第十章直線相關(guān)與回歸

1、第十章 直線相關(guān)與回歸一、教學大綱要求（一） 掌握內(nèi)容直線相關(guān)與回歸的基本概念。相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)的意義及計算。相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)相互的區(qū)別與聯(lián)系。（二）熟悉內(nèi)容相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗。直線回歸方程的應用。秩相關(guān)與秩回歸的意義。（三）了解內(nèi)容曲線直線化。二、 學內(nèi)容精要(一) 直線回歸1. 基本概念直線回歸(linear regression)建立一個描述應變量依自變量變化而變化的直線方程，并要求各點與該直線縱向距離的平方和為最小。直線回歸是回歸分析中最基本、最簡單的一種，故又稱簡單回歸（simple regression）。直線回歸方程中，a、b是決定直線的兩個系數(shù)，見表10-1。表1

2、0-1 直線回歸方程a、b兩系數(shù)對比ab含義回歸直線在Y軸上的截距（intercept）。表示X為零時，Y的平均水平的估計值?；貧w系數(shù)（regression coefficient），即直線的斜率。表示X每變化一個單位時，Y的平均變化量的估計值。系數(shù)0a0表示直線與縱軸的交點在原點的上方b0，表示直線從左下方走向右上方，即Y隨X增大而增大系數(shù)0a0表示直線與縱軸的交點在原點的下方br0.05( n-2)時，可認為兩變量X與Y間（ ）A有一定關(guān)系 B. 有正相關(guān)關(guān)系C一定有直線關(guān)系 D. 有直線關(guān)系答案： D評析 本題考點：直線相關(guān)系數(shù)假設(shè)檢驗的理解。因為直線相關(guān)系數(shù)r是樣本的相關(guān)系數(shù)，它是相應

3、總體相關(guān)系數(shù)的估計值。由于抽樣誤差的影響，必須進行顯著性檢驗。r的假設(shè)檢驗是檢驗兩變量是否有直線相關(guān)關(guān)系。|r|r0.05( n-2)時，P0 D. 0，b0，b0Cr0 D. r與b的符號毫無關(guān)系答案： B評析 本題考點：直線相關(guān)與回歸的區(qū)別與聯(lián)系的理解。因為對同一資料而言直線相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)的方向一致，若能同時計算b和r,它們的符號一致。因此，同一雙變量資料，進行直線相關(guān)與回歸分析，有r0，b0。四、習 題（一） 單項選擇題1 下列( )式可出現(xiàn)負值。A（X）2 BY 2（Y）2/nC(Y) 2 D（X）（Y）2 Y=14+4X是17歲兒童以年齡（歲）估計體重（市斤）的回歸方程，若體重換

4、成國際單位kg，則此方程( )。A截距改變 B回歸系數(shù)改變C兩者都改變 D兩者都不改變3 已知r=1，則一定有( )。Ab=1 Ba=1CSY. X=0 DSY. X= SY4 用最小二乘法確定直線回歸方程的原則是各觀察點( )。A距直線的縱向距離相等B距直線的縱向距離的平方和最小C與直線的垂直距離相等D與直線的垂直距離的平方和最小5 直線回歸分析中，X的影響被扣除后，Y方面的變異可用指標( )表示。A B. C. D. 6 直線回歸系數(shù)假設(shè)檢驗，其自由度為( )。An Bn1Cn2 D2n17 應變量Y的離均差平方和劃分，可出現(xiàn)( )。ASS剩=SS回 BSS總=SS剩CSS總=SS回 D以

5、上均可8 下列計算SS剩的公式不正確的是( )。A B C. D 9 直線相關(guān)系數(shù)可用( )計算。A BC D 以上均可10 當r=0時，回歸方程中有( )。Aa必大于零 B. a必等于Ca必等于零 D. a必等于（二） 名詞解釋1. 直線回歸 2. 回歸系數(shù) 3. 剩余平方和 4. 回歸平方和 5. 直線相關(guān)6. 零相關(guān) 7. 相關(guān)系數(shù) 8. 決定系數(shù) 9. 曲線直線化 10.秩相關(guān)（三） 是非題1 剩余平方和SS剩1=SS剩2，則r1必然等于r2。2 直線回歸反映兩變量間的依存關(guān)系，而直線相關(guān)反映兩變量間的相互直線關(guān)系。3 兩變量關(guān)系越密切r值越大。（四）簡答題1 用什么方法考察回歸直線圖

