高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品15：算法的含義、程序框圖

1、.第15講 算法的含義、程序框圖備注：【高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品共42講 全部免費(fèi) 歡迎下載】一【課標(biāo)要求】1通過(guò)對(duì)解決具體問(wèn)題過(guò)程與步驟的分析（如，二元一次方程組求解等問(wèn)題），體會(huì)算法的思想，了解算法的含義；2通過(guò)模仿、操作、探索，經(jīng)歷通過(guò)設(shè)計(jì)程序框圖表達(dá)解決問(wèn)題的過(guò)程。在具體問(wèn)題的解決過(guò)程中（如，三元一次方程組求解等問(wèn)題），理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序、條件分支、循環(huán)二【命題走向】算法是高中數(shù)學(xué)課程中的新內(nèi)容，本章的重點(diǎn)是算法的概念和算法的三種邏輯結(jié)構(gòu)。預(yù)測(cè)2010年高考對(duì)本章的考察是：以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，分值在5分左右，考察的熱點(diǎn)是算法的概念三【要點(diǎn)精講】1算法的概念（1

2、）算法的定義：廣義的算法是指完成某項(xiàng)工作的方法和步驟，那么我們可以說(shuō)洗衣機(jī)的使用說(shuō)明書是操作洗衣機(jī)的算法，菜譜是做菜的算法等等。在數(shù)學(xué)中，現(xiàn)代意義的算法是指可以用計(jì)算機(jī)來(lái)解決的某一類問(wèn)題的程序和步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成（2）算法的特征：確定性：算法的每一步都應(yīng)當(dāng)做到準(zhǔn)確無(wú)誤、“不重不漏”?！安恢亍笔侵覆皇强捎锌蔁o(wú)的、甚至無(wú)用的步驟，“不漏” 是指缺少哪一步都無(wú)法完成任務(wù)。邏輯性：算法從開(kāi)始的“第一步”直到“最后一步”之間做到環(huán)環(huán)相扣。分工明確，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的繼續(xù)。有窮性：算法要有明確的開(kāi)始和結(jié)束，當(dāng)?shù)竭_(dá)終止步驟時(shí)

3、所要解決的問(wèn)題必須有明確的結(jié)果，也就是說(shuō)必須在有限步內(nèi)完成任務(wù)，不能無(wú)限制的持續(xù)進(jìn)行。（3）算法的描述：自然語(yǔ)言、程序框圖、程序語(yǔ)言2程序框圖（1）程序框圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說(shuō)明來(lái)準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形；（2）構(gòu)成程序框的圖形符號(hào)及其作用程序框名稱功能起止框表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束，是任何算法程序框圖不可缺少的。輸入、輸出框表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。處理框賦值、計(jì)算。算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等，它們分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。判斷框判斷某一條件是否成立，成立時(shí)在出口處標(biāo)明“是”或“Y”；不成

4、立時(shí)在出口處標(biāo)明則標(biāo)明“否”或“N”。流程線算法進(jìn)行的前進(jìn)方向以及先后順序循環(huán)框用來(lái)表達(dá)算法中重復(fù)操作以及運(yùn)算連結(jié)點(diǎn)連接另一頁(yè)或另一部分的框圖注釋框幫助編者或閱讀者理解框圖（3）程序框圖的構(gòu)成一個(gè)程序框圖包括以下幾部分：實(shí)現(xiàn)不同算法功能的相對(duì)應(yīng)的程序框；帶箭頭的流程線；程序框內(nèi)必要的說(shuō)明文字3幾種重要的結(jié)構(gòu)（1）順序結(jié)構(gòu)順序結(jié)構(gòu)是最簡(jiǎn)單的算法結(jié)構(gòu)，語(yǔ)句與語(yǔ)句之間，框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的。它是由若干個(gè)依次執(zhí)行的步驟組成的，它是任何一個(gè)算法都離不開(kāi)的一種基本算法結(jié)構(gòu)。AB示意圖輸入nflag=1見(jiàn)示意圖和實(shí)例： 順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來(lái)，按順序執(zhí)

5、行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)行B框所指定的操作。pABYN（2）條件結(jié)構(gòu)如下面圖示中虛線框內(nèi)是一個(gè)條件結(jié)構(gòu)，此結(jié)構(gòu)中含有一個(gè)判斷框，算法執(zhí)行到此判斷給定的條件P是否成立，選擇不同的執(zhí)行框（A框、B框）。無(wú)論P(yáng)條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能既執(zhí)行A框又執(zhí)行B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。A框或B框中可以有一個(gè)是空的，即不執(zhí)行任何操作見(jiàn)示意圖（3）循環(huán)結(jié)構(gòu)在一些算法中要求重復(fù)執(zhí)行同一操作的結(jié)構(gòu)稱為循環(huán)結(jié)構(gòu)。即從算法某處開(kāi)始，按照一定條件重復(fù)執(zhí)行某一處理過(guò)程。重復(fù)執(zhí)行的處理步驟稱為循環(huán)體。循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和

