自動(dòng)控制原理：第五章頻率響應(yīng)法

1、第五章 頻率響應(yīng)法,5.1 頻率特性的基本概念 5.2 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性 5.3 頻率法中的穩(wěn)定性分析 5.4 系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性 5.5 頻率特性與瞬態(tài)響應(yīng),其微分方程是,RC網(wǎng)絡(luò),第一節(jié) 頻率特性的基本概念,式中T=RC,如果激勵(lì)信號(hào)是一個(gè)正弦電壓,即 ,由式(5-1)可得,式中第一項(xiàng)為輸出電壓的瞬態(tài)分量, 第二項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)分量。,隨著t趨于無(wú)窮大,瞬態(tài)分量趨于零,于是,前者稱(chēng)為RC網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性, 后者稱(chēng)為RC網(wǎng)絡(luò)的相頻特性。,RC網(wǎng)絡(luò)幅頻和相頻特性,系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)r(t)的響應(yīng)為,其振幅比依賴(lài)于角頻率w的函數(shù)G(w)稱(chēng)為 系統(tǒng)的幅頻特性； 其穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)對(duì)正弦輸入信號(hào)的相移 f(w)

2、稱(chēng)為系統(tǒng)的相頻特性。,系統(tǒng)的頻率特性G(jw)可以通過(guò)系統(tǒng)的傳 遞函數(shù)G(s)來(lái)求?。?第二節(jié)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性,頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖,頻率特性的極坐標(biāo)圖,系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性通常有三種表達(dá)形式:,1.通過(guò)頻率特性G(jw)的模| G(jw)|與相G(jw)在 極座標(biāo)中表示的圖形,稱(chēng)為極座標(biāo)圖(Polar plot) 或奈魁斯特圖( Nyquist plot) 。,2. 通過(guò)半對(duì)數(shù)座標(biāo)分別表示幅頻特性和相頻特性的圖形,稱(chēng)為對(duì)數(shù)坐稱(chēng)圖(Logarithmic plot)或伯德圖(Bode plot)。,3. 用伯德圖中的幅頻特性與相頻特性統(tǒng)一繪制成的圖形來(lái)表示系統(tǒng)的頻率特性。這種表達(dá)頻率特性的圖形

3、稱(chēng)為對(duì)數(shù)幅相圖（Log-magnitude-phase diagram）或尼柯?tīng)査箞D(Nichols chart) 。,一、 頻率特性的極坐標(biāo)圖,開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是由一系列具有不同傳遞函數(shù)的典型環(huán)節(jié)所組成,（一）典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖,1、比例環(huán)節(jié),幅頻特性:,相頻特性:,2、慣性環(huán)節(jié),傳遞函數(shù),幅頻特性：,相頻特性：,（一）典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖,K,3、積分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù),幅頻特性：,相頻特性：,（一）典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖,4、微分環(huán)節(jié),相頻特性：,（一）典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖,幅頻特性：,5、振蕩環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,幅頻特性：,相頻特性：,（一）典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖,6、滯延環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,幅頻特性：

4、,相頻特性：,（一）典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖,(二)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相頻率特性曲線,開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的頻率特性通常是若干典型環(huán)節(jié)頻率特性的乘積,極坐標(biāo)形式：,求系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相特性： 分別求出系統(tǒng)各串聯(lián)環(huán)節(jié)頻率特性的幅值及相角, 然后算出不同頻率下開(kāi)環(huán)系統(tǒng)頻率特性的幅值及 相角,從而就可繪制極坐標(biāo)圖。,例5-1系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)是 G(s)H(s)= 試?yán)L制其奈氏圖。,例5-2系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)是 G(s)H(s)= ,試?yán)L制其奈氏圖。,例5-3系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)是 G(s)H(s)= 試?yán)L制其奈氏圖。,例5-4系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)是 G(s)H(s)= 試?yán)L制其奈氏圖。,K,二、頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖,(一) 對(duì)數(shù)頻率特性

