第十章直線相關(guān)與回歸

1、第十章 直線相關(guān)與回歸一、教學(xué)大綱要求（一） 掌握內(nèi)容直線相關(guān)與回歸的基本概念。相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)的意義及計(jì)算。相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)相互的區(qū)別與聯(lián)系。（二）熟悉內(nèi)容相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。直線回歸方程的應(yīng)用。秩相關(guān)與秩回歸的意義。（三）了解內(nèi)容曲線直線化。二、 學(xué)內(nèi)容精要(一) 直線回歸1. 基本概念直線回歸(linear regression)建立一個(gè)描述應(yīng)變量依自變量變化而變化的直線方程，并要求各點(diǎn)與該直線縱向距離的平方和為最小。直線回歸是回歸分析中最基本、最簡(jiǎn)單的一種，故又稱簡(jiǎn)單回歸（simple regression）。直線回歸方程中，a、b是決定直線的兩個(gè)系數(shù)，見(jiàn)表10-1。表1

2、0-1 直線回歸方程a、b兩系數(shù)對(duì)比ab含義回歸直線在Y軸上的截距（intercept）。表示X為零時(shí)，Y的平均水平的估計(jì)值?；貧w系數(shù)（regression coefficient），即直線的斜率。表示X每變化一個(gè)單位時(shí)，Y的平均變化量的估計(jì)值。系數(shù)0a0表示直線與縱軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)的上方b0，表示直線從左下方走向右上方，即Y隨X增大而增大系數(shù)0a0表示直線與縱軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)的下方br0.05( n-2)時(shí)，可認(rèn)為兩變量X與Y間（ ）A有一定關(guān)系 B. 有正相關(guān)關(guān)系C一定有直線關(guān)系 D. 有直線關(guān)系答案： D評(píng)析 本題考點(diǎn)：直線相關(guān)系數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的理解。因?yàn)橹本€相關(guān)系數(shù)r是樣本的相關(guān)系數(shù)，它是相應(yīng)

3、總體相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值。由于抽樣誤差的影響，必須進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。r的假設(shè)檢驗(yàn)是檢驗(yàn)兩變量是否有直線相關(guān)關(guān)系。|r|r0.05( n-2)時(shí)，P0 D. 0，b0，b0Cr0 D. r與b的符號(hào)毫無(wú)關(guān)系答案： B評(píng)析 本題考點(diǎn)：直線相關(guān)與回歸的區(qū)別與聯(lián)系的理解。因?yàn)閷?duì)同一資料而言直線相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)的方向一致，若能同時(shí)計(jì)算b和r,它們的符號(hào)一致。因此，同一雙變量資料，進(jìn)行直線相關(guān)與回歸分析，有r0，b0。四、習(xí) 題（一） 單項(xiàng)選擇題1 下列( )式可出現(xiàn)負(fù)值。A（X）2 BY 2（Y）2/nC(Y) 2 D（X）（Y）2 Y=14+4X是17歲兒童以年齡（歲）估計(jì)體重（市斤）的回歸方程，若體重?fù)Q

4、成國(guó)際單位kg，則此方程( )。A截距改變 B回歸系數(shù)改變C兩者都改變 D兩者都不改變3 已知r=1，則一定有( )。Ab=1 Ba=1CSY. X=0 DSY. X= SY4 用最小二乘法確定直線回歸方程的原則是各觀察點(diǎn)( )。A距直線的縱向距離相等B距直線的縱向距離的平方和最小C與直線的垂直距離相等D與直線的垂直距離的平方和最小5 直線回歸分析中，X的影響被扣除后，Y方面的變異可用指標(biāo)( )表示。A B. C. D. 6 直線回歸系數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)，其自由度為( )。An Bn1Cn2 D2n17 應(yīng)變量Y的離均差平方和劃分，可出現(xiàn)( )。ASS剩=SS回 BSS總=SS剩CSS總=SS回 D以

5、上均可8 下列計(jì)算SS剩的公式不正確的是( )。A B C. D 9 直線相關(guān)系數(shù)可用( )計(jì)算。A BC D 以上均可10 當(dāng)r=0時(shí)，回歸方程中有( )。Aa必大于零 B. a必等于Ca必等于零 D. a必等于（二） 名詞解釋1. 直線回歸 2. 回歸系數(shù) 3. 剩余平方和 4. 回歸平方和 5. 直線相關(guān)6. 零相關(guān) 7. 相關(guān)系數(shù) 8. 決定系數(shù) 9. 曲線直線化 10.秩相關(guān)（三） 是非題1 剩余平方和SS剩1=SS剩2，則r1必然等于r2。2 直線回歸反映兩變量間的依存關(guān)系，而直線相關(guān)反映兩變量間的相互直線關(guān)系。3 兩變量關(guān)系越密切r值越大。（四）簡(jiǎn)答題1 用什么方法考察回歸直線圖

