邊界元與有限元

1、邊界元與有限元邊界元法boundary element method定義：將力學中的微分方程的定解問題化為邊界積分方程的定解問題，再通過邊界的離散化與待定函數的分片插值求解的數值方法。 所屬學科：水利科技(一級學科) ；工程力學、工程結構、建筑材料(二級學科) ；工程力學（水利）(三級學科) 邊界元法（boundary element method）是一種繼有限元法之后發(fā)展起來的一種新數值方法，與有限元法在連續(xù)體域內劃分單元的基本思想不同，邊界元法是只在定義域的邊界上劃分單元,用滿足控制方程的函數去逼近邊界條件。所以邊界元法與有限元相比，具有單元個數少,數據準備簡單等優(yōu)點.但用邊界元法解非線性

2、問題時，遇到同非線性項相對應的區(qū)域積分，這種積分在奇異點附近有強烈的奇異性，使求解遇到困難。 簡介邊界元法是在有限元法之后發(fā)展起來的一種較精確有效的工程數值分析方法。又稱邊界積分方程-邊界元法。它以定義在邊界上的邊界積分方程為控制方程，通過對邊界分元插值離散，化為代數方程組求解。它與基于偏微分方程的區(qū)域解法相比，由于降低了問題的維數，而顯著降低了自由度數，邊界的離散也比區(qū)域的離散方便得多，可用較簡單的單元準確地模擬邊界形狀，最終得到階數較低的線性代數方程組。又由于它利用微分算子的解析的基本解作為邊界積分方程的核函數，而具有解析與數值相結合的特點，通常具有較高的精度。特別是對于邊界變量變化梯度較

3、大的問題，如應力集中問題，或邊界變量出現奇異性的裂紋問題，邊界元法被公認為比有限元法更加精確高效。由于邊界元法所利用的微分算子基本解能自動滿足無限遠處的條件，因而邊界元法特別便于處理無限域以及半無限域問題。邊界元法的主要缺點是它的應用范圍以存在相應微分算子的基本解為前提，對于非均勻介質等問題難以應用，故其適用范圍遠不如有限元法廣泛，而且通常由它建立的求解代數方程組的系數陣是非對稱滿陣，對解題規(guī)模產生較大限制。對一般的非線性問題，由于在方程中會出現域內積分項，從而部分抵消了邊界元法只要離散邊界的優(yōu)點。 邊界元法的基礎邊界元法是基于控制微分方程的基本解來建立相應的邊界積分方程，再結合邊界的剖分而得

4、到的離散算式。Jaswon和Symm于1963年用間接邊界元法求解了位勢問題；Rizzo3于1967年用直接邊界元法求解了二維線彈性問題；Cruse4于1969年將此法推廣到三維彈性力學問題。1978年，Brebbia用加權余量法推導出了邊界積分方程，他指出加權余量法是最普遍的數值方法，如果以Kelvin解作為加權函數，從加權余量法中導出的將是邊界積分方程邊界元法，從而初步形成了邊界元法的理論體系，標志著邊界元法進入系統(tǒng)性研究時期。 邊界元法的發(fā)展經過近40年的研究和發(fā)展，邊界元法已經成為一種精確高效的工程數值分析方法。在數學方面，不僅在一定程度上克服了由于積分奇異性造成的困難，同時又對收斂性

5、、誤差分析以及各種不同的邊界元法形式進行了統(tǒng)一的數學分析，為邊界元法的可行性和可靠性提供了理論基礎。在方法與應用方面，現在，邊界元法已應用到工程和科學的很多領域，對線性問題，邊界元法的應用已經規(guī)范化；對非線性問題，其方法亦趨于成熟。在軟件應用方面，邊界元法應用軟件已由原來的解決單一問題的計算程序向具有前后處理功能、可以解決多種問題的邊界元法程序包發(fā)展。我國約在1978年開始進行邊界元法的研究，目前，我國的學者在求解各種問題的邊界元法的研究方面做了很多的工作，并且發(fā)展了相應的計算軟件，有些已經應用于工程實際問題，并收到了良好的效果。有限單元法有限單元法，是一種有效解決數學問題的解題方法。其基礎是

6、變分原理和加權余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節(jié)點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節(jié)點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權函數和插值函數形式，便構成不同的有限元方法。有限元方法最早應用于結構力學，后來隨著計算機的發(fā)展慢慢用于流體力學的數值模擬。簡介在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內