5、圖的坐標(biāo),若系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s),則開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù) 幅頻特性曲線的縱軸是20lgG(w)。對(duì)數(shù)幅 頻特性的橫軸是頻率w,采用lgw分度,單位 為孤度秒,用rads表示。,表示頻率特性的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線和對(duì)數(shù) 相頻特性曲線統(tǒng)稱(chēng)為伯德圖。,1、比例環(huán)節(jié),對(duì)數(shù)幅頻特性 20lgG(w) =20lgK,相頻特性 j (w)=0,（二）基本環(huán)節(jié)的BODE圖,1、比例環(huán)節(jié),對(duì)數(shù)幅頻特性 20lgG(w) =-20lg w,相頻特性,（二）基本環(huán)節(jié)的BODE圖,對(duì)數(shù)幅頻特性 20lgG(w) =20lg w,相頻特性,（二）基本環(huán)節(jié)的BODE圖,4、慣性環(huán)節(jié),傳遞函數(shù):,對(duì)數(shù)幅頻特性,相頻特性,漸近線,精

6、確曲線,轉(zhuǎn)角頻率,（二）基本環(huán)節(jié)的BODE圖,5、振蕩環(huán)節(jié),傳遞函數(shù):,相頻特性,漸進(jìn)線,（二）基本環(huán)節(jié)的BODE圖,6、滯延環(huán)節(jié),傳遞函數(shù):,對(duì)數(shù)幅頻特性:,相頻特性,（二）基本環(huán)節(jié)的BODE圖,7、一階微分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù): G(s) = Ts+1,幅頻特性:,相頻特性,（二）基本環(huán)節(jié)的BODE圖,（三）系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)特性曲線,繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的一般步驟和方法:,寫(xiě)出以時(shí)間常數(shù)表示、以典型環(huán)節(jié)頻率特性連乘積形式的系統(tǒng)頻率特性。,(2)求出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率 (Breakfrequency/ Corner frequency),并從小到大依次標(biāo)注在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的橫坐標(biāo)上。,(3)計(jì)算20lg

7、 K的分貝值, 其中K是系統(tǒng)開(kāi)環(huán) 放大系數(shù)。過(guò)w =1,20lg K這一點(diǎn),做斜率為 -20NdB/dec的直線,此即為低頻段的漸近線,其 中N是開(kāi)環(huán)系統(tǒng)包含串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。,(4) 繪制對(duì)數(shù)幅頻特性的其它漸近線,方法是從低頻段漸近線開(kāi)始,從左到右,每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)角頻率就按上述規(guī)律改變一次上一頻段的斜率。如有必要再利用誤差曲線修正,得到精確對(duì)數(shù)幅頻特性的光滑曲線。,(5) 給出不同w的值,計(jì)算對(duì)應(yīng)的ji(w)，再進(jìn)行代數(shù)相加,算出系統(tǒng)的相頻特性曲線。,例5-5 試?yán)L制下列傳遞函數(shù)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖。, 對(duì)于最小相位系統(tǒng)而言,幅頻特性和相頻特性之 間有著確定的單值關(guān)系。,最小相位傳遞函數(shù)：在復(fù)平面S

8、的右半面既沒(méi)有 極點(diǎn)、也沒(méi)有零點(diǎn)的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。, 若w 時(shí),幅頻特性的斜率為-20(n-m)dB/dec, 其中n,m分別為傳遞函數(shù)中分母、分子多項(xiàng)式的 階數(shù),而相角等于-90(n-m),則系統(tǒng)是最小相位 系統(tǒng)。,最小相位系統(tǒng)：具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)。, 具有相同幅頻特性的系統(tǒng),最小相位系統(tǒng)的相角 變化范圍最小。,（四）最小相位系統(tǒng)(Minimum phase system),第三節(jié) 頻率特性的 穩(wěn)定性分析,奈魁斯特判據(jù) 的物理意義,映射定理,奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù) (Nyquist stability Criterion),一、映射定理,奈魁斯特判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù) 理論中的映射定理

