數(shù)學(xué)建模一周試題

1、試題1.本次數(shù)學(xué)建模周共有如下十五道題。每支隊伍（2-3人/隊）必須從以下題中任意選取一題，并完成一篇論文，具體要求參閱論文格式規(guī)范。2.指導(dǎo)老師會根據(jù)題目的難度對論文最后的評分進行調(diào)整。3.題目標注為“A”的為有一定難度的題目，選擇此題你們將更有可能得到高分。 （一）乒乓球賽問題 (A)A、B兩乒乓球隊進行一場五局三勝制的乒乓球賽，兩隊各派3名選手上場，并各有3種選手的出場順序（分別記為 和）。根據(jù)過去的比賽記錄，可以預(yù)測出如果A隊以次序出場而B隊以次序出場，則打滿5局A隊可勝局。由此得矩陣如下：（1） 根據(jù)矩陣R 能看出哪一隊的實力較強嗎？（2） 如果兩隊都采取穩(wěn)妥的方案，比賽會出現(xiàn)什么結(jié)

2、果？（3） 如果你是A隊的教練，你會采取何種出場順序？（4） 比賽為五戰(zhàn)三勝制，但矩陣R 中的元素卻是在打滿五局的情況下得到的，這樣的數(shù)據(jù)處理和預(yù)測方式有何優(yōu)缺點？（二）野兔生長問題在某地區(qū)野兔的數(shù)量在連續(xù)十年的統(tǒng)計數(shù)量(單位十萬)如下：T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析該數(shù)據(jù)，得出野兔的生長規(guī)律。 并指出在哪些年內(nèi)野兔的增長有異?，F(xiàn)象，預(yù)測T=10 時野兔的數(shù)量。（三）停車場的設(shè)計問題在New England的一個鎮(zhèn)上，有一位于街角處面積1

3、00200平方英尺的停車場，場主請你代為設(shè)計停車車位的安排方式，即設(shè)計在場地上劃線的方案。容易理解，如果將汽車按照與停車線構(gòu)成直角的方向，一輛緊挨一輛地排列成行，則可以在停車場內(nèi)塞進最大數(shù)量的汽車，但是對于那些缺乏經(jīng)驗的司機來說，按照這種方式?？寇囕v是有困難的，它可能造成昂貴的保險費用支出。為了減少因停車造成意外損失的可能性，場主可能不得不雇傭一些技術(shù)熟練的司機專門停車；另一方面，如果從通道進入停車位有一個足夠大的轉(zhuǎn)彎半徑，那么，看來大多數(shù)的司機都可以毫無困難地一次停車到位。當然通道越寬，場內(nèi)所容納的車輛數(shù)目也越少，這將使得場主減少收入。（四）獎學(xué)金的評定 (A)背景A Better Clas

4、s (ABC)學(xué)院的一些院級管理人員被學(xué)生成績的評定問題所困擾。平均來說，ABC的教員們一向打分較松（現(xiàn)在所給的平均分是A）,這使得無法對好的和中等的學(xué)生加以區(qū)分.然而,某項十分豐厚的獎學(xué)金僅限于資助占總數(shù)10%的最優(yōu)秀學(xué)生,因此,需要對學(xué)生排定名次.教務(wù)長的想法是在每一課程中將每個學(xué)生與其他學(xué)生加以比較,運用由此得到的信息構(gòu)造一個排名順序.例如,某個學(xué)生在一門課程中成績?yōu)锳,而在同一課程中所有學(xué)生都得A,那么就此課而言這個學(xué)生僅僅屬于“中等”。反之，如果一個學(xué)生得到了課程中唯一的A，那么，他顯然處在“中等至上”水平。綜合從幾門不同課程所得到的信息，使得可以把所有學(xué)院的學(xué)生按照以10%劃分等級

5、順序（最優(yōu)秀的10%，其次的10%，等等）排序。問題（1）假設(shè)學(xué)生成績是按照（A+，A, A, B+ ,）這樣的方式給出的,教務(wù)長的想法能否實現(xiàn)?（2）如果學(xué)生成績是按照(A,B,C,)的方式給出的,教務(wù)長的想法能否實現(xiàn)?（3）能否有其他方案給出所希望的排名?（4）需要關(guān)心的是,個別一門課程的成績能否使很多學(xué)生按10%劃分的等級順序變化.這種情況能發(fā)生嗎?數(shù)據(jù)參賽各隊應(yīng)設(shè)計出一組數(shù)據(jù)用以檢驗和說明各自的算法,并應(yīng)使數(shù)據(jù)能夠反映出算法有效性受到限制的情況.（五）購房貸款的比較小李夫婦曾經(jīng)準備申請商業(yè)貸款10萬元用于購置住房，每月還款880.66元，25年還清. 房產(chǎn)商介紹的一家金融機構(gòu)提出：貸款

