初中數(shù)學競賽專題培訓：因式分解(2)

1、初中數(shù)學競賽專題培訓第二講：因式分解(二)1雙十字相乘法分解二次三項式時，我們常用十字相乘法對于某些二元二次六項式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3我們將上式按x降冪排列，并把y當作常數(shù)，于是上式可變形為2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是關于x的二次三項式對于常數(shù)項而言，它是關于y的二次三項式，也可以用十字相乘法，分解為即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)再利用十字相乘法對關于x的二次三項式分解所以，原式=x+(2y-3)2x+(-11y+1) =(x+

2、2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的過程，實施了兩次十字相乘法如果把這兩個步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：它表示的是下面三個關系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3這就是所謂的雙十字相乘法用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進行因式分解的步驟是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一個十字相乘圖(有兩列)；(2)把常數(shù)項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構(gòu)成的

3、十字交叉之積的和等于原式中的dx例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)(3)原式中缺x2項，可把這一項的系數(shù)看成0來分解原式=(y+1)(x+y-2)(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)說明 (4)中有三個字母，解法仍與前面的類似2求根法我們把形如anxn+an-1xn-1+a1x+a0(n為非負整數(shù))的代數(shù)式稱為關于x的一元多項式，并用f(x)，g(x)，等記

4、號表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，當x=a時，多項式f(x)的值用f(a)表示如對上面的多項式f(x)f(1)=12-31+2=0；f(-2)=(-2)2-3(-2)+2=12若f(a)=0，則稱a為多項式f(x)的一個根定理1(因式定理) 若a是一元多項式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項式f(x)有一個因式x-a根據(jù)因式定理，找出一元多項式f(x)的一次因式的關鍵是求多項式f(x)的根對于任意多項式f(x)，要求出它的根是沒有一般方法的，然而當多項式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時，即整系數(shù)多項式時，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理根定理2的根，則必有p是a0的

5、約數(shù)，q是an的約數(shù)特別地，當a0=1時，整系數(shù)多項式f(x)的整數(shù)根均為an的約數(shù)我們根據(jù)上述定理，用求多項式的根來確定多項式的一次因式，從而對多項式進行因式分解例2 分解因式：x3-4x2+6x-4分析 這是一個整系數(shù)一元多項式，原式若有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個檢驗-4的約數(shù)：1，2，4，只有f(2)=23-422+62-4=0，即x=2是原式的一個根，所以根據(jù)定理1，原式必有因式x-2解法1 用分組分解法，使每組都有因式(x-2)原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)解法2 用多項式除法，將原

6、式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)說明 在上述解法中，特別要注意的是多項式的有理根一定是-4的約數(shù)，反之不成立，即-4的約數(shù)不一定是多項式的根因此，必須對-4的約數(shù)逐個代入多項式進行驗證例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2分析 因為9的約數(shù)有1，3，9；-2的約數(shù)有1，為：所以，原式有因式9x2-3x-2解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)說明 若整系數(shù)多項式有分數(shù)根，可將所得出的含有分數(shù)的因式化為整系數(shù)

7、因式，如上題中的因式可以化為9x2-3x-2，這樣可以簡化分解過程總之，對一元高次多項式f(x)，如果能找到一個一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解為(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多項式，這樣，我們就可以繼續(xù)對g(x)進行分解了3待定系數(shù)法待定系數(shù)法是數(shù)學中的一種重要的解題方法，應用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應用在因式分解時，一些多項式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數(shù)由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據(jù)多項式恒等的性質(zhì)，兩邊對應項系數(shù)應該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出

8、關于待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3分析 由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的兩個一次項一定是x+2y+m和xyn的形式，應用待定系數(shù)法即可求出m和n，使問題得到解決解 設x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比較兩邊對應項的系數(shù)，則有解之得m=3，n=1所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)說明 本題也可用雙十字相乘法，請同學們自己解一下例5 分解因式：x

9、4-2x3-27x2-44x+7分析 本題所給的是一元整系數(shù)多項式，根據(jù)前面講過的求根法，若原式有有理根，則只可能是1，7(7的約數(shù))，經(jīng)檢驗，它們都不是原式的根，所以，在有理數(shù)集內(nèi)，原式?jīng)]有一次因式如果原式能分解，只能分解為(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式解 設原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考慮b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)說明 由于因式分解的唯一性，所以對b=-1，d=-7等可以不加以考慮本題如果b=1，d=7代入方程組后，無法確定a，c的值，就必須將bd=7的其他解代入方程組，直到求出待定系數(shù)為止本題沒有一次因式，因而無法運用求根法分解因式但利用待定系數(shù)法，使我們找到了二次因式由此可見，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地練習二1用雙十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3； (2)x2-xy+2