圓錐曲線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

1、圓錐曲線的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題問(wèn)題1：點(diǎn)P(x，y)、P(x，y)關(guān)于點(diǎn)Q(x0，y0)對(duì)稱(chēng)，那么它們的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么條件？Q點(diǎn)是P與P的中點(diǎn)，即滿足問(wèn)題2：P(x，y)，P(x，y)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么它們的坐標(biāo)滿足什么條件？P和P的中點(diǎn)是原點(diǎn)即x=-x且y=-y問(wèn)題3：若P和P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，它們的坐標(biāo)又怎樣呢？x=x且y=-y問(wèn)題4：若P和P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，它們的坐標(biāo)有什么關(guān)系？y=y且x=-x問(wèn)：若P和P關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，它們的坐標(biāo)又會(huì)怎樣？y=x且x=y問(wèn)題5：雙曲線與的位置如何？它們關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)問(wèn)題6：若P與P關(guān)于直線Ax+By+C=0對(duì)稱(chēng)，它們?cè)谖恢蒙嫌惺裁刺卣?？P和P必須在直線Ax+By

2、+C=0的兩側(cè)且與直線垂直就能對(duì)稱(chēng),及P和P到直線Ax+By+C=0的距離相等問(wèn)題7：P與P到直線Ax+By+C=0的距離相等的含義是什么？就是P與P的中點(diǎn)落在直線Ax+By+C=0上，換句話說(shuō)P與P的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足直線方程Ax+By+C=0問(wèn)題8：兩點(diǎn)P(x，y)、P(x，y)關(guān)于直線Ax+By+C=0對(duì)稱(chēng)應(yīng)滿足的條件？應(yīng)滿足兩個(gè)條件第一個(gè)條件是PP的連線垂直于直線Ax+By+C=0，第二個(gè)條件是P，P的中點(diǎn)應(yīng)落在直線Ax+By+C=0上這兩個(gè)條件能否用方程表示：方程組：方程組中含有x，y，也可認(rèn)為這是一個(gè)含x，y的二元一次方程組換句話說(shuō)，給定一個(gè)點(diǎn)P(x，y)和一條定直線Ax+By+C=0，

3、可以求出P點(diǎn)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)今后有很多有關(guān)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題都可以用此方法處理，很有代表性但也還有其他方法，大家一起看下面的例題例1 已知直線和關(guān)于直線2x-2y+1=0對(duì)稱(chēng)(如圖2-73)，若的方程是3x-2y+1=0，求的方程(選題目的：熟悉對(duì)稱(chēng)直線方程)先求出已知兩直線的交點(diǎn)，設(shè)的斜率為，由兩條直線的夾角公式可求出，再用點(diǎn)斜式求得的方程解：由得交點(diǎn)(0，)，設(shè)的斜率為，由兩直線的夾角公式得： =由點(diǎn)斜式，l2的方程為4x-6y+3=0另解：在直線上任取一點(diǎn)，求出這點(diǎn)關(guān)于2x-2y+1=0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，然后再利用交點(diǎn)，兩點(diǎn)式可求出的直線方程。解 由方程組：得交點(diǎn)(0，

4、)，在直線上任取一點(diǎn)P(1,2)，找P關(guān)于22+1=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P(，)，如圖。從得。P（，）由直線2210與的交點(diǎn)（0，）得直線的方程：4630另解：在上任取一點(diǎn)P(，)，則P點(diǎn)關(guān)于2x-2y+1=0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P(x，y)在上，列出P，P的方程組，解出x，y，代入問(wèn)題就解決了解 設(shè)P(x，y)為上的任意一點(diǎn)，則P點(diǎn)關(guān)于直線2x-2y+1=0對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P(x，y)在上(如圖2-75)，得：又因?yàn)镻(x，y)在直線：3x-2y+1=0上，所以3x-2y+1=0的方程為：4x-6y+3=0問(wèn)題9：如果把改為曲線，怎樣求曲線關(guān)于一條直線對(duì)稱(chēng)的曲線方程呢？引申：已知曲線C：y=x2，求它關(guān)于直線x-y-2=

5、0對(duì)稱(chēng)的曲線方程可先在y=x2上任取一點(diǎn)P0(x0，y0)，它關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P(x1，y1)，可得它們的交點(diǎn)，從中解出x0，y0代入曲線y=x2即可(如圖2-76)解 設(shè)P0(x0，y0)是曲線C：y=x2上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線x-y-2=0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為P(x1，y1)，因此，連結(jié)P0(x0，y0)和P(x1，y1)兩點(diǎn)的直線方程為y-y0=-(x-x0)由得交點(diǎn)由中點(diǎn)坐標(biāo)得：2，2，代入曲線C得：2(2)，于是可知所求的對(duì)稱(chēng)曲線方程是：=+4+6解法二：設(shè)M(x，y)為所求的曲線上任一點(diǎn)，M0(x0，y0)是M關(guān)于直線x-y-2=0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，所以M0定在曲線C：y=x2上得代入C的方程可得=