7、的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。在河道數值模擬中，常見的有限元計算方法是由變分法和加權余量法發(fā)展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據所采用的權函數和插值函數的不同，有限元方法也分為多種計算格式。從權函數的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網格的形狀來劃分，有三角形網格、四邊形網格和多邊形網格，從插值函數的精度來劃分，又分為線性插值函數和高次插值函數等。不同的組合同樣構成不同的有限元計算格式。對于權函數，伽遼金(Galerkin)法是將權函數取為逼近函數中的基函數；最小二乘法是令權函數等于余量本身，而內積的極小值則為對代求系數的平方誤差最小；在配置法中，先

8、在計算域內選取N個配置點。令近似解在選定的N個配置點上嚴格滿足微分方程，即在配置點上令方程余量為0。插值函數一般由不同次冪的多項式組成，但也有采用三角函數或指數函數組成的乘積表示，但最常用的多項式插值函數。有限元插值函數分為兩大類，一類只要求插值多項式本身在插值點取已知值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項式插值；另一種不僅要求插值多項式本身，還要求它的導數值在插值點取已知值，稱為哈密特(Hermite)多項式插值。單元坐標有笛卡爾直角坐標系和無因次自然坐標，有對稱和不對稱等。常采用的無因次坐標是一種局部坐標系，它的定義取決于單元的幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在

9、二維有限元中，三角形單元應用的最早，近來四邊形等參元的應用也越來越廣。對于二維三角形和四邊形電源單元，常采用的插值函數為有Lagrange插值直角坐標系中的線性插值函數及二階或更高階插值函數、面積坐標系中的線性插值函數、二階或更高階插值函數等。 其基本思路和解題步驟(1)建立積分方程，根據變分原理或方程余量與權函數正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式，這是有限元法的出發(fā)點。 (2)區(qū)域單元剖分，根據求解區(qū)域的形狀及實際問題的物理特點，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元劃分是采用有限元方法的前期準備工作，這部分工作量比較大，除了給計算單元和節(jié)點進行編號和確定相互之間

10、的關系之外，還要表示節(jié)點的位置坐標，同時還需要列出自然邊界和本質邊界的節(jié)點序號和相應的邊界值。 (3)確定單元基函數，根據單元中節(jié)點數目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數作為單元基函數。有限元方法中的基函數是在單元中選取的，由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數時可遵循一定的法則。 (4)單元分析：將各個單元中的求解函數用單元基函數的線性組合表達式進行逼近；再將近似函數代入積分方程，并對單元區(qū)域進行積分，可獲得含有待定系數(即單元中各節(jié)點的參數值)的代數方程組，稱為單元有限元方程。 (5)總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加，形

11、成總體有限元方程。 (6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質邊界條件(狄里克雷邊界條件 )、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對于自然邊界條件，一般在積分表達式中可自動得到滿足。對于本質邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進行修正滿足。 (7)解有限元方程：根據邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當的數值計算方法求解，可求得各節(jié)點的函數值。有限元有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用較簡單的問題代替復雜問題后再求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組

12、成，對每一單元假定一個合適的(較簡單的）近似解，然后推導求解這個域總的滿足條件(如結構的平衡條件），從而得到問題的解。這個解不是準確解，而是近似解，因為實際問題被較簡單的問題所代替。由于大多數實際問題難以得到準確解，而有限元不僅計算精度高，而且能適應各種復雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。 簡介Finite Element有限單元法是隨著電子計算機的發(fā)展而迅速發(fā)展起來的一種現代計算方法。它是50年代首先在連續(xù)體力學領域-飛機結構靜、動態(tài)特性分析中應用的一種有效的數值分析方法，隨后很快廣泛的應用于求解熱傳導、電磁場、流體力學等連續(xù)性問題。有限元法分析計算的思路和做法可歸納如下： 1） 物體

13、離散化將某個工程結構離散為由各種單元組成的計算模型，這一步稱作單元剖分。離散后單元與單元之間利用單元的節(jié)點相互連接起來；單元節(jié)點的設置、性質、數目等應視問題的性質，描述變形形態(tài)的需要和計算進度而定（一般情況單元劃分越細則描述變形情況越精確，即越接近實際變形，但計算量越大）。所以有限元中分析的結構已不是原有的物體或結構物，而是同新材料的由眾多單元以一定方式連接成的離散物體。這樣，用有限元分析計算所獲得的結果只是近似的。如果劃分單元數目非常多而又合理，則所獲得的結果就與實際情況相符合。 2） 單元特性分析A、選擇位移模式在有限單元法中，選擇節(jié)點位移作為基本未知量時稱為位移法；選擇節(jié)點力作為基本未知