6、示是否正確？2 剩余標準差的意義和用途？3 某資料n=100，X與Y的相關(guān)系數(shù)為r=0.1，可否認為X與Y有較密切的相關(guān)關(guān)系？4 r與rs的應用條件有何不同？5 應用直線回歸和相關(guān)分析時應注意哪些問題？6 舉例說明如何用直線回歸方程進行預測和控制？7 直線回歸分析時怎樣確定因變量與自變量？（五）計算題110名20歲男青年身高與前臂長的數(shù)據(jù)見表10-2。計算相關(guān)系數(shù)并對=0進行假設(shè)檢驗；計算總體的95%可信區(qū)間。表10-2 10名20歲男青年身高與前臂長身 高（cm）170173160155173188178183180165前臂長（cm）454244414750474649432 某單位研究代

7、乳粉營養(yǎng)價值時，用大白鼠作實驗，得到大白鼠進食量和增加體重的數(shù)據(jù)見表10-3。此資料有無可疑的異常點？求直線回歸方程并對回歸系數(shù)作假設(shè)檢驗。試估計進食量為900g時，大白鼠的體重平均增加多少，計算其95%的可信區(qū)間，并說明其含義。求進食量為900g時，個體Y值的95%容許區(qū)間，并解釋其意義。表10-3 八只大白鼠的進食量和體重增加量鼠號12345678進食量（g）800780720867690787934750增量（g）1851581301801341671861333 某省衛(wèi)生防疫站對八個城市進行肺癌死亡回顧調(diào)查，并對大氣中苯并（a）芘進行監(jiān)測，結(jié)果如下，試檢驗兩者有無相關(guān)？表10-4 八個

8、城市的肺癌標化死亡率和大氣中苯并（a）芘濃度城市編號12345678肺癌標化死亡率（1/10萬）5.6018.5016.2311.4013.808.1318.0012.10苯并（a）芘（g/100m3）0.051.171.050.100.750.500.651.204 就下表資料分析血小板和出血癥的關(guān)系。表10-5 12例病人的血小板濃度和出血癥的關(guān)系病例號123456789101112血小板數(shù)（109/L）12013016031042054074010601260123014402000出血癥狀+五、習題答題要點（一） 單項選擇題1.D 2.C 3.C 4.B 5.C 6.C 7.D 8.B

9、 9.D 10.D（二） 名詞解釋1 直線回歸（linear regression）建立一個描述應變量依自變量變化而變化的直線方程，并要求各點與該直線縱向距離的平方和為最小。直線回歸是回歸分析中最基本、最簡單的一種，故又稱簡單回歸（simple regression）。2 回歸系數(shù)（regression coefficient）即直線的斜率(slope)，在直線回歸方程中用b表示，b的統(tǒng)計意義為X每增（減）一個單位時，Y平均改變b個單位。3 剩余平方和（residual sum of squares），SS剩即，它反映X對Y的線性影響之外的一切因素對Y的變異的作用，也就是在總平方和中無法用X解

10、釋的部分。在散點圖中，各實測點離回歸直線越近，也就越小，說明直線回歸的估計誤差越小。4 回歸平方和（regression sum of squares），SS回即，它反映由于X與Y的直線關(guān)系而使Y的總變異所減小的部分，也就是在總平方和中可以用X解釋的部分。回歸平方和越大，說明回歸效果越好。5 直線相關(guān)（linear correlation）又稱簡單相關(guān)（simple correlation），用于雙變量正態(tài)分布資料。有正相關(guān)、負相關(guān)和零相關(guān)等關(guān)系。直線相關(guān)的性質(zhì)可由散點圖直觀的說明。6 零相關(guān)（zerro correlation）是指兩變量間沒有直線相關(guān)關(guān)系。11 相關(guān)系數(shù)又稱積差相關(guān)系數(shù)（c

11、oefficient of product-moment correlation），以符號r表示樣本相關(guān)系數(shù)，表示總體相關(guān)系數(shù)。它是說明具有直線關(guān)系的兩個變量間，相關(guān)關(guān)系的密切程度與相關(guān)方向的指標。12 決定系數(shù)（coefficient of determination）即r的平方，說明當SS總固定不變時，回歸平方和的大小決定了r平方的大小。回歸平方和越接近總平方和，則r平方值越接近1。13 曲線直線化（rectification）是曲線擬合的重要手段之一。對于某些非線性的資料可以通過簡單的變量變換使之直線化，用直線回歸分析方法來分析。14. 秩相關(guān)又稱等級相關(guān)（rank correlatio

