第11章曲線積分與曲面積分

1、目錄1對弧長的曲線積分（擴(kuò)展）對弧長曲線積分的應(yīng)用2對坐標(biāo)的曲線積分3格林公式及其應(yīng)用4對面積的曲面積分課后典型題1對弧長的曲線積分1復(fù)習(xí)之前已經(jīng)學(xué)過計算曲線長度的積分（1）對于y=y(x)，有 （2）對于參數(shù)方程 有 （3）對于極坐標(biāo)方程是，轉(zhuǎn)成直角坐標(biāo) ，則。代入 2曲線積分的概念上面3個都是求弧長，現(xiàn)在求的是在弧長上對某個被積函數(shù)f(x,y)積分。那么，如果把被積函數(shù)f(x,y)看成是密度，那么得到的就是曲線質(zhì)量。當(dāng)然如果密度均勻為1，則求的弧長積分就是弧長。如果把被積函數(shù)f(x,y)看成是高度z,那么得到的就是一個柱面表面積。對弧長的曲線積分，稱為“第一類曲線積分”。擴(kuò)展到空間，若被積

2、函數(shù)是f(x,y,z)那么，就表示在空間曲線L的密度，求得的結(jié)果就是空間的線質(zhì)量。定義：3計算方法計算步驟1畫出圖形2寫出L的方程，指出自變量范圍，確定積分上下限（下限必須小于上限）3由L類型寫出對應(yīng)ds的表達(dá)式4因被積函數(shù)f(x,y)的點(diǎn)x，y在L上變動，因此x，y必須滿足L的方程。即把L中的x，y代入被積函數(shù)f(x,y)中。5寫出曲線積分的定積分表達(dá)式，并計算。注，二重積分中xy在投影域D內(nèi)動，而被積函數(shù)的xy在L上動，故(x，y)必須滿足L。如，L的方程y=k,則 （保留。還不太懂）參數(shù)方程設(shè)曲線有參數(shù)方程 ，則有：顯式方程設(shè)曲線為 ，則有：設(shè)曲線為 ，則有：極坐標(biāo)方程設(shè)曲線為 則有：注

3、：常用，半徑R的圓弧對應(yīng) 空間曲線方程設(shè)曲線為空間曲線 ，則有：4、對稱性：見重積分總結(jié)5、特別性質(zhì)設(shè)在L上f(x,y)=g(x,y)，則，特別的，有此性質(zhì)不能用于第二類曲線積分?jǐn)U展 對弧長曲線積分的應(yīng)用1求柱面面積2求曲線的質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量（其實(shí)和二重積分一樣，完全可以自己推導(dǎo)）質(zhì)心坐標(biāo)： 、轉(zhuǎn)動慣量：I=mr2,因此有 3變力沿曲線做的功設(shè)平面力場的力為 求該力沿著曲線L從a到b所做的功。對于直線的路徑ab來說功的大小是（這里有兩個特點(diǎn)：1路徑是直線2力的方向和位移的方向相同）4、平面流速場面積和流量計算5、平面環(huán)流場面積計算6、特別性質(zhì) 第二類曲線積分不具有此性質(zhì)。其證明比較簡單，看課本。

4、2對坐標(biāo)的曲線積分1、對坐標(biāo)的曲線積分的定義：對坐標(biāo)的曲線積分，分為對x坐標(biāo)和y坐標(biāo)的曲線積分，兩者合在一起，為：2、計算方法：化為定積分求解曲線積分時，最好先用格林公式看看是否與路徑有關(guān)？作出L的圖形，標(biāo)出L路徑的方向?qū)懗鯨的方程 ,并指出起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù) 注意，并不分誰大誰小。把分別代入被積表達(dá)式，為下限，為上限。注意：仍然有被積函數(shù)的（x,y）須滿足L方程?？臻g曲線計算必須化為參數(shù)方程來計算同樣的，在計算時，算圓能用直角坐標(biāo)很難，用極坐標(biāo)就很簡單3、第一類曲線積分和第二類曲線積分的區(qū)別不同點(diǎn)：第一類曲線積分是對弧長的曲線積分，其被積函數(shù)f(x,y)僅是一個數(shù)量值。而第二類曲線積分是對坐標(biāo)

5、的曲線積分，其被積函數(shù)既有大小，又有方向。相同點(diǎn)：第二類曲線積分可以化為第一類曲線積分在力場中，沿路徑L從A到B，第一類曲線積分和第二類都是可以計算的。有：4、第一類和第二類曲線積分的互相轉(zhuǎn)換為了能消去dx,dy,得到第一類曲線積分的ds，我們將x，y改寫設(shè)為參數(shù)方程。設(shè)，則設(shè)，則代表著L上某點(diǎn)的切線方向。而、則就是切線方向的單位向量。若從切線方向上考慮，則、，因此可以改為若設(shè)，則結(jié)果也可以改為而這種在轉(zhuǎn)換時更方便常用一些。（見典型例題）格林公式及其應(yīng)用文中全部的P，Q都代表P(x,y)，Q(x,y)格林公式定理：一個光滑的閉曲線L圍成了一個D區(qū)域。設(shè)P（x,y）,Q(x,y)都存在一階連續(xù)偏

