)如圖，以o為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系oxyz.由已知得o(0,0,0)，b(2,0,0)，a(0，2,0)，c(0

16、,2,0)，p(0,0,2)，(0,2,2)取平面pac的一個法向量(2,0,0)設m(a,2a,0)(0a2)，則(a，4a，0)設平面pam的法向量為n(x，y，z)由n0，n0得可取n(a4)，a，a)，所以cos，n.由已知可得|cos，n|，所以，解得a4(舍去)，a，所以n(，)又(0,2，2)，所以cos，n.所以pc與平面pam所成角的正弦值為.方法技巧這類綜合問題通常是已知某個空間角或某種特殊關系求另一個空間角，題中數(shù)量關系存在未知量，一般解法是通過方程解出未知量，再求出另一個空間角.如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd為正方形，pa底面abcd，paab2，點m為棱pc

17、的中點，點e，f分別為棱ab，bc上的動點(e，f與所在棱的端點不重合)，且滿足bebf.(1)證明：平面pef平面mbd；(2)當三棱錐fpec的體積最大時，求二面角cmfe的余弦值解：(1)證法1：連接ac交bd于點n，連接mn.因為底面abcd為正方形，所以acbd，ancn，又pmmc，所以mnpa又pa底面abcd，所以mn底面abcd，又ac底面abcd，所以acmn.又bdmnn，bd，mn平面mbd，所以ac平面mbd因為bebf，babc，所以，即efac，所以ef平面mbd又ef平面pef，所以平面pef平面mbd證法2：因為pa底面abcd，abad，所以以a為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系axyz.則p(0,0,2)，m(1,1,1)，b(2,0,0)，d(0,2,0)設e(t,0,0)，則f(2,2t,0)，(t,0，2)，(2,2t，2)，(1，1，1)，(1,1，1)設m1(a1，b1，c1)為平面pef的法向量，則即可取m1(2，2，t)設m2(a2，b2，c2)為平面mbd的法向量，則即可取m2(1,1,0)因為m1m22121t00，所以m1m2.所以平面pef平面mbd(2)設bebfx，由題意知，scef(2x)x，又