12、n），是用雙變量等級數(shù)據(jù)作直線相關(guān)分析，適用于下列資料：不服從雙變量正態(tài)分布而不宜作積差相關(guān)分析；總體分布型未知；用等級表示的原始數(shù)據(jù)。（三）是非題1錯。兩樣本剩余平方和SS剩1=SS剩2，但兩樣本總平方和SS總及回歸平方和SS回不一定相等，故兩樣本相關(guān)系數(shù)r1與 r2不一定相等。2正確。3錯。相關(guān)系數(shù)r有正負之分，其值為1r1，在總體相關(guān)系數(shù)不為零，即兩變量確有直線關(guān)系前提下，r絕對值愈接近1，兩個變量間的直線相關(guān)愈密切；愈接近0，相關(guān)愈不密切。（四）簡答題1用以下三種方法判定：直線必須通過點（）。若縱坐標、橫坐標無折斷號時，將此線左端延長與縱軸相交，交點的縱坐標必等于截距a。直線是否在自變

13、量X的實測范圍內(nèi)。2剩余標準差用sY. X表示： 其意義是指當X對Y的影響被扣除后，Y方面仍有變異頁：91考慮b=0時，y估計值是相等的，但此時仍然有剩余平方和存在；y的估計值不相等，講的恰好是回歸平方和，因為此時估計值與y的均數(shù)存在離差。這部分變異與X無關(guān)，純屬抽樣變異。故sY. X是用來反映Y的剩余變異的，即不考慮X以后Y本身的隨機變異。剩余標準差可用于：估計回歸系數(shù)b的標準誤，進行回歸系數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗。估計總體中當X為某一定值時，估計值的標準誤。 并可計算的可信區(qū)間，sY. X可作為預報精度的指標。估計總體中當X為某一定值時，個體Y值的標準差。，并計算個體Y值的容許區(qū)間。3n=1

14、00，r=0.1時，對相關(guān)系數(shù)進行t檢驗，按檢驗水準=0.05，拒絕H0(=0)，接受H1(0)，認為兩變量有相關(guān)關(guān)系，但決定系數(shù)r2=0.12=0.01，表示回歸平方和在總平方和中僅占1%，說明兩變量間的相關(guān)關(guān)系實際意義不大。4積差相關(guān)系數(shù)r用于描述雙變量正態(tài)分布資料的相關(guān)關(guān)系。等級相關(guān)系數(shù)rs適用于下列資料：不服從雙變量正態(tài)分布而不宜作積差相關(guān)分析的資料；總體分布型未知的資料；原始資料是用等級表示的資料。5注意以下五個問題作回歸分析和相關(guān)分析時要有實際意義，不能把毫無關(guān)聯(lián)的兩種現(xiàn)象作回歸、相關(guān)分析，必須對兩種現(xiàn)象間的內(nèi)在聯(lián)系有所認識。在進行回歸分析和相關(guān)分析之前，應繪制散點圖。但觀察點的分

15、布有直線趨勢時，才適宜作回歸、相關(guān)分析。如果散點圖呈明顯曲線趨勢，應使之直線化再行分析。散點圖還能提示資料有無可疑異常點。直線回歸方程的應用范圍一般以自變量的取值范圍為限。若無充分理由證明超過自變量取值范圍外還是直線，應避免外延。雙變量的小樣本經(jīng)t檢驗只能推斷兩變量間有無直線關(guān)系，而不能推斷相關(guān)的緊密程度，要推斷相關(guān)的緊密程度，樣本含量必須很大。相關(guān)或回歸關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系，有相關(guān)或回歸關(guān)系不能證明事物間確有內(nèi)在聯(lián)系。6用直線回歸方程進行預測和控制的步驟根據(jù)研究目的確定預報因子（X）和預報量（Y），由X估計Y值，收集資料。建立預報方程，并進行回歸系數(shù)假設(shè)檢驗。若P小于臨界值

16、，則回歸方程成立。根據(jù)回歸方程在X實測范圍內(nèi)對Y進行預測，并計算X為某定值時，個體Y值波動范圍（容許區(qū)間）。例如，17歲兒童，X為年齡，Y為體重，可根據(jù)年齡預測（估計）體重。統(tǒng)計控制是利用回歸方程進行逆估計，如要求因變量Y值在一定范圍內(nèi)波動，可以通過控制自變量X的取值來實現(xiàn)。步驟同前。例如，針刺啞門穴，進針深度Y與頸圍X間存在直線關(guān)系，可根據(jù)X取值達到控制Y的目的。7型回歸中，X為精密測量和嚴格控制的變量，Y為正態(tài)變量。型回歸中，X、Y均為服從正態(tài)分布的隨機變量，可計算兩個回歸方程。何者為X，何者為Y，根據(jù)研究目的確定。例如，測得某一人群的身高和體重兩變量，若目的只是由身高估計體重，則確定X為