9、,又稱(chēng)幅角定理。,設(shè)有一復(fù)變函數(shù)為 式中 z1 , z2 zm為F(s)的零點(diǎn) p1 , p2 , pn為F(s)的極點(diǎn) K放大系數(shù),如果s平面上的封閉曲線以順時(shí)針?lè)?向包圍函數(shù)F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn), 則F(s)平面上的映射曲線相應(yīng)地包圍 坐標(biāo)原點(diǎn)N次, = Z -P 若P, N為正值，包圍方向?yàn)轫槙r(shí)針; 若P, N為負(fù)值，包圍方向?yàn)槟鏁r(shí)針。 這種映射關(guān)系,稱(chēng)為映射定理。,二、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù),設(shè)系統(tǒng)的特征方程為 F(s) = 1 + G(s)H(s) = 0 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可以寫(xiě)為 代入特征方程,可得,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是： 系統(tǒng)特征方程式的根, 即F(s)的零點(diǎn),都位

10、 于S平面的左半平面,或者說(shuō)F(s)的所有零 點(diǎn)都不在S平面的右半平面內(nèi)。,奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù): 對(duì)于開(kāi)環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)(即P=,G(s)H(s)在右 半S平面無(wú)極點(diǎn) ),當(dāng)且僅當(dāng)開(kāi)環(huán)頻率特性 曲線G(jw)H(jw)不通過(guò)也不包圍(-1，j0) 點(diǎn)時(shí),即N = 0,閉環(huán)系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。 (2) 對(duì)于開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)(即P0,G(s)H(s) 在右半S平面含有P個(gè)極點(diǎn)),當(dāng)且僅當(dāng)開(kāi) 環(huán)頻率特性曲線G(jw)（jw）逆時(shí)針包 圍(-1, j0)點(diǎn)的次數(shù)N等于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) G(s)H(s)在右半S平面的極點(diǎn)數(shù)P時(shí),即 N = -P, 閉環(huán)系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。,例5-6系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)是 G(s)H(s)= 試?yán)L

11、制其奈氏圖。,例5-7系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)是 G(s)H(s)= 試?yán)L制其奈氏圖。,例5-8系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)是 G(s)H(s)=,試分析不同K值 時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性; (2) 確定當(dāng)T1=1， T20.2和K=0.75 時(shí)系統(tǒng)的幅值裕 量。,當(dāng)K (T1+T2)/ T1T2時(shí), G(jw)H(jw)曲線包圍了(-1, j0)點(diǎn),此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,(2)系統(tǒng)的幅值裕量定義為開(kāi)環(huán)福相頻率特性G(jw)H(jw)曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處幅值的倒數(shù),即 將T1=，T2=0.5和K=0.75代入,則 以分貝數(shù)表示,則,三、奈魁斯特判據(jù) 的物理意義,奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式 ： 當(dāng)G(jw)H(jw)=

12、-180時(shí)，,奈魁斯特判據(jù) 的物理意義：,四、相對(duì)穩(wěn)定性(Relative stability),開(kāi)環(huán)系統(tǒng)特率特性G(jw)H(jw)與(-1, j0)點(diǎn)的 遠(yuǎn)近程度可用來(lái)表示閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。,2.幅值裕量（Gain margin）Kg 頻率wg稱(chēng)為系統(tǒng)的相角交界頻率,相角裕量(Phase margin)g = 180+ f (w c) 式中w c 稱(chēng)為系統(tǒng)的交界頻率，或者剪切頻率,例5-10一單位反饋控制系統(tǒng),試求當(dāng)K=10和K=100時(shí),系統(tǒng)的相角裕量和幅值裕量。,2、K100 由圖可得系統(tǒng)的相角裕量和幅值裕量分別為 g = -25 Kg = -12db,1、K10 由圖可得系統(tǒng)的相角