6、示是否正確？2 剩余標(biāo)準(zhǔn)差的意義和用途？3 某資料n=100，X與Y的相關(guān)系數(shù)為r=0.1，可否認(rèn)為X與Y有較密切的相關(guān)關(guān)系？4 r與rs的應(yīng)用條件有何不同？5 應(yīng)用直線回歸和相關(guān)分析時(shí)應(yīng)注意哪些問(wèn)題？6 舉例說(shuō)明如何用直線回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制？7 直線回歸分析時(shí)怎樣確定因變量與自變量？（五）計(jì)算題110名20歲男青年身高與前臂長(zhǎng)的數(shù)據(jù)見(jiàn)表10-2。計(jì)算相關(guān)系數(shù)并對(duì)=0進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)；計(jì)算總體的95%可信區(qū)間。表10-2 10名20歲男青年身高與前臂長(zhǎng)身 高（cm）170173160155173188178183180165前臂長(zhǎng)（cm）454244414750474649432 某單位研究代

7、乳粉營(yíng)養(yǎng)價(jià)值時(shí)，用大白鼠作實(shí)驗(yàn)，得到大白鼠進(jìn)食量和增加體重的數(shù)據(jù)見(jiàn)表10-3。此資料有無(wú)可疑的異常點(diǎn)？求直線回歸方程并對(duì)回歸系數(shù)作假設(shè)檢驗(yàn)。試估計(jì)進(jìn)食量為900g時(shí)，大白鼠的體重平均增加多少，計(jì)算其95%的可信區(qū)間，并說(shuō)明其含義。求進(jìn)食量為900g時(shí)，個(gè)體Y值的95%容許區(qū)間，并解釋其意義。表10-3 八只大白鼠的進(jìn)食量和體重增加量鼠號(hào)12345678進(jìn)食量（g）800780720867690787934750增量（g）1851581301801341671861333 某省衛(wèi)生防疫站對(duì)八個(gè)城市進(jìn)行肺癌死亡回顧調(diào)查，并對(duì)大氣中苯并（a）芘進(jìn)行監(jiān)測(cè)，結(jié)果如下，試檢驗(yàn)兩者有無(wú)相關(guān)？表10-4 八個(gè)

8、城市的肺癌標(biāo)化死亡率和大氣中苯并（a）芘濃度城市編號(hào)12345678肺癌標(biāo)化死亡率（1/10萬(wàn)）5.6018.5016.2311.4013.808.1318.0012.10苯并（a）芘（g/100m3）0.051.171.050.100.750.500.651.204 就下表資料分析血小板和出血癥的關(guān)系。表10-5 12例病人的血小板濃度和出血癥的關(guān)系病例號(hào)123456789101112血小板數(shù)（109/L）12013016031042054074010601260123014402000出血癥狀+五、習(xí)題答題要點(diǎn)（一） 單項(xiàng)選擇題1.D 2.C 3.C 4.B 5.C 6.C 7.D 8.B

9、 9.D 10.D（二） 名詞解釋1 直線回歸（linear regression）建立一個(gè)描述應(yīng)變量依自變量變化而變化的直線方程，并要求各點(diǎn)與該直線縱向距離的平方和為最小。直線回歸是回歸分析中最基本、最簡(jiǎn)單的一種，故又稱簡(jiǎn)單回歸（simple regression）。2 回歸系數(shù)（regression coefficient）即直線的斜率(slope)，在直線回歸方程中用b表示，b的統(tǒng)計(jì)意義為X每增（減）一個(gè)單位時(shí)，Y平均改變b個(gè)單位。3 剩余平方和（residual sum of squares），SS剩即，它反映X對(duì)Y的線性影響之外的一切因素對(duì)Y的變異的作用，也就是在總平方和中無(wú)法用X解

