分式方程的增根與無解詳解

1、. 分式方程的增根與無解講解 例1 解方程 解：方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）解這個(gè)方程，得x=2經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，原方程無意義，所以x=是原方程的增根所以原方程無解例2 解方程解：去分母后化為x13x2（2x）整理得0x8因?yàn)榇朔匠虩o解，所以原分式方程無解例3（2007湖北荊門）若方程=無解，則m=解：原方程可化為=方程兩邊都乘以x2，得x3=m解這個(gè)方程，得x=3m因?yàn)樵匠虩o解，所以這個(gè)解應(yīng)是原方程的增根即x=2，所以2=3m，解得m=1故當(dāng)m=1時(shí)，原方程無解例4當(dāng)a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根？解：方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得2

2、（x2）ax3（x2）整理得（a1）x10 若原分式方程有增根，則x2或2是方程的根把x2或2代入方程中，解得，a4或6若將此題“會(huì)產(chǎn)生增根”改為“無解”，即：當(dāng)a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程無解？此時(shí)還要考慮轉(zhuǎn)化后的整式方程（a1）x10本身無解的情況，解法如下：解：方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得2（x2）ax3（x2）整理得（a1）x10 若原方程無解，則有兩種情形：（1）當(dāng)a10（即a1）時(shí)，方程為0x10，此方程無解，所以原方程無解。（2）如果方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程無解原方程若有增根，增根為x2或2，把x2或2代入方程中，求出a4或6綜上所述，a1或a一或a6

3、時(shí)，原分式方程無解例5：（2005揚(yáng)州中考題） 若方程-=1有增根，則它的增根是（ ） A、0 B、1 C、-1 D、1或-1分析：使方程的最簡(jiǎn)公分母 (x+1)(x-1)=0則x=-1或x=1,但不能忽略增根除滿足最簡(jiǎn)公分母為零,還必須是所化整式方程的根。原方程易化成整式方程：6-m(x+1)=x2-1整理得： m(x+1)=7-x2 當(dāng)x= -1時(shí),此時(shí)m 無解； 當(dāng)x=1時(shí),解得m=3。 由此可得答案為B。例6：關(guān)于x的方程-2=有一個(gè)正數(shù)解，求m的取值范圍。分析：把m看成常數(shù)求解，由方程的解是正數(shù)，確定m的取值范圍，但不能忽略產(chǎn)生增根時(shí)m的值。原方程易化為整式方程：x-2 (x-3)=

4、m整理得：x=6-m原方程有解，故6-m不是增根。6-m3 即m3x0m6由此可得答案為m的取值范圍是m6且m3。一、 分式方程有增根，求參數(shù)值例7 a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程=0有增根？解：原方程兩邊同乘以（x-3）去分母整理，得x2-4x+a=0（）因?yàn)榉质椒匠逃性龈?，增根為x=3，把x=3代入（）得，9-12+a=0 a=3所以a=3時(shí)，=0有增根。例8 m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程+=有增根。解：原方程兩邊同乘以（x-1）（x-2）去分母整理，得（1+m）x=3m+4（）因?yàn)榉质椒匠逃性龈瑩?jù)性質(zhì)（2）知：增根為x=1或x=2。把x=1代入（），解得m=-；把x=2代入（）得m=-2所以m=

5、-或-2時(shí)，原分式方程有增根點(diǎn)評(píng)：分式方程有增根，不一定分式方程無解（無實(shí)根），如方程+1=有增根，可求得k=-，但分式方程這時(shí)有一實(shí)根x=。二、 分式方程是無實(shí)數(shù)解，求參數(shù)值例9 若關(guān)于x的方程=+2無實(shí)數(shù)，求m的值。 解：去分母，得x-2=m+2x-10，x=-m+8 因?yàn)樵匠虩o解，所以x=-m+8為原方程的增根。 又由于原方程的增根為x=5，所以-m+8=5 所以m=3例10若解分式方程產(chǎn)生增根，則m的值是（ ） A. B. C. D. 分析：分式方程產(chǎn)生的增根，是使分母為零的未知數(shù)的值。由題意得增根是：化簡(jiǎn)原方程為：把代入解得，故選擇D。 例11. m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根？ 解：方程兩邊都乘以，得 整理，得 說明：分式方程的增根，一定是使最簡(jiǎn)公分母為零的根 例12、 解方程： 分析：方程中的每個(gè)分式都相當(dāng)于一個(gè)假分?jǐn)?shù)，因此，可化為一個(gè)整數(shù)與一個(gè)簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)式之和。 解：由原方程得： 即 例13、若解分式方程產(chǎn)生增根，則m的值是（ ） A. B. C. D. 分析：分式方程產(chǎn)生的增根，是使分母為零的未知數(shù)的值。由題意得增根是：化簡(jiǎn)原方