13、裕量和幅值裕量分別為 g=21 Kg=8db,第四節(jié) 系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性,閉環(huán)頻率特性與開(kāi)環(huán)頻率特性關(guān)系,等M圓圖,等N圓圖,尼柯?tīng)査箞D,（一）、閉環(huán)頻率特性與開(kāi)環(huán)頻率特性關(guān)系,對(duì)于單位反饋系統(tǒng),閉環(huán)頻率特性與開(kāi)環(huán) 頻率特性之間的關(guān)系為 ：,當(dāng)w w1時(shí),開(kāi)環(huán)幅相頻率,閉環(huán)頻率特性,（二）、等M圓圖,等M圓是在復(fù)平面上表示閉環(huán)頻率特性等 幅值的一族圓。 如果將開(kāi)環(huán)頻率特性表示為G(jw)=U(w)+j(w)， 則閉環(huán)頻率特性為,幅頻M為,配方整理后得,圓心和半徑分別為,（三）、等N圓圖,等N圓是復(fù)平面上表示閉環(huán)頻率特性等相角的 一族圓。 如果將開(kāi)環(huán)頻率特性表示為G(jw)=U(w)+j(w)，

14、 則閉環(huán)頻率特性為,相角為,（四）、尼柯?tīng)査箞D,尼柯?tīng)査箞D可以用將等M圓和等N圓轉(zhuǎn)換到 對(duì)數(shù)幅值和相角坐標(biāo)圖上的方法獲得。由兩 組曲線組成 ： 一組是對(duì)應(yīng)于閉環(huán)頻率特性的幅值(20lgM)為 定值時(shí)的軌跡;另一組是對(duì)應(yīng)于閉環(huán)頻率特性 的相角(q )為定值的軌跡。 尼柯?tīng)査箞D的橫坐標(biāo)是開(kāi)環(huán)頻率特性的相角, 縱坐標(biāo)是開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的幅值20lgG(w)。,由等M圓和等N圓畫(huà)閉環(huán)系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線,由等M圓和等N圓畫(huà)閉環(huán)系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線,由等M圓和等N圓畫(huà)閉環(huán)系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線,例5-10 試?yán)L制下列系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的 閉環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖。,先作出該系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖。,再利用該圖繪制開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅相圖,并

15、將它 繪在尼柯?tīng)査箞D上。根據(jù)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅相圖 與等M線和等q線的交點(diǎn)或切點(diǎn),可以求出 閉環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖。,用尼柯?tīng)査箞D由開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù) 幅相圖求閉環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖,開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅相圖與6.3dB等M線相切,即諧 振峰值Mr為6.3dB,諧振頻率wr為0.9rad/s, 而帶寬頻率wb為1.7rad/s。,第五節(jié) 頻率特性與瞬態(tài)響應(yīng),二階系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)與阻尼比的關(guān)系,高階系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)及 近似處理,（一）、二階系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo) 與阻尼比的關(guān)系,二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式是 式中 z 阻尼比;wn無(wú)阻尼自然頻率。,二階系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性,1. 諧振頻率wr,當(dāng)0z0.707時(shí),若M( )在某一頻率 處有極大值。,2. 諧振峰值Mr,二階系統(tǒng)超調(diào)量的計(jì)算公式是,0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0,1,2,3,M r,s 與z的關(guān)系曲線,3. 帶寬頻率wb 截止頻率wb 是閉環(huán)頻率特性的幅值降為=0.707時(shí)的頻率值，又稱(chēng)為帶寬頻率。,4. 相角裕量g 相角裕量g ：開(kāi)環(huán)頻率特性幅值為1時(shí)的相角與180之和。,二階系統(tǒng)的相角裕量為,當(dāng)z 0.7的范圍內(nèi),它們的關(guān)系可以近似地表示為 z = 0.01g,（二）、高階系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)及近