14、量時稱為力法；取一部分節(jié)點力和一部分節(jié)點位移作為基本未知量時稱為混合法。位移法易于實現計算自動化，所以，在有限單元法中位移法應用范圍最廣。當采用位移法時，物體或結構物離散化之后，就可把單元總的一些物理量如位移，應變和應力等由節(jié)點位移來表示。這時可以對單元中位移的分布采用一些能逼近原函數的近似函數予以描述。通常，有限元法我們就將位移表示為坐標變量的簡單函數。這種函數稱為位移模式或位移函數。B、分析單元的力學性質根據單元的材料性質、形狀、尺寸、節(jié)點數目、位置及其含義等，找出單元節(jié)點力和節(jié)點位移的關系式，這是單元分析中的關鍵一步。此時需要應用彈性力學中的幾何方程和物理方程來建立力和位移的方程式，從而

15、導出單元剛度矩陣，這是有限元法的基本步驟之一。C、計算等效節(jié)點力物體離散化后，假定力是通過節(jié)點從一個單元傳遞到另一個單元。但是，對于實際的連續(xù)體，力是從單元的公共邊傳遞到另一個單元中去的。因而，這種作用在單元邊界上的表面力、體積力和集中力都需要等效的移到節(jié)點上去，也就是用等效的節(jié)點力來代替所有作用在單元上的力。 3） 單元組集利用結構力的平衡條件和邊界條件把各個單元按原來的結構重新連接起來，形成整體的有限元方程（1-1）式中，K是整體結構的剛度矩陣；q是節(jié)點位移列陣；f是載荷列陣。 4）求解未知節(jié)點位移解有限元方程式（1-1）得出位移。這里，可以根據方程組的具體特點來選擇合適的計算方法。通過上

16、述分析，可以看出，有限單元法的基本思想是一分一合，分是為了就進行單元分析，合則為了對整體結構進行綜合分析。有限元的發(fā)展概況1943年 courant在論文中取定義在三角形域上分片連續(xù)函數，利用最小勢能原理研究St.Venant的扭轉問題。1960年 clough的平面彈性論文中用“有限元法”這個名稱。 1965年 馮康發(fā)表了論文“基于變分原理的差分格式”，這篇論文是國際學術界承認我國獨立發(fā)展有限元方法的主要依據。1970年隨著計算機和軟件的發(fā)展，有限元發(fā)展起來。涉及的內容：有限元所依據的理論，單元的劃分原則，形狀函數的選取及協(xié)調性。有限元法涉及：數值計算方法及其誤差、收斂性和穩(wěn)定性。應用范圍：

17、固體力學、流體力學、熱傳導、電磁學、聲學、生物力學求解的情況：桿、梁、板、殼、塊體等各類單元構成的彈性（線性和非線性）、彈塑性或塑性問題（包括靜力和動力問題）。能求解各類場分布問題（流體場、溫度場、電磁場等的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)問題），水流管路、電路、潤滑、噪聲以及固體、流體、溫度相互作用的問題。有限元法有限元法英文名稱：finite element method 定義：一種將連續(xù)體離散化為若干個有限大小的單元體的集合，以求解連續(xù)體力學問題的數值方法。 所屬學科：水利科技(一級學科) ；工程力學、工程結構、建筑材料(二級學科) ；工程力學（水利）(三級學科) 有限元法（finite element me

18、thod）是一種高效能、常用的計算方法。有限元法在早期是以變分原理為基礎發(fā)展起來的，所以它廣泛地應用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場中（這類場與泛函的極值問題有著緊密的聯系）。自從1969年以來，某些學者在流體力學中應用加權余數法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應用于以任何微分方程所描述的各類物理場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯系。基本思想：由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問題。 原理將連續(xù)的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個單元內假設的近似函數來分片的表示求解域上待求的未知場函數，近似函數通常由未知場函數及