6、直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)。當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如左下圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件P成立時(shí)，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，返回來(lái)再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，返回來(lái)再執(zhí)行A框，如此反復(fù)執(zhí)行A框，直到某一次返回來(lái)判斷條件P不成立時(shí)為止，此時(shí)不再執(zhí)行A框，離開(kāi)循環(huán)結(jié)構(gòu)。繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖。A成立不成立P當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu) 直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)成立不成立PA直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如右下圖所示，它的功能是先執(zhí)行重復(fù)執(zhí)行的A框，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則返回來(lái)繼續(xù)執(zhí)行A框，再判斷條件P是否成立。以次重復(fù)操作，直到某一次給定的判斷條件P時(shí)成立為止，此時(shí)不再返回來(lái)執(zhí)行A框，離開(kāi)循環(huán)結(jié)構(gòu)。繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖見(jiàn)示意圖四

7、【典例解析】題型1：算法概念例1下列說(shuō)法正確的是（ ）A算法就是某個(gè)問(wèn)題的解題過(guò)程；B算法執(zhí)行后可以產(chǎn)生不同的結(jié)果；C解決某一個(gè)具體問(wèn)題算法不同結(jié)果不同；D算法執(zhí)行步驟的次數(shù)不可以為很大，否則無(wú)法實(shí)施。解析：答案為選項(xiàng)B；選項(xiàng)B，例如：判斷一個(gè)整數(shù)是否為偶數(shù)，結(jié)果為“是偶數(shù)”和“不是偶數(shù)”兩種；選項(xiàng)A ，算法不能等同于解法；選項(xiàng)C，解決某一個(gè)具體問(wèn)題算法不同結(jié)果應(yīng)該相同，否則算法構(gòu)造的有問(wèn)題；選項(xiàng)D，算法可以為很多次，但不可以無(wú)限次。點(diǎn)評(píng)：算法一般是機(jī)械的，有時(shí)需要進(jìn)行大量的重復(fù)計(jì)算。只要按部就班去做，總能算出結(jié)果。通常把算法過(guò)程稱為“數(shù)學(xué)機(jī)械化”。數(shù)學(xué)機(jī)械化的最大優(yōu)點(diǎn)是它可以借助計(jì)算機(jī)來(lái)完成

8、；實(shí)際上處理任何問(wèn)題都需要算法。如：中國(guó)象棋有中國(guó)象棋的棋譜、走法、勝負(fù)的評(píng)判準(zhǔn)則；而國(guó)際象棋有國(guó)際象棋的棋譜、走法、勝負(fù)的評(píng)判準(zhǔn)則；再比如申請(qǐng)出國(guó)有一系列的先后手續(xù)，購(gòu)買物品也有相關(guān)的手續(xù)。例2下列語(yǔ)句中是算法的個(gè)數(shù)為（ ）從濟(jì)南到巴黎：先從濟(jì)南坐火車到北京，再坐飛機(jī)到巴黎；統(tǒng)籌法中“燒水泡茶”的故事；測(cè)量某棵樹(shù)的高度，判斷其是否是大樹(shù)；已知三角形的一部分邊長(zhǎng)和角，借助正余弦定理求得剩余的邊角，再利用三角形的面積公式求出該三角形的面積A1 B2 C3 D4解析：正確選項(xiàng)為C，中我們對(duì)“樹(shù)的大小”沒(méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn)，無(wú)法完成任務(wù)，不是有效的算法構(gòu)造。中，勾畫了從濟(jì)南到巴黎的行程安排，完成了任務(wù)；中

9、，節(jié)約時(shí)間，燒水泡茶完成了任務(wù)；中，純數(shù)學(xué)問(wèn)題，借助正、余弦定理解三角形，進(jìn)而求出三角形的面積。點(diǎn)評(píng)：算法過(guò)程要做到能一步一步的執(zhí)行，每一步執(zhí)行的操作，必須確切，不能含混不清，且在有限步后的必須得到問(wèn)題的結(jié)果題型2：經(jīng)典算法例3一個(gè)人帶著三只狼和三只羚羊過(guò)河，只有一條船，同船可容納一個(gè)人和兩只動(dòng)物，沒(méi)有人在的時(shí)候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量就會(huì)吃羚羊。該人如何將動(dòng)物轉(zhuǎn)移過(guò)河？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)算法？解析：任何動(dòng)物同船不用考慮動(dòng)物的爭(zhēng)斗但需考慮承載的數(shù)量，還應(yīng)考慮到兩岸的動(dòng)物都得保證狼的數(shù)量要小于羚羊的數(shù)量，故在算法的構(gòu)造過(guò)程中盡可能保證船里面有狼，這樣才能使得兩岸的羚羊數(shù)量占到優(yōu)勢(shì)，具體算法如下：算法步