17、身高，Y為體重。 （五）計算題1由原始數(shù)據(jù)及散點圖的初步分析（圖10-1），估計本資料有直線趨勢。（1）計算相關(guān)系數(shù)與=0進行假設(shè)檢驗。H0：=0，即身高與前臂長間無直線相關(guān)關(guān)系H1：0，即身高與前臂長間有直線相關(guān)關(guān)系=0.05，查t界值表，得0.002P0.005，按=0.05水準拒絕H0，接受H1，故可認為20歲男青年身高與前臂長呈正直線相關(guān)。 算總體的95%可信區(qū)間。對r作z變換：或，z=tanh10.8227=1.1651z的95%可信區(qū)間：按r=tanhz對z作反變換，得20歲男青年身高與與前臂長總體相關(guān)系數(shù)的95%可信區(qū)間為（0.4005，0.9567）。2由原始數(shù)據(jù)及散點圖初步分

18、析（圖10-2），估本資料有直線趨勢，故作下列計算。X=6328，X2=，Y=1273，Y2=， ，XY= Y=172.94+0.42XY=47.33+0.26XY=78.29+0.10X 圖10-2 大白鼠的進食量與增加體重散點圖（1）回歸系數(shù)假設(shè)檢驗：H0：0，即進食量與增重之間無直線關(guān)系H1：0，即進食量與增重之間有直線關(guān)系0.05 方差分析，見表10-6。表10-6 方差分析表變異來源SSMSF總變異4052.8757回歸2954.90512954.90516.147剩余1097.9706182.995計算得F=16.147，查F界值表，得PP0.05，按0.05水準，拒絕H0，接受H

19、1，結(jié)論同上。本題故可用直線回歸方程來描述大白鼠的進食量與增加體重的關(guān)系。異常點即對應于殘差（Y）絕對值特大的觀測數(shù)據(jù)見表10-7。表10-7 殘差的計算序號XY Y1800185161.47423.5262780158156.2541.7463720130140.59410.5944867180178.9611.0395690134132.7641.2366787167158.0818.9197934186196.44810.4488750133148.42415.424由散點圖及殘差分析，第一號點（X=800，Y=185）為可疑的異常點。根據(jù)以上的計算結(jié)果，進一步求其總體回歸系數(shù)的95%可

20、信區(qū)間。繪制回歸直線并圖示回歸系數(shù)的95%可信區(qū)間?？傮w回歸系數(shù)的95%可信區(qū)間：（bt0.05(n2) Sb，bt0.05(n2) Sb）=（0.2612.44713.5107，0.2612.44713.5107）=（0.1022，0.4198）取X1=690，代入回歸方程=47.326+0.261X，得Y1=132.76；X2=934，Y2=196.45。在圖上確定（690，132.76）和（934，196.45）兩個點，以直線連接即得回歸直線的圖形見圖10-2。按回歸系數(shù)的95%可信區(qū)間下限和上限分別代入，得=78.285，=172.937。回歸系數(shù)的95%可信區(qū)間上、下限對應的兩條直線

21、，即圖10-2中兩條回歸直線，回歸方程為：=78.285+0.1022X，=172.937+0.4198X估計進食量為900g時，大白鼠的體重平均增加多少，計算其95%的可信區(qū)間，并說明其含義。當X=900時，的95%可信區(qū)間：（t0.05(6) ，t0.05(6) ）=（187.5742.4478.5446，187.5742.4478.5446）=（166.67，208.48）即總體中，進食量為900g時，大白鼠的體重平均增加187.574g，其95%的可信區(qū)間為166.67208.48g。其含義為：當進食量為900g時，相應的平均增重服從一個正態(tài)分布（此正態(tài)分布的樣本均數(shù)估計值為187.5

22、74g），如果從此正態(tài)分布中重復抽樣100次，這100個可信區(qū)間中理論上將有95個區(qū)間包含真正的總體均數(shù)（雖然這個總體均數(shù)真值是未知的）。求進食量為900g時，個體Y值的95%容許區(qū)間，并解釋其意義。當X=900時，=47.326+0.261X=187.574，個體Y值的95%容許區(qū)間：（t0.05(6)SY ，t0.05(6)SY）=（187.5742.44716.0002，187.5742.44716.0002）=（148.42，226.73）即估計總體中，進食量為900g時，有95%的大白鼠增加體重在148.42226.73g范圍內(nèi)。3本題資料不服從雙變量正態(tài)分布，宜計算等級相關(guān)系數(shù)。計算過程見表10-8表10-8 八個城市的肺癌標化死亡率和大氣中苯并（a）芘的相關(guān)分析肺癌標化死亡率（1/10萬）苯并（a）芘城市編號X等級Y等級d=d215.6010.0