19、其導數在單元各節(jié)點的數值插值函數來表達。從而使一個連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。 運用步驟步驟1：剖分: 將待解區(qū)域進行分割，離散成有限個元素的集合元素（單元）的形狀原則上是任意的二維問題一般采用三角形單元或矩形單元，三維空間可采用四面體或多面體等每個單元的頂點稱為節(jié)點（或結點）步驟2：單元分析: 進行分片插值，即將分割單元中任意點的未知函數用該分割單元中形狀函數及離散網格點上的函數值展開，即建立一個線性插值函數步驟3：求解近似變分方程用有限個單元將連續(xù)體離散化，通過對有限個單元作分片插值求解各種力學、物理問題的一種數值方法。有限元法把連續(xù)體離散成有限個單元：桿系結構的單元是每

20、一個桿件；連續(xù)體的單元是各種形狀（如三角形、四邊形、六面體等）的單元體。每個單元的場函數是只包含有限個待定節(jié)點參量的簡單場函數，這些單元場函數的集合就能近似代表整個連續(xù)體的場函數。根據能量方程或加權殘量方程可建立有限個待定參量的代數方程組，求解此離散方程組就得到有限元法的數值解。有限元法已被用于求解線性和非線性問題，并建立了各種有限元模型，如協(xié)調、不協(xié)調、混合、雜交、擬協(xié)調元等。有限元法十分有效、通用性強、應用廣泛，已有許多大型或專用程序系統(tǒng)供工程設計使用。結合計算機輔助設計技術，有限元法也被用于計算機輔助制造中。有限單元法最早可上溯到20世紀40年代。Courant第一次應用定義在三角區(qū)域上

21、的分片連續(xù)函數和最小位能原理來求解St.Venant扭轉問題。現代有限單元法的第一個成功的嘗試是在 1956年，Turner、Clough等人在分析飛機結構時，將鋼架位移法推廣應用于彈性力學平面問題，給出了用三角形單元求得平面應力問題的正確答案。1960年，Clough進一步處理了平面彈性問題，并第一次提出了有限單元法，使人們認識到它的功效。我國著名力學家，教育家徐芝綸院士（河海大學教授）首次將有限元法引入我國，對它的應用起了很大的推動作用。 派生從有限元的基本方法派生出來的方法很多，則稱為三維單元。如有限條法、邊界元法、雜交元法、非協(xié)調元法和擬協(xié)調元法等，用以解決特殊的問題。有限元分析有限元

22、分析（FEA，Finite Element Analysis）利用數學近似的方法對真實物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況）進行模擬。還利用簡單而又相互作用的元素，即單元，就可以用有限數量的未知量去逼近無限未知量的真實系統(tǒng)。 簡介有限元分析是用較簡單的問題代替復雜問題后再求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對每一單元假定一個合適的(較簡單的）近似解，然后推導求解這個域總的滿足條件(如結構的平衡條件），從而得到問題的解。這個解不是準確解，而是近似解，因為實際問題被較簡單的問題所代替。由于大多數實際問題難以得到準確解，而有限元不僅計算精度高，而且能適應各種復雜形狀，因而成為行之有效的工程

23、分析手段。有限元是那些集合在一起能夠表示實際連續(xù)域的離散單元。有限元的概念早在幾個世紀前就已產生并得到了應用，例如用多邊形（有限個直線單元）逼近圓來求得圓的周長，但作為一種方法而被提出，則是最近的事。有限元法最初被稱為矩陣近似方法，應用于航空器的結構強度計算，并由于其方便性、實用性和有效性而引起從事力學研究的科學家的濃厚興趣。經過短短數十年的努力，隨著計算機技術的快速發(fā)展和普及，有限元方法迅速從結構工程強度分析計算擴展到幾乎所有的科學技術領域，成為一種豐富多彩、應用廣泛并且實用高效的數值分析方法。 特點有限元方法與其他求解邊值問題近似方法的根本區(qū)別在于它的近似性僅限于相對小的子域中。20世紀6

24、0年代初首次提出結構力學計算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地將其描繪為：“有限元法=Rayleigh Ritz法分片函數”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化情況。不同于求解（往往是困難的）滿足整個定義域邊界條件的允許函數的Rayleigh Ritz法，有限元法將函數定義在簡單幾何形狀（如二維問題中的三角形或任意四邊形）的單元域上（分片函數），且不考慮整個定義域的復雜邊界條件，這是有限元法優(yōu)于其他近似方法的原因之一。 步驟對于不同物理性質和數學模型的問題，有限元求解法的基本步驟是相同的，只是具體公式推導和運算求解不同。有限元求解問題的基本步驟通常為：第一步：問題及