10、釋的部分。在散點(diǎn)圖中，各實(shí)測(cè)點(diǎn)離回歸直線越近，也就越小，說(shuō)明直線回歸的估計(jì)誤差越小。4 回歸平方和（regression sum of squares），SS回即，它反映由于X與Y的直線關(guān)系而使Y的總變異所減小的部分，也就是在總平方和中可以用X解釋的部分?；貧w平方和越大，說(shuō)明回歸效果越好。5 直線相關(guān)（linear correlation）又稱簡(jiǎn)單相關(guān)（simple correlation），用于雙變量正態(tài)分布資料。有正相關(guān)、負(fù)相關(guān)和零相關(guān)等關(guān)系。直線相關(guān)的性質(zhì)可由散點(diǎn)圖直觀的說(shuō)明。6 零相關(guān)（zerro correlation）是指兩變量間沒(méi)有直線相關(guān)關(guān)系。11 相關(guān)系數(shù)又稱積差相關(guān)系數(shù)（c

11、oefficient of product-moment correlation），以符號(hào)r表示樣本相關(guān)系數(shù)，表示總體相關(guān)系數(shù)。它是說(shuō)明具有直線關(guān)系的兩個(gè)變量間，相關(guān)關(guān)系的密切程度與相關(guān)方向的指標(biāo)。12 決定系數(shù)（coefficient of determination）即r的平方，說(shuō)明當(dāng)SS總固定不變時(shí)，回歸平方和的大小決定了r平方的大小?；貧w平方和越接近總平方和，則r平方值越接近1。13 曲線直線化（rectification）是曲線擬合的重要手段之一。對(duì)于某些非線性的資料可以通過(guò)簡(jiǎn)單的變量變換使之直線化，用直線回歸分析方法來(lái)分析。14. 秩相關(guān)又稱等級(jí)相關(guān)（rank correlatio

12、n），是用雙變量等級(jí)數(shù)據(jù)作直線相關(guān)分析，適用于下列資料：不服從雙變量正態(tài)分布而不宜作積差相關(guān)分析；總體分布型未知；用等級(jí)表示的原始數(shù)據(jù)。（三）是非題1錯(cuò)。兩樣本剩余平方和SS剩1=SS剩2，但兩樣本總平方和SS總及回歸平方和SS回不一定相等，故兩樣本相關(guān)系數(shù)r1與 r2不一定相等。2正確。3錯(cuò)。相關(guān)系數(shù)r有正負(fù)之分，其值為1r1，在總體相關(guān)系數(shù)不為零，即兩變量確有直線關(guān)系前提下，r絕對(duì)值愈接近1，兩個(gè)變量間的直線相關(guān)愈密切；愈接近0，相關(guān)愈不密切。（四）簡(jiǎn)答題1用以下三種方法判定：直線必須通過(guò)點(diǎn)（）。若縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)無(wú)折斷號(hào)時(shí)，將此線左端延長(zhǎng)與縱軸相交，交點(diǎn)的縱坐標(biāo)必等于截距a。直線是否在自變

13、量X的實(shí)測(cè)范圍內(nèi)。2剩余標(biāo)準(zhǔn)差用sY. X表示： 其意義是指當(dāng)X對(duì)Y的影響被扣除后，Y方面仍有變異頁(yè)：91考慮b=0時(shí)，y估計(jì)值是相等的，但此時(shí)仍然有剩余平方和存在；y的估計(jì)值不相等，講的恰好是回歸平方和，因?yàn)榇藭r(shí)估計(jì)值與y的均數(shù)存在離差。這部分變異與X無(wú)關(guān)，純屬抽樣變異。故sY. X是用來(lái)反映Y的剩余變異的，即不考慮X以后Y本身的隨機(jī)變異。剩余標(biāo)準(zhǔn)差可用于：估計(jì)回歸系數(shù)b的標(biāo)準(zhǔn)誤，進(jìn)行回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。估計(jì)總體中當(dāng)X為某一定值時(shí)，估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤。 并可計(jì)算的可信區(qū)間，sY. X可作為預(yù)報(bào)精度的指標(biāo)。估計(jì)總體中當(dāng)X為某一定值時(shí)，個(gè)體Y值的標(biāo)準(zhǔn)差。，并計(jì)算個(gè)體Y值的容許區(qū)間。3n=1