6、導(dǎo)數(shù)，那么則有： 格林公式對L所圍成的形狀沒有要求，只要求L是一條正向的閉曲線。（正向即走在該路徑上，左手邊是被積域）注意，被積P，Q不能在定義域內(nèi)出現(xiàn)奇點(diǎn)，出現(xiàn)了，就是不可偏導(dǎo)的了。那么怎么辦？一般使用挖洞法。上式是二重積分與第二類曲線積分的關(guān)系。經(jīng)過推導(dǎo)還有與第一類曲線積分的關(guān)系：若令n為下圖向量，則有：格林公式的求解考點(diǎn)使用格林公式的情況：格林公式使求曲線積分和二重積分可以互換，因此在求曲線積分（多為第二類）或者二重積分時又多了一個格林公式這個方法。注意，曲線積分第一類又可以化為第二類，如果這樣考，可能會綜合一些。（當(dāng)然曲線第一類也有直接跟格林公式互換的方法（見上）(加邊法)求非封閉曲線

7、的第二類曲線積分：可以加一條邊成封閉曲線，再用格林公式算。算完后再減去加上的那條邊的第二類曲線積分。注意：一般加的都是一些簡單的直線，如加x=a或y=a等。這樣減它的第二類曲線積分時非常簡單，很多步都可以化為0.（挖洞法）求閉曲線內(nèi)含奇點(diǎn)的積分：那么挖一個什么形狀的洞呢？一般做的都是讓出現(xiàn)奇點(diǎn)的部分化為常數(shù)。如就做一個分母一樣函數(shù)的橢圓。做一個格林公式的應(yīng)用1、求閉區(qū)域的面積顯然，令即可。于是，可選P=-y,Q=x，得，于是求出面積。注，該公式適合求邊界曲線是參數(shù)方程的形式。已知邊界曲線參數(shù)方程，求面積用此公式。曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件：曲線積分結(jié)果與路徑無關(guān)，是指只與起點(diǎn)終點(diǎn)有關(guān)。其物理

8、意義就是變力做功何時與路徑無關(guān)？設(shè)L1與L2是起點(diǎn)終點(diǎn)相同的兩條不同路徑，則在平面連通域內(nèi)與路徑無關(guān)的充要條件是，即繞閉曲線一周，曲線積分結(jié)果為0，則就與路徑無關(guān)。這個方法對任何連通區(qū)域均有效。但是下面的定理僅對單連通域有效：定理：在一個單連通域G內(nèi)，的曲線積分與L路徑無關(guān)的充要條件是：因為如果等于0，則閉曲線就等于0。之所以用單連通區(qū)域，因為單連通域內(nèi)一定存在偏導(dǎo)數(shù)。復(fù)連通區(qū)域內(nèi)可能含有奇點(diǎn)，無法滿足條件。求解曲線積分時，最好先用格林公式看看是否與路徑有關(guān)？Pdx+Qdy是某函數(shù)的全微分的條件設(shè)，顯然對應(yīng)相等，而（必要條件須構(gòu)造 亦可證），因此，是u(x,y)全微分的充要條件依舊是：當(dāng)然，前

9、提是一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在，因此仍然僅在單連通域內(nèi)有效。從式中可見，存在是u(x,y)的全微分的充要條件與坐標(biāo)曲線積分路徑無關(guān)的充要條件是一樣的。因此， 與積分路徑無關(guān)。若存在這個函數(shù)，那么如何求得這個函數(shù)u(x,y)?根據(jù)上例證明時構(gòu)造的，可求因為構(gòu)造出來的存在，因此滿足積分與路徑無關(guān)，因此，自己可以選擇折線進(jìn)行積分，這樣每條橫或豎的折線總能有dx或dy=0,。如果x0，y0可以任意選，一般選擇原點(diǎn)（得到0，0處的特解）。如果不選擇原點(diǎn)，則結(jié)果與選擇原點(diǎn)的結(jié)果相差一個常數(shù)C，有這種上下限是二元的積分，按給定的具體路徑積。像我們做的路徑無關(guān)的，自己定制了橫豎的折線去積的，之所以能導(dǎo)出后面的式子，是

10、因為每條直線分別積，一個直線消去了dx=0，一個直線消去了dy=0（注：若要計算其實(shí)只要不跳步的用公式，而是自己畫圖認(rèn)真算算，是不會錯的，就怕背公式，還不熟，就錯了）總結(jié)1：曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件設(shè)是連通的開區(qū)域D上的有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的向量場，則以下四個條件是等價的：1曲線積分與路徑無關(guān)2對D內(nèi)任何封閉的曲線L均有3是某函數(shù)u（x，y）的全微分，即4 是勢場（梯度場）：即存在u(x,y)使得5若D是單連通區(qū)域，則以上四個條件等價于總結(jié)2求坐標(biāo)曲線積分的方法1先看是否，若是，說明路徑無關(guān)，故可以自己選一條簡單的折線積分2若與積分路徑有關(guān)，但比較簡單如常數(shù)，則可以用格林公式轉(zhuǎn)換二重積分計算。（非閉區(qū)域可以加邊法）3如果12均難以滿足，只能轉(zhuǎn)換為定積分慢慢求了。全微分方程的解遇到求解這個方程。如果恰有，說明存在u(x,y)，使得，上面求u(x,y)已經(jīng)說過，若存在u(x,y)，則通解是u(x,y)=C因此，通解為其中x0，y0自己選一個恰當(dāng)?shù)?。和上面的一樣?