25、求解域定義：根據實際問題近似確定求解域的物理性質和幾何區(qū)域。第二步：求解域離散化：將求解域近似為具有不同有限大小和形狀且彼此相連的有限個單元組成的離散域，習慣上稱為有限元網絡劃分。顯然單元越?。ňW絡越細）則離散域的近似程度越好，計算結果也越精確，但計算量及誤差都將增大，因此求解域的離散化是有限元法的核心技術之一。第三步：確定狀態(tài)變量及控制方法：一個具體的物理問題通?？梢杂靡唤M包含問題狀態(tài)變量邊界條件的微分方程式表示，為適合有限元求解，通常將微分方程化為等價的泛函形式。第四步：單元推導：對單元構造一個適合的近似解，即推導有限單元的列式，其中包括選擇合理的單元坐標系，建立單元試函數，以某種方法給出

26、單元各狀態(tài)變量的離散關系，從而形成單元矩陣（結構力學中稱剛度陣或柔度陣）。為保證問題求解的收斂性，單元推導有許多原則要遵循。對工程應用而言，重要的是應注意每一種單元的解題性能與約束。例如，單元形狀應以規(guī)則為好，畸形時不僅精度低，而且有缺秩的危險，將導致無法求解。第五步：總裝求解：將單元總裝形成離散域的總矩陣方程（聯合方程組），反映對近似求解域的離散域的要求，即單元函數的連續(xù)性要滿足一定的連續(xù)條件?？傃b是在相鄰單元結點進行，狀態(tài)變量及其導數（可能的話）連續(xù)性建立在結點處。第六步：聯立方程組求解和結果解釋：有限元法最終導致聯立方程組。聯立方程組的求解可用直接法、選代法和隨機法。求解結果是單元結點處

27、狀態(tài)變量的近似值。對于計算結果的質量，將通過與設計準則提供的允許值比較來評價并確定是否需要重復計算。簡言之，有限元分析可分成三個階段，前處理、處理和后處理。前處理是建立有限元模型，完成單元網格劃分；后處理則是采集處理分析結果，使用戶能簡便提取信息，了解計算結果。 常用軟件大型通用有限元商業(yè)軟件：NASTRAN,ASKA,SAP,ANSYS,MARC,ABAQUS,JIFEX等。有限單元法是當前工程技術領域中最常用最有效的數值計算方法，本書共有7章，依次介紹了有限單元法的理論基礎、桿系結構單元、平面三角形單元、平面四邊形等參數單元，并對有限元線性方程組的求解方法進行了介紹。為了增強本書的實用性，

28、最后用一章的篇幅介紹了在使用有限元時的相關注意問題。本書可作為巖土工程、采礦工程、工程力學、機械工程、水利工程等工科專業(yè)碩士研究生和本科生教材，也可供從事相關專業(yè)工程人員參考。目錄1緒論1.1概述1.2有限元法的分析過程1.3有限元法的發(fā)展歷程1.4習題2有限單元法理論基礎2.1有限元原理與變分原理的關系2.2彈性力學基本方程2.2.1平衡方程2.2.2幾何方程2.2.3物理方程2.3虛功原理2.3.1虛位移2.3.2外力虛功與內力虛功2.3.3實功與虛功2.3.4虛應變能2.3.5虛功原理2.4位移模式與形函數2.4.1位移模式2.4.2形函數2.5剛度與剛度矩陣2.6習題3桿系結構單元3.

29、1引言3.2簡單桿系結構有限元分析3.3平面桿單元剛度矩陣3.4整體坐標系下的單元剛度矩陣3.5結構的結點平衡方程3.6算例分析及程序3.6.1算例分析3.6.2總框圖及程序3.7習題4平面三角形單元4.1簡單三角形單元的位移模式4.1.1位移模式與形函數4.1.2位移函數的收斂條件4.2應變矩陣、應力矩陣與單元剛度矩陣4.2.1單元應變，應變矩陣4.2.2應力矩陣4.2.3單元剛度矩陣4.2.4單元剛度矩陣的性質4.3等效結點載荷4.3.1集中力的移置4.3.2體力的移置4.3.3面力的移置4.3.4線性位移模式下的載荷移置4.4整體分析4.4.1總體剛度方程4.4.2總體剛度矩陣的性質4.

