連續(xù)介質(zhì)力學(xué)第二章.ppt

1、第二章 張量分析,2.1基礎(chǔ)知識(shí),則梯度為,標(biāo)量函數(shù),展開(kāi)后有,原式,左梯度,其中,右梯度,兩者關(guān)系,左梯度,右梯度,寫(xiě)成矩陣形式為,設(shè)T為任意二階張量 它的左梯度gradT定義為,T的右梯度定義為,一般地,矢量場(chǎng)的左散度定義為,原式,右散度表示為,顯然,今后對(duì)于矢量場(chǎng)的左散度和右散度不加區(qū)別,關(guān)于二階張量場(chǎng) 的左散度定義為,展開(kāi)后有,原式,關(guān)于二階張量場(chǎng) 的右散度定義為,一般地， ，當(dāng)T為對(duì)稱(chēng)張量的時(shí)候，兩者相等,原式,展開(kāi)后有,左旋度,右旋度,設(shè)T為任意二階張量，則它的左旋度定義為,其中,右旋度定義為,其中,小結(jié),哈密頓算子,梯度,散度,旋度,展開(kāi)后有,原式,2.2 Laplace算子,公

2、式,2.3 物質(zhì)導(dǎo)數(shù),若,則,2.4 積分定理,有向面積,根據(jù)Gauss定理有,左邊,右邊,根據(jù)Stokes定理有,左邊,右邊,2.5 曲線坐標(biāo) 基矢量 度量張量,設(shè)空間中任一點(diǎn)P，其位置可用矢徑P表示。在曲線坐標(biāo)系中，指標(biāo)可為上標(biāo)或下標(biāo),在曲線坐標(biāo)系 中，若雅可比(Jacobi)行列式J不為零，即,則坐標(biāo)變換具有逆變換，即有,連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中最常用的正交曲線坐標(biāo)系，是柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系。現(xiàn)敘述如下,設(shè)直角坐標(biāo)系為 曲線坐標(biāo)系為 則式 的具體形式取為,其中,由此可見(jiàn)，不是 的線性函數(shù)，故 屬于曲線坐標(biāo)系。這種坐標(biāo)變換的雅可比行列式為,除 外， ，故有逆變換的具體形式如下,由此可得坐標(biāo)曲面,這

3、種坐標(biāo)系稱(chēng)為柱面坐標(biāo)系,和坐標(biāo)曲線,設(shè)直角坐標(biāo)系為 ，曲線坐標(biāo)系 則式 的具體形式取為,其中,由此可見(jiàn)， 不是 的線性函數(shù)，故 屬于曲線坐標(biāo)系， 這種坐標(biāo)變換的雅可比行列式為,除 ， ， 外， ，故有逆變換 的具體形式如下,由此可得坐標(biāo)曲面,i) (常數(shù))為中心在原點(diǎn)的球面(當(dāng) 時(shí)，即為原點(diǎn))； (ii) (常數(shù))為以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓錐(當(dāng) 或 時(shí)變?yōu)橹本€，當(dāng) 時(shí)為 面,iii) (常數(shù))為通過(guò) 軸的平面,和坐標(biāo)曲線： (i) 和 的交線( 線)是圓； (ii) 和 的交線(r線)是直線； (iii) 和 的交線( 線)是半圓。 這種坐標(biāo)系稱(chēng)為球面坐標(biāo)系,給定曲線坐標(biāo)之后，過(guò)空間任意一點(diǎn)沿每一族

4、坐標(biāo) 曲線可以得到一個(gè)切矢量,取 為,則,在斜角坐標(biāo)系中，設(shè)其協(xié)變基矢量為,由于 是常數(shù)，故有,對(duì)于一個(gè)矢量a可有兩種類(lèi)型的分量 和 ，設(shè)其對(duì)應(yīng)的 基矢量為 和 ，則,由 的定義可知，下列混合積等式成立,這兩個(gè)量定義為愛(ài)丁頓(Eddington)張量并分別記為 和 。 由此定義可知,對(duì)于矢量 ，則有,令,它們分別稱(chēng)為協(xié)變度量張量、逆變度量張量和混合度量張量,考慮到矢量a的任意性,可知：基矢量 與 是正交的，它們稱(chēng)為互逆基矢量,互逆基矢量間具有下列關(guān)系,由于,故知 和 互為逆陣。因?yàn)樗鼈兙鶠檎ň仃?，故行列?可以證明這樣的等式,愛(ài)丁頓張量可以寫(xiě)成下列形式,在直角坐標(biāo)系下， ，故有,在曲線坐標(biāo)系