6、10萬元，每半月還款440.33元, 22年還清, 不過由于中介費手續(xù)費等原因，貸款時要預(yù)付4000元.小李考慮，雖然預(yù)付費用不少，可是減少三年還款期意味著減少還款近3萬2千元，而每月多跑一趟，那不算什么.這機構(gòu)的條件似乎還是蠻優(yōu)惠的.（六）貸款月還款多少隨著經(jīng)濟的發(fā)展，金融正越來越多的進入普通人的生活；貸款，保險，養(yǎng)老金和信用卡；個人住房抵押貸款是其中重要的一項。2005年12月，中國人民銀行公布了新的存，貸款利率水平，其中貸款利率如下表所列 種類, 期限1年以下(含1年)1-3年 (含3年)3-5 年(含5年)5-10 年(含10年)10-15年(含15年)15-20年(含20年)個人住房

7、按揭貸款5.315.315.315.585.585.58 以人民幣10萬元為例計算貸款的月還款數(shù)（計算到20年）（七）. 還款周期與本息總額個人住房貸款以10萬元為例子，期限為3年，試討論隨著還款的周期變化，本息總額如何變化。（八）費用分擔(dān)問題有三個位于某河流同旁的城鎮(zhèn)城1、城 2、城3(如圖）三城鎮(zhèn)的污水必須經(jīng)過處理后方能排入河中，他們既可以單獨建立污水處理廠，也可以通過管道輸送聯(lián)合建廠。為了討論方便起見，我們再假設(shè)污水只能由上游往下游。用Q表示污水量，單位為米3/秒，L表示管道長度，單位為公里，則有經(jīng)驗公式： 已知三城鎮(zhèn)的污水量分別為：Q1=5立方米/秒，Q2=3立方米/秒，Q3=5立方米

8、/秒，問：三城鎮(zhèn)應(yīng)怎樣處理污水方可使總開支最少？每一城鎮(zhèn)負擔(dān)的費用應(yīng)各為多少？（九）徽章問題 (AAA)題目過長，請查看該文件夾中的徽章問題.doc文檔*以下為lingo或者MATLAB軟件實現(xiàn)題目*（十）某糖果廠用原料A，B，C加工成三種不同牌號的糖果甲、乙、丙。已知各種糖果的中A，B，C的含量，原料成本，各種原料每月的限制用量，三種牌號糖果的單位加工費及售價如下表所示。 甲乙丙原料成本/元/kg每月限制用量/kgA2.002000B1.502500C1.001200加工費/元/kg0.500.400.30售價/元/kg3.402.852.25問該廠每月生產(chǎn)這三種牌號糖果各多少kg，使得到的

9、利潤為最大？（十一）、某廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品,產(chǎn)品。依次經(jīng)A、B設(shè)備加工，產(chǎn)品經(jīng)A、C設(shè)備加工，產(chǎn)品經(jīng)過C、B設(shè)備加工。已知有關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，請為該廠制訂一個最優(yōu)的生產(chǎn)計劃。產(chǎn) 品機器生產(chǎn)率/件/h原料成本/元產(chǎn)品價格/元ABC102015502052510010201045機器成本/元/h200100200每周可用時間/h504560（十二）、(A) 一個木材儲運公司有很大的倉庫用以儲運出售木材。由于木材季度價格的變化，該公司于每季度初購進木材，一部分于本季度內(nèi)出售，一部分儲存起來以后。已知該公司倉庫的最大儲存量為20萬m3，儲存費用為元/m3，式中，u為儲存時間（季度數(shù)）。已知每季度的買進賣出

10、價及預(yù)計的銷售量如下表所示。季度買進價/元/m3賣出價/元/m3預(yù)計銷售量/元/m3冬410425100春430440140夏460465200秋450455160由于木材不宜久貯，所有庫存木材應(yīng)于每年秋末售完，試建立這個問題的線性規(guī)劃模型。（十三）、某飼養(yǎng)場飼養(yǎng)動物出售，設(shè)每頭動物每天至少需700g蛋白質(zhì)、30g礦物質(zhì)、100mg維生素?，F(xiàn)有五種飼料可供選用，各種飼料每kg營養(yǎng)成分含量及單價如下表飼料蛋白質(zhì)/g礦物質(zhì)量/g維生素/mg價格/元/kg1310.50.2220.51.00.7310.20.20.446220.35180.50.80.8 要求確定既滿足動物生長的營養(yǎng)需要，又使費用最省的選用飼料的方案。（十四）、某地區(qū)有三個化肥廠，除供應(yīng)外地區(qū)需要外，估計每年可供應(yīng)本地區(qū)的數(shù)字為：化肥廠A7萬噸，B8萬噸，C3萬噸。有四個產(chǎn)糧區(qū)需要該種化肥，需要量為：甲地區(qū)6萬噸，乙地區(qū)6萬噸，丙地區(qū)3萬噸，丁地區(qū)3萬噸。已知從各化肥廠到各產(chǎn)糧區(qū)的每噸化肥的運價如下表所示： 產(chǎn)糧區(qū)化肥廠甲乙丙丁A5879B49107C8429試根據(jù)以上資料制訂