30、5位移邊界條件的處理4.5.1對角元素改1法4.5.2乘大數法4.5.3降階法4.6計算步驟與算例分析4.6.1求解過程及步驟4.6.2算例分析4.7計算成果的整理4.7.1繞結點平均法4.7.2兩單元平均法4.8平面問題高次單元5平面四邊形等參數單元6線性方程組的解法7劃分單元網格的注意事項主要符號表參考文獻韓厚德教授是國內有限元領域的知名專家，在有限元方法、無限元方法、邊界元方法及無界區(qū)域上偏微分方程的數值解等領域中取得了一系列重要研究成果有限差分法雖然歷史久遠，但由于理論比較完整，在目前的教科書中仍占有重要地位。它直接從微分方程出發(fā)，將求解區(qū)域劃分成網格，近似地用差分、差商代替微分、微商

31、，于是無限自由度的問題化成了有限自由度的問題。這種方法在解決規(guī)則邊界的問題時極為方便，但也正是由于這種限制而增加了它的局限性，即對于非規(guī)則邊界的問題適用性較差。有限元法的重要歸化途徑是從微分方程所對應的泛函出發(fā)，用變分原理結合區(qū)域剖分得到離散算式-代數方程組。它克服了有限差分法對區(qū)域形狀的限制，對于各種形狀的邊界都能靈活處理，有限元法是目前工程計算的主要手段，這種方法的主要困難有兩個：一是要找出微分方程對應的變分式，二是由于區(qū)域的剖分隨著網格的加細而使方程組的維數增大，盡管使用電子計算機仍不能達到快速、精確的要求。工程師們正在期待著新一代計算方法的出現。目錄:第一章邊界元方法基礎1. 1 定解

32、問題1. 2 加權余量法1. 3 變分法概述1. 4 位勢問題的加權余量法1. 5 Dirac- 函數1. 6 基本解1. 7 積分方程1. 8 邊界積分方程1. 9 格林公式及其應用1. 10 廣義傅里葉展開1. 11 特征函數及基本解1. 12 積分的算術化1. 13 二重積分的離散計算第二章 位勢問題的邊界元方法2. 1 積分方程的離散2. 2 邊界積分的計算2. 3 一維數值積分2. 4 多表面問題與無窮域問題2. 5 泊松方程2. 6 二維數值積分2. 7 線性單元2. 8 高次單元2. 9 角點問題第三章 流體力學的邊界元方法3. 1 流體力學基本方程組3. 2 不可壓粘性流體定常

33、運動的邊界元方法3. 3 二維粘性流動的內流問題3. 4 多體內流問題3. 5 二維低雷諾數無界粘性繞流問題3. 6 三維粘性流動的內流問題3. 7 三維無界粘性繞流問題3. 8 非線性問題3. 9 用邊界元方法對潤滑問題的研究3. 10 生物力學中片流問題3. 11 正交各向異性問題3. 12 變系數滲流場問題第四章 彈性問題的邊界元方法4. 1 張量符號4. 2 彈性力學的基本方程4. 3 平面問題4. 4 平面問題的基本解4. 5 彈性問題的加權余量法4. 6 積分方程4. 7 邊界積分方程4. 8 積分方程的離散4. 9 邊界積分的計算4. 10 應力4. 11 三維問題的基本解, 開

34、爾文問題4. 12 三維問題的基本公式第五章 邊界元方法在工程中的應用5. 1 亥姆霍茲方程5. 2 電磁問題5. 3 彈性柱體的扭轉5. 4 梁的彎曲5. 5 非齊次亥姆霍茲方程5. 6 變系數非齊次亥姆霍茲方程5. 7 熱彈性問題5. 8 區(qū)域劃分法5. 9 邊界元與有限元的耦合5. 10 具有線性算子非線性問題的邊界元計算5. 11 非線性問題示例5. 12 非線性擴散問題的迭代法5. 13 復數域上的耦合方法參考文獻求解偏微分方程邊值問題、初邊值問題的邊界元方法的數學理論及數值算法，系統(tǒng)地介紹了把幾種常見的數學物理方程的邊值或初邊值問題轉化為邊界積分方程求解的各種途徑，以及離散化求解邊界積分方程的數值計算方法，包括配點法、Galerkin方法、基于邊界積分方程的無網絡算法等。書中簡要論述了必備的泛函分析及微分算子基礎知識，著重論證了在帶權的Sobolev空間中利用與邊界積分方程等價的變分形式來分析邊界元近似解的收斂性和估計誤差的方法。有限差分法雖然歷史久遠，但由于理論比較完整，在目前的教科書中仍占有重要地位。它