10、驟：第一步：人帶兩只狼過(guò)河，并自己返回；第二步：人帶一只狼過(guò)河，自己返回；第三步：人帶兩只羚羊過(guò)河，并帶兩只狼返回；第四步：人帶一只羊過(guò)河，自己返回；第五步：人帶兩只狼過(guò)河點(diǎn)評(píng)：算法是解決某一類問(wèn)題的精確描述，有些問(wèn)題使用形式化、程序化的刻畫是最恰當(dāng)?shù)?。這就要求我們?cè)趯懰惴〞r(shí)應(yīng)精練、簡(jiǎn)練、清晰地表達(dá)，要善于分析任何可能出現(xiàn)的情況，體現(xiàn)思維的嚴(yán)密性和完整性。本題型解決問(wèn)題的算法中某些步驟重復(fù)進(jìn)行多次才能解決，在現(xiàn)實(shí)生活中，很多較復(fù)雜的問(wèn)題經(jīng)常遇到這樣的問(wèn)題，設(shè)計(jì)算法的時(shí)候，如果能夠合適地利用某些步驟的重復(fù)，不但可以使得問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，而且可以提高工作效率。例4這是中國(guó)古代的一個(gè)著名算法案例：一群小

11、兔一群雞，兩群合到一群里，要數(shù)腿48，要數(shù)腦袋17，多少小兔多少雞？解析：求解雞兔的問(wèn)題簡(jiǎn)單直觀，卻包含著深刻的算法思想。應(yīng)用解二元一次方程組的方法來(lái)求解雞兔同籠問(wèn)題第一步：設(shè)有小雞x只，小兔y只，則有第二步：將方程組中的第一個(gè)方程兩變乘2加到第二個(gè)方程中去，得到，得到y(tǒng)=7；第三步：將y=7代入（1）得x=10。點(diǎn)評(píng)：解決這些問(wèn)題的基本思想并不復(fù)雜，很清晰，但敘述起來(lái)很煩瑣，有的步驟非常多，有的計(jì)算量很大，有時(shí)候完全依靠人力完成這些工作很困難。但是這些恰恰是計(jì)算機(jī)的長(zhǎng)處，它能不厭其煩的枯燥的、重復(fù)的、繁瑣的工作。但算法也有優(yōu)劣，我們要追求高效。題型3：順序結(jié)構(gòu)例5寫出通過(guò)尺軌作圖確定線段AB

12、一個(gè)5等分點(diǎn)的算法。解析：我們借助于平行線定理，把位置的比例關(guān)系變成已知的比例關(guān)系，只要按照規(guī)則一步一步去做就能完成任務(wù)算法分析： 第一步：從已知線段的左端點(diǎn)A出發(fā)，任意作一條與AB不平行的射線AP；第二步：在射線上任取一個(gè)不同于端點(diǎn)A的點(diǎn)C，得到線段AC；第三步：在射線上延AC的方向截取線段CE=AC；第四步：在射線上延AC的方向截取線段EF=AC；第五步：在射線上延AC的方向截取線段FG=AC；第六步：在射線上延AC的方向截取線段GD=AC，那么線段AD=5AB；第七步：連接DB；第八步：過(guò)C作BD的平行線，交線段AB于M，這樣點(diǎn)M就是線段AB的一個(gè)5等分點(diǎn)。開(kāi)始從A點(diǎn)出發(fā)作一條與AB不平

13、行射線AC在射線上任取一個(gè)不同于端點(diǎn)A的點(diǎn)C，取AC為單位線段，再在AC上順次取點(diǎn)E、F、G、D，滿足CE=EF=FG=GD=AC連結(jié)BD過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線交AB于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為5等分點(diǎn)結(jié)束程序框圖：點(diǎn)評(píng)：這個(gè)算法步驟具有一般性，對(duì)于任意自然數(shù)n，都可以按照這個(gè)算法的思想，設(shè)計(jì)出確定線段的n等分點(diǎn)的步驟，解決問(wèn)題。例6有關(guān)專家建議，在未來(lái)幾年內(nèi)，中國(guó)的通貨膨脹率保持在3%左右，這將對(duì)我國(guó)經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定有利無(wú)害。所謂通貨膨脹率為3%，指的是每年消費(fèi)品的價(jià)格增長(zhǎng)率為3%。在這種情況下，某種品牌的鋼琴2004年的價(jià)格是10 000元，請(qǐng)用流程圖描述這種鋼琴今后四年的價(jià)格變化情況，并輸出四年后的價(jià)格解析