5、中，任意張量 例如二階逆變一階協(xié)變張量可表示成下列四種記法： (1)不變性記法 (2)分量記法 (3)并矢記法 (4)基張量記法,2.6 克里斯托弗爾符號(hào),定義,性質(zhì),由于,根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),同理可得,和 的指標(biāo)可用度量張量升降,事實(shí)上,同樣地,事實(shí)上，因?yàn)樵谛苯呛椭苯亲鴺?biāo)系中基矢量和均為常量， 故 和,事實(shí)上，由于,對(duì)指標(biāo)進(jìn)行輪換，則有,另外,由于,于是,2.7 協(xié)變導(dǎo)數(shù)逆變導(dǎo)數(shù),其中,稱(chēng)為張量 的協(xié)變導(dǎo)數(shù),不難證明下列結(jié)果,對(duì)于矢量a，這是特殊情形。此時(shí)，我們可寫(xiě)出,可見(jiàn)，度量張量和愛(ài)丁頓張量對(duì)于 或 有如常數(shù)可以移進(jìn)或移出于其內(nèi)或外,另一方面，我們也可以寫(xiě)出,由于協(xié)變導(dǎo)數(shù)的指標(biāo)是張量指標(biāo)

6、，故可應(yīng)用逆變度量張量把它的指標(biāo)升高而得到逆變導(dǎo)數(shù)如下,2.8 不變性微分算子,若T為矢量a，則,即,考慮到,若T為矢量a，則有,若f為標(biāo)量，則有,2.9 內(nèi)稟導(dǎo)數(shù),設(shè)區(qū)域內(nèi)的曲線C定義為,對(duì)于任意張量，例如，對(duì)于二階混合張量 而言， 則有,對(duì)于度量張量，由于,故度量張量可以移進(jìn)或移出內(nèi)稟導(dǎo)數(shù)記號(hào)之內(nèi)或外,若矢量a還和t顯示相關(guān)，亦即,對(duì)于任意張量，例如，對(duì)于二階混合張量 而言， 則其物質(zhì)導(dǎo)數(shù)為,對(duì)于度量張量，由于g 和g 和t沒(méi)有顯示關(guān)系，所以,2.10 非完整系物理標(biāo)架下的微分算子,幾何意義：非完整物理標(biāo)架下的克里斯托弗爾符號(hào)表示 在 軸上的投影，即,由,由此可見(jiàn) 的后兩指標(biāo)具有反稱(chēng)性,注

7、意到,將指標(biāo)輪換 ， ， 得,再輪換,可以得到,顯然，在 、 、 互不相等時(shí),總之，不為零的克里斯托弗爾符號(hào)只有,設(shè)標(biāo)量函數(shù) ，則它在非完整系物理標(biāo)架下的 梯度 定義為一個(gè)矢量,其并矢形式為,這就是標(biāo)量函數(shù)f的梯度在非完整系物理標(biāo)架下 的表達(dá)式,設(shè)矢量場(chǎng) ，則它在非完整系物理標(biāo)架下的左梯度 定義一個(gè)二階張量,它的并矢形式為,其中,類(lèi)似地，我們還可以定義 的右梯度， ， 可以證明,設(shè)二張量場(chǎng) ，則它在非完整系物理標(biāo)架下的左梯度 定義為一個(gè)三階張量,一般情況下,其展開(kāi)形式為,其并矢形式為,這是 的分量形式,設(shè)任意矢量場(chǎng) ，則它的左旋度 定義為一個(gè)矢量,其并矢形式為,設(shè)任意二階張量場(chǎng) ，則它的左旋度

8、 定義為一個(gè)二階張量,其并矢形式為,這就是 的分量形式,定義：二階張量 的右旋度,拉普拉斯(Laplace)算子定義為,當(dāng)拉普拉斯算子作用于標(biāo)量函數(shù) 時(shí)，即,當(dāng)拉普拉斯算子作用于矢量場(chǎng) 時(shí)，則,稱(chēng)為雙重哈密頓算子,設(shè)f為任一標(biāo)量函數(shù)，雙重哈密頓算子對(duì)f作用，則有,設(shè) 為一個(gè)矢量場(chǎng)，雙重哈密頓算子對(duì)a 的點(diǎn)積作用為,設(shè) 是關(guān)于標(biāo)性變量(例如時(shí)間)位 置矢量 的標(biāo)量值函數(shù)，則它的物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 定義為,將物質(zhì)導(dǎo)數(shù)寫(xiě)成分量形式，則,對(duì)于矢量值函數(shù) ，它的物質(zhì) 導(dǎo)數(shù) 定義為,其并矢形式為,這就是矢量函數(shù)a的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的分量形式,習(xí) 題,一、給出下列張量符號(hào)的意義,1,2,3,4,5,二、Kronecker符號(hào),1,2,3,4,5,三、置