14、00，r=0.1時(shí)，對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行t檢驗(yàn)，按檢驗(yàn)水準(zhǔn)=0.05，拒絕H0(=0)，接受H1(0)，認(rèn)為兩變量有相關(guān)關(guān)系，但決定系數(shù)r2=0.12=0.01，表示回歸平方和在總平方和中僅占1%，說(shuō)明兩變量間的相關(guān)關(guān)系實(shí)際意義不大。4積差相關(guān)系數(shù)r用于描述雙變量正態(tài)分布資料的相關(guān)關(guān)系。等級(jí)相關(guān)系數(shù)rs適用于下列資料：不服從雙變量正態(tài)分布而不宜作積差相關(guān)分析的資料；總體分布型未知的資料；原始資料是用等級(jí)表示的資料。5注意以下五個(gè)問(wèn)題作回歸分析和相關(guān)分析時(shí)要有實(shí)際意義，不能把毫無(wú)關(guān)聯(lián)的兩種現(xiàn)象作回歸、相關(guān)分析，必須對(duì)兩種現(xiàn)象間的內(nèi)在聯(lián)系有所認(rèn)識(shí)。在進(jìn)行回歸分析和相關(guān)分析之前，應(yīng)繪制散點(diǎn)圖。但觀察點(diǎn)的分

15、布有直線趨勢(shì)時(shí)，才適宜作回歸、相關(guān)分析。如果散點(diǎn)圖呈明顯曲線趨勢(shì)，應(yīng)使之直線化再行分析。散點(diǎn)圖還能提示資料有無(wú)可疑異常點(diǎn)。直線回歸方程的應(yīng)用范圍一般以自變量的取值范圍為限。若無(wú)充分理由證明超過(guò)自變量取值范圍外還是直線，應(yīng)避免外延。雙變量的小樣本經(jīng)t檢驗(yàn)只能推斷兩變量間有無(wú)直線關(guān)系，而不能推斷相關(guān)的緊密程度，要推斷相關(guān)的緊密程度，樣本含量必須很大。相關(guān)或回歸關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系，有相關(guān)或回歸關(guān)系不能證明事物間確有內(nèi)在聯(lián)系。6用直線回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制的步驟根據(jù)研究目的確定預(yù)報(bào)因子（X）和預(yù)報(bào)量（Y），由X估計(jì)Y值，收集資料。建立預(yù)報(bào)方程，并進(jìn)行回歸系數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)。若P小于臨界值

16、，則回歸方程成立。根據(jù)回歸方程在X實(shí)測(cè)范圍內(nèi)對(duì)Y進(jìn)行預(yù)測(cè)，并計(jì)算X為某定值時(shí)，個(gè)體Y值波動(dòng)范圍（容許區(qū)間）。例如，17歲兒童，X為年齡，Y為體重，可根據(jù)年齡預(yù)測(cè)（估計(jì)）體重。統(tǒng)計(jì)控制是利用回歸方程進(jìn)行逆估計(jì)，如要求因變量Y值在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，可以通過(guò)控制自變量X的取值來(lái)實(shí)現(xiàn)。步驟同前。例如，針刺啞門(mén)穴，進(jìn)針深度Y與頸圍X間存在直線關(guān)系，可根據(jù)X取值達(dá)到控制Y的目的。7型回歸中，X為精密測(cè)量和嚴(yán)格控制的變量，Y為正態(tài)變量。型回歸中，X、Y均為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，可計(jì)算兩個(gè)回歸方程。何者為X，何者為Y，根據(jù)研究目的確定。例如，測(cè)得某一人群的身高和體重兩變量，若目的只是由身高估計(jì)體重，則確定X為

17、身高，Y為體重。 （五）計(jì)算題1由原始數(shù)據(jù)及散點(diǎn)圖的初步分析（圖10-1），估計(jì)本資料有直線趨勢(shì)。（1）計(jì)算相關(guān)系數(shù)與=0進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。H0：=0，即身高與前臂長(zhǎng)間無(wú)直線相關(guān)關(guān)系H1：0，即身高與前臂長(zhǎng)間有直線相關(guān)關(guān)系=0.05，查t界值表，得0.002P0.005，按=0.05水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1，故可認(rèn)為20歲男青年身高與前臂長(zhǎng)呈正直線相關(guān)。 算總體的95%可信區(qū)間。對(duì)r作z變換：或，z=tanh10.8227=1.1651z的95%可信區(qū)間：按r=tanhz對(duì)z作反變換，得20歲男青年身高與與前臂長(zhǎng)總體相關(guān)系數(shù)的95%可信區(qū)間為（0.4005，0.9567）。2由原始數(shù)據(jù)及散點(diǎn)圖初步分