14、：用P表示鋼琴的價(jià)格，不難看出如下算法步驟：2005年P(guān)=10000（1+3%）=10300；2006年P(guān)=10300（1+3%）=10609；2007年P(guān)=10609（1+3%）=10927.27；2008年P(guān)=10927.27（1+3%）=11255.09；因此，價(jià)格的變化情況表為：年份20042005200620072008鋼琴的價(jià)格10000103001060910927.2711255.09程序框圖為：開(kāi)始P=10000P=100001.03=10300P=103001.03=10609P=106091.03=10927.27P=10927.271.03=11255.09結(jié)束輸出P點(diǎn)

15、評(píng)：順序結(jié)構(gòu)只須嚴(yán)格按照傳統(tǒng)的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題思路，將問(wèn)題解決掉。最后將解題步驟 “細(xì)化”就可以?！凹?xì)化”指的是寫出算法步驟、畫出程序框圖題型4：條件結(jié)構(gòu)例7設(shè)計(jì)算法判斷一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根，并畫出相應(yīng)的程序框圖。解析：算法步驟如下： 第一步：輸入一元二次方程的系數(shù)：a，b，c；第二步：計(jì)算的值；第三步：判斷0是否成立。若0成立，輸出“方程有實(shí)根”；否則輸出“方程無(wú)實(shí)根”。結(jié)束算法。相應(yīng)的程序框圖如下：YN結(jié) 束開(kāi)始輸入a,b,c0？輸出無(wú)實(shí)根輸出有實(shí)根=b24ac點(diǎn)評(píng)：根據(jù)一元二次方程的意義，需要計(jì)算判別式的值。再分成兩種情況處理：（1）當(dāng)0時(shí)，一元二次方程有實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)0時(shí)，一元

16、二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根。該問(wèn)題實(shí)際上是一個(gè)分類討論問(wèn)題，根據(jù)一元二次方程系數(shù)的不同情況，最后結(jié)果就不同。因而當(dāng)給出一個(gè)一元二次方程時(shí)，必須先確定判別式的值，然后再用判別式的值的取值情況確定方程是否有解。該例僅用順序結(jié)構(gòu)是辦不到的，要對(duì)判別式的值進(jìn)行判斷，需要用到條件結(jié)構(gòu)(2009年廣東卷文)某籃球隊(duì)6名主力隊(duì)員在最近三場(chǎng)比賽中投進(jìn)的三分球個(gè)數(shù)如下表所示： 隊(duì)員i123456三分球個(gè)數(shù)下圖（右）是統(tǒng)計(jì)該6名隊(duì)員在最近三場(chǎng)比賽中投進(jìn)的三分球總數(shù)的程序框圖，則圖中判斷框應(yīng)填 ，輸出的s= (注：框圖中的賦值符號(hào)“=”也可以寫成“”或“：=”) 【解析】順為是統(tǒng)計(jì)該6名隊(duì)員在最近三場(chǎng)比賽中投進(jìn)的三分球總數(shù)的

17、程序框圖，所圖中判斷框應(yīng)填，輸出的s=.答案 ,例8（1）設(shè)計(jì)算法，求的解，并畫出流程圖。解析：對(duì)于方程來(lái)講，應(yīng)該分情況討論方程的解我們要對(duì)一次項(xiàng)系數(shù)a和常數(shù)項(xiàng)b的取值情況進(jìn)行分類，分類如下：（1）當(dāng)a0時(shí)，方程有唯一的實(shí)數(shù)解是；（2）當(dāng)a=0，b=0時(shí)，全體實(shí)數(shù)都是方程的解；（3）當(dāng)a=0，b0時(shí)，方程無(wú)解聯(lián)想數(shù)學(xué)中的分類討論的處理方式?？傻萌缦滤惴ú襟E：第一步：判斷a是否不為零。若成立，輸出結(jié)果“解為”；第二步：判斷a=0，b=0是否同時(shí)成立。若成立，輸出結(jié)果“解集為R”；第三步：判斷a=0，b0是否同時(shí)成立。若成立，輸出結(jié)果“方程無(wú)解”，結(jié)束。程序框圖：Ya0?a=0,b=0?a=0,b