6、+4+6例2 已知點(diǎn)A(0,2)和圓C：(-6)+(-4)=，一條光線從A點(diǎn)出發(fā)射到軸上后，沿圓的切線方向反射，求這條光線從A點(diǎn)到切點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程(如圖2-77)解 已知點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A(0，-2)，所求的路程即為|AD|。在RtACD中，|AD|=|AC|-|CD|。|AD|=光線從A點(diǎn)到切點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路：|AM|+|MD|=。變式1：若已知A(0，2)，D(4，1)兩定點(diǎn)，在x軸上求一點(diǎn)P，使得|AP|+|PD|為最短先過(guò)A(0，2)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A(0，-2)，連結(jié)AD與x軸相交于點(diǎn)P，P為所求(如圖2-78)因?yàn)锳，A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以|AP|=|AP|，這時(shí)|AP|+|PD|

7、=|AD|為線段，當(dāng)P點(diǎn)在x軸其他位置上時(shí)，如在P處，那么，連結(jié)AP、AP和PD這時(shí)|AP|+|PD|=|AP|+|PD|AD|理由(三角形兩邊之和大于第三邊)所以|AD|為最短即P為所求變式2：已知點(diǎn)A(0,2)和圓C：(-6)+(-4)=，M和P分別為軸和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求|AM|+|MP|的最小值。先作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A(0，-2)，連結(jié)A和圓心C，AC交x軸于M點(diǎn)，交圓于P點(diǎn)，這時(shí)|AM|+|MP|最小(如圖2-79) 由前題的結(jié)論可知，把AM線段搬到x軸下方，盡可能使它們成為直線，這樣|AM|+|MP|最小解：A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A(0，-2)，連AC交x軸于M，交圓C于P點(diǎn)，因

8、為A(0，-2)，C(6，4)，所以|AC|=|AP|=|AC|-R=6-。(R為圓半徑)|AM|+|MP|的最小值為例3 若拋物線y=-1上總存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，求a的范圍如圖2-80，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上關(guān)于直線x=-對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，則AB的方程可設(shè)為=+。解方程組：得AB中點(diǎn)C的坐標(biāo)(-，)。聯(lián)立消去得-(+1)=0。 (*)依題意(*)式=1+4(+1)0，且=-1，再由0得解法二：曲線y=-1關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱(chēng)曲線方程為：-x=ay2-1，解方程組：+0=，代入=1得關(guān)于的二次方程：，由0得。練習(xí)：1一個(gè)以原點(diǎn)為圓心的圓與圓：x2+y2+8x-

9、4y=0關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，求直線l的方程(2+5=0)2ABCD是平行四邊形，已知點(diǎn)A(-1，3)和C(-3，2)，點(diǎn)D在直線x-3y-1=0上移動(dòng)，則點(diǎn)B的軌跡方程是_。(3+20=0)3若光線從點(diǎn)A(-3，5)射到直線3x-4y+4=0之后，反射到點(diǎn)B(3，9)，則此光線所經(jīng)過(guò)的路程長(zhǎng)是_。(12)4已知曲線C：y=-+2關(guān)于點(diǎn)(，2)對(duì)稱(chēng)的曲線是C，若C與C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求的取值范圍(-2a15設(shè)、是橢圓的兩焦點(diǎn)，P是直線=1上的點(diǎn)，求|+|的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)。(4，P()題目1過(guò)圓O：x2+y2=4與y軸正半軸的交點(diǎn)A作這圓的切線l，M為l上任一點(diǎn)，過(guò)M作圓O的另一條切線，切

10、點(diǎn)為Q，求點(diǎn)M在直線l上移動(dòng)時(shí)，MAQ垂心的軌跡方程解 如圖2-81所示P為AMQ的垂心，連OQ，則四邊形AOQP為菱形，所以|PQ|=|OA|=2，設(shè)P(x1，y1)，Q(x0，y0)于是有x0=x1且=2，因?yàn)?，)為已知圓上的點(diǎn)，可得：+(2)=4，重心P的軌跡方程是：+(2)=4，除去(0,0)、(0,4)兩點(diǎn)。題目2若拋物線y=x2上存在關(guān)于直線y=m(x-3)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解 (如圖2-82)設(shè)拋物線上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于直線=(3)對(duì)稱(chēng)，AB中點(diǎn)為M(，)，顯然0，則。則，=將(，)代入直線方程得：=由知，、是方程的根。由0得(2+1)(62+1)0。題目3 求證：拋物線=1上不存在關(guān)于直線=對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)。證明 如圖2-83，若P、Q兩點(diǎn)關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，可設(shè)P(、)、Q(，)且，、R，則：兩式相減得：+=2，=2，再代入前一式得+2+2=0其判別式=480。所以R這與題設(shè)矛盾。PQ兩點(diǎn)不存在。5練習(xí)4，5題的參考解答：4題解設(shè)P(x，y)是曲線y=-x2+x+2上任一點(diǎn)，它關(guān)于點(diǎn)(a，2a)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是P(x0，y0)，則x=2a-x0，y=4a-y0，代入拋物