18、析（圖10-2），估本資料有直線趨勢(shì)，故作下列計(jì)算。X=6328，X2=，Y=1273，Y2=， ，XY= Y=172.94+0.42XY=47.33+0.26XY=78.29+0.10X 圖10-2 大白鼠的進(jìn)食量與增加體重散點(diǎn)圖（1）回歸系數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)：H0：0，即進(jìn)食量與增重之間無(wú)直線關(guān)系H1：0，即進(jìn)食量與增重之間有直線關(guān)系0.05 方差分析，見(jiàn)表10-6。表10-6 方差分析表變異來(lái)源SSMSF總變異4052.8757回歸2954.90512954.90516.147剩余1097.9706182.995計(jì)算得F=16.147，查F界值表，得PP0.05，按0.05水準(zhǔn)，拒絕H0，接受H

19、1，結(jié)論同上。本題故可用直線回歸方程來(lái)描述大白鼠的進(jìn)食量與增加體重的關(guān)系。異常點(diǎn)即對(duì)應(yīng)于殘差（Y）絕對(duì)值特大的觀測(cè)數(shù)據(jù)見(jiàn)表10-7。表10-7 殘差的計(jì)算序號(hào)XY Y1800185161.47423.5262780158156.2541.7463720130140.59410.5944867180178.9611.0395690134132.7641.2366787167158.0818.9197934186196.44810.4488750133148.42415.424由散點(diǎn)圖及殘差分析，第一號(hào)點(diǎn)（X=800，Y=185）為可疑的異常點(diǎn)。根據(jù)以上的計(jì)算結(jié)果，進(jìn)一步求其總體回歸系數(shù)的95%可

20、信區(qū)間。繪制回歸直線并圖示回歸系數(shù)的95%可信區(qū)間?？傮w回歸系數(shù)的95%可信區(qū)間：（bt0.05(n2) Sb，bt0.05(n2) Sb）=（0.2612.44713.5107，0.2612.44713.5107）=（0.1022，0.4198）取X1=690，代入回歸方程=47.326+0.261X，得Y1=132.76；X2=934，Y2=196.45。在圖上確定（690，132.76）和（934，196.45）兩個(gè)點(diǎn)，以直線連接即得回歸直線的圖形見(jiàn)圖10-2。按回歸系數(shù)的95%可信區(qū)間下限和上限分別代入，得=78.285，=172.937?；貧w系數(shù)的95%可信區(qū)間上、下限對(duì)應(yīng)的兩條直線

21、，即圖10-2中兩條回歸直線，回歸方程為：=78.285+0.1022X，=172.937+0.4198X估計(jì)進(jìn)食量為900g時(shí)，大白鼠的體重平均增加多少，計(jì)算其95%的可信區(qū)間，并說(shuō)明其含義。當(dāng)X=900時(shí)，的95%可信區(qū)間：（t0.05(6) ，t0.05(6) ）=（187.5742.4478.5446，187.5742.4478.5446）=（166.67，208.48）即總體中，進(jìn)食量為900g時(shí)，大白鼠的體重平均增加187.574g，其95%的可信區(qū)間為166.67208.48g。其含義為：當(dāng)進(jìn)食量為900g時(shí)，相應(yīng)的平均增重服從一個(gè)正態(tài)分布（此正態(tài)分布的樣本均數(shù)估計(jì)值為187.5

22、74g），如果從此正態(tài)分布中重復(fù)抽樣100次，這100個(gè)可信區(qū)間中理論上將有95個(gè)區(qū)間包含真正的總體均數(shù)（雖然這個(gè)總體均數(shù)真值是未知的）。求進(jìn)食量為900g時(shí)，個(gè)體Y值的95%容許區(qū)間，并解釋其意義。當(dāng)X=900時(shí)，=47.326+0.261X=187.574，個(gè)體Y值的95%容許區(qū)間：（t0.05(6)SY ，t0.05(6)SY）=（187.5742.44716.0002，187.5742.44716.0002）=（148.42，226.73）即估計(jì)總體中，進(jìn)食量為900g時(shí)，有95%的大白鼠增加體重在148.42226.73g范圍內(nèi)。3本題資料不服從雙變量正態(tài)分布，宜計(jì)算等級(jí)相關(guān)系數(shù)。計(jì)算過(guò)程見(jiàn)表10-8表10-8 八個(gè)城市的肺癌標(biāo)化死亡率和大氣中苯并（a）芘的相關(guān)分析肺癌標(biāo)化死亡率（1/10萬(wàn)）苯并（a）芘城市編號(hào)X等級(jí)Y等級(jí)d=d215.6010.0