18、0?開(kāi)始輸出解為輸出解集為R輸出方程無(wú)解結(jié)束YNNN輸入a，bY（2）。設(shè)計(jì)算法，找出輸入的三個(gè)不相等實(shí)數(shù)a、b、c中的最大值，并畫出流程圖。解析：算法步驟：第一步：輸入a，b，c的值；第二步：判斷ab是否成立，若成立，則執(zhí)行第三步；否則執(zhí)行第四步；第三步：判斷ac是否成立，若成立，則輸出a，并結(jié)束；否則輸出c，并結(jié)束；第四步：判斷bc是否成立，若成立，則輸出b，并結(jié)束；否則輸出c，并結(jié)束。程序框圖：開(kāi)始a b?輸出a結(jié)束Na c?Y輸出cb c?輸出b輸出cYYNN輸入a,b,c點(diǎn)評(píng)：條件結(jié)構(gòu)嵌套與條件結(jié)構(gòu)疊加的區(qū)別是：（1）條件結(jié)構(gòu)疊加，程序執(zhí)行時(shí)需依次對(duì)“條件1”、“條件2”、“條件3”

19、都進(jìn)行判斷只有遇到能滿足的條件才執(zhí)行該條件對(duì)應(yīng)的操作（2）條件結(jié)構(gòu)的嵌套中，“條件2”是“條件1”的一個(gè)分支，“條件3”是“條件2”的一個(gè)分支，依此類推，這些條件中很多在算法執(zhí)行過(guò)程中根據(jù)所處的分支位置不同可能不被執(zhí)行。（3）條件結(jié)構(gòu)嵌套所涉及的“條件2”、“條件3”是在前面的所有條件依次一個(gè)一個(gè)的滿足“分支條件成立”的情況下才能執(zhí)行的此操作，是多個(gè)條件同時(shí)成立的疊加和復(fù)合。題型5：循環(huán)結(jié)構(gòu)例9設(shè)計(jì)一個(gè)算法，求的值，并劃出程序框圖。解析：算法步驟：第一步：sum=0；第二步：i=0；第三步：sum=sum+2i；第四步：i=i+1；第五步：判斷i是否大于49，若成立，則輸出sum，結(jié)束；否則返

20、回第三步重新執(zhí)行。結(jié) 束開(kāi)始i49？輸出sumsum=0,i=0sum=sum+2ii=i+1NY程序框圖：點(diǎn)評(píng)：1如果算法問(wèn)題里涉及的運(yùn)算進(jìn)行了許多次重復(fù)的操作，且先后參與運(yùn)算的數(shù)之間有相同的規(guī)律，就可引入變量循環(huán)參與運(yùn)算（我們稱之為循環(huán)變量），應(yīng)用于循環(huán)結(jié)構(gòu)。在循環(huán)結(jié)構(gòu)中，要注意根據(jù)條件設(shè)計(jì)合理的計(jì)數(shù)變量、累加和累乘變量及其個(gè)數(shù)等，特別要求條件的表述要恰當(dāng)、精確2累加變量的值初始值一般取成0，而累乘變量的初始值一般取成1。例10相傳古代的印度國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者，問(wèn)他需要什么。發(fā)明者說(shuō)：陛下，在國(guó)際象棋的第一個(gè)格子里面放1粒麥子，在第二個(gè)格子里面放2粒麥子，第三個(gè)格子放4粒麥子，以后

21、每個(gè)格子中的麥粒數(shù)都是他前一個(gè)格子中麥粒數(shù)的二倍，依此類推（國(guó)際象棋棋盤共有64個(gè)格子）。請(qǐng)將這些麥子賞給我，我將感激不盡。國(guó)王想這還不容易，就讓人扛了一袋小麥，但不到一會(huì)兒就沒(méi)了，最后一算結(jié)果，全印度一年生產(chǎn)的糧食也不夠。國(guó)王很奇怪，小小的“棋盤”，不足100個(gè)格子，如此計(jì)算怎么能放這么多麥子？試用程序框圖表示一下算法過(guò)程。解析：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，該問(wèn)題就是來(lái)求的和結(jié) 束開(kāi)始i64？輸出sumsum=0,i=0sum=sum+2ii=i+1NY點(diǎn)評(píng)：對(duì)于開(kāi)放探究問(wèn)題，我們可以建立數(shù)學(xué)模型（上面的題目要與等比數(shù)列的定義、性質(zhì)和公式聯(lián)系起來(lái)）和過(guò)程模型來(lái)分析好算法，通過(guò)設(shè)計(jì)算法以及語(yǔ)言的描述選擇一些成熟的辦法進(jìn)行處理。像上面