2010年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標(biāo))-精編

1、2010年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）已知集合A=xR|x|2，則AB=（）A（0，2）B0，2C0，2D0，1，22（5分）已知復(fù)數(shù)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則=（）ABC1D23（5分）曲線y=在點（1，1）處的切線方程為（）Ay=2x+1By=2x1Cy=2x3Dy=2x24（5分）如圖，質(zhì)點P在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為P0（，），角速度為1，那么點P到x軸距離d關(guān)于時間t的函數(shù)圖象大致為（）ABCD5（5分）已知命題p1：函數(shù)y=2x2x在R為增函數(shù)，p2：函數(shù)y=2x+2x在R為減函數(shù)，則在命題q1：p1p2

2、，q2：p1p2，q3：（p1）p2和q4：p1（p2）中，真命題是（）Aq1，q3Bq2，q3Cq1，q4Dq2，q46（5分）某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為（）A100B200C300D4007（5分）如果執(zhí)行右面的框圖，輸入N=5，則輸出的數(shù)等于（）ABCD8（5分）設(shè)偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=2x4（x0），則x|f（x2）0=（）Ax|x2或x4Bx|x0或x4Cx|x0或x6Dx|x2或x29（5分）若，是第三象限的角，則=（）ABC2D210（5分）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱

3、長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（）Aa2BCD5a211（5分）已知函數(shù)，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是（）A（1，10）B（5，6）C（10，12）D（20，24）12（5分）已知雙曲線E的中心為原點，P（3，0）是E的焦點，過P的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N（12，15），則E的方程式為（）ABCD二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13（5分）設(shè)y=f（x）為區(qū)間0，1上的連續(xù)函數(shù)，且恒有0f（x）1，可以用隨機模擬方法近似計算積分，先產(chǎn)生兩組（每組N個）區(qū)間0，1上的均勻隨機數(shù)x1，x2，xN和y1，

4、y2，yN，由此得到N個點（xi，yi）（i=1，2，N），再數(shù)出其中滿足yif（xi）（i=1，2，N）的點數(shù)N1，那么由隨機模擬方案可得積分的近似值為14（5分）正視圖為一個三角形的幾何體可以是（寫出三種）15（5分）過點A（4，1）的圓C與直線xy=1相切于點B（2，1），則圓C的方程為16（5分）在ABC中，D為邊BC上一點，BD=DC，ADB=120，AD=2，若ADC的面積為，則BAC=三、解答題（共8小題，滿分90分）17（12分）設(shè)數(shù)列滿足a1=2，an+1an=322n1（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）令bn=nan，求數(shù)列bn的前n項和Sn18（12分）如圖，已知四棱錐P

5、ABCD的底面為等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD中點（1）證明：PEBC（2）若APB=ADB=60，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值19（12分）為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如表： 性別是否需要志愿 男女需要 4030不需要 160270（1）估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，能否提供更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)老年人中，需要志愿幫助的老年人的比例？說明理由附：P（k2k）0

6、.00.0100.001k3.8416.63510.82820（12分）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，過F1斜率為1的直線與E相交于A，B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列（1）求E的離心率；（2）設(shè)點P（0，1）滿足|PA|=|PB|，求E的方程21（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=ex1xax2（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)x0時f（x）0，求a的取值范圍22（10分）如圖：已知圓上的弧，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：（）ACE=BCD（）BC2=BECD23（10分）已知直線C1（t為參數(shù)），C2（為參數(shù)），（）當(dāng)=時，求C1與C2的交點坐

7、標(biāo)；（）過坐標(biāo)原點O做C1的垂線，垂足為A，P為OA中點，當(dāng)變化時，求P點的軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線24（10分）設(shè)函數(shù)f（x）=|2x4|+1（）畫出函數(shù)y=f（x）的圖象：（）若不等式f（x）ax的解集非空，求a的取值范圍2010年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）（2010寧夏）已知集合A=xR|x|2，則AB=（）A（0，2）B0，2C0，2D0，1，2【分析】先化簡集合A和B，注意集合B中的元素是整數(shù)，再根據(jù)兩個集合的交集的意義求解【解答】解：A=xR|x|2，=xR|2x2，故AB=0，1，2

8、應(yīng)選D2（5分）（2010寧夏）已知復(fù)數(shù)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則=（）ABC1D2【分析】因為，所以先求|z|再求的值【解答】解：由可得另解：故選A3（5分）（2010寧夏）曲線y=在點（1，1）處的切線方程為（）Ay=2x+1By=2x1Cy=2x3Dy=2x2【分析】欲求在點（1，1）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率從而問題解決【解答】解：y=，y=，所以k=y|x=1=2，得切線的斜率為2，所以k=2；所以曲線y=f（x）在點（1，1）處的切線方程為：y+1=2（x+1），即y=2x+1故選A4（5分）（201

9、0新課標(biāo)）如圖，質(zhì)點P在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為P0（，），角速度為1，那么點P到x軸距離d關(guān)于時間t的函數(shù)圖象大致為（）ABCD【分析】本題的求解可以利用排除法，根據(jù)某具體時刻點P的位置到到x軸距離來確定答案【解答】解：通過分析可知當(dāng)t=0時，點P到x軸距離d為，于是可以排除答案A，D，再根據(jù)當(dāng)時，可知點P在x軸上此時點P到x軸距離d為0，排除答案B，故應(yīng)選C5（5分）（2010寧夏）已知命題p1：函數(shù)y=2x2x在R為增函數(shù)，p2：函數(shù)y=2x+2x在R為減函數(shù)，則在命題q1：p1p2，q2：p1p2，q3：（p1）p2和q4：p1（p2）中，真命題是（）Aq1，q3Bq2

10、，q3Cq1，q4Dq2，q4【分析】先判斷命題p1是真命題，P2是假命題，故p1p2為真命題，（p2）為真命題，p1（p2）為真命題【解答】解：易知p1是真命題，而對p2：y=2xln2ln2=ln2（），當(dāng)x0，+）時，又ln20，所以y0，函數(shù)單調(diào)遞增；同理得當(dāng)x（，0）時，函數(shù)單調(diào)遞減，故p2是假命題由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真故選C6（5分）（2010寧夏）某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為（）A100B200C300D400【分析】首先分析題目已知某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.

11、9，現(xiàn)播種了1000粒，即不發(fā)芽率為0.1，故沒有發(fā)芽的種子數(shù)服從二項分布，即B（1000，0.1）又沒發(fā)芽的補種2個，故補種的種子數(shù)記為X=2，根據(jù)二項分布的期望公式即可求出結(jié)果【解答】解：由題意可知播種了1000粒，沒有發(fā)芽的種子數(shù)服從二項分布，即B（1000，0.1）而每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X故X=2，則EX=2E=210000.1=200故選B7（5分）（2010新課標(biāo)）如果執(zhí)行右面的框圖，輸入N=5，則輸出的數(shù)等于（）ABCD【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出S=的值【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用，再

12、根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出S=的值S=1=故選D8（5分）（2010新課標(biāo)）設(shè)偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=2x4（x0），則x|f（x2）0=（）Ax|x2或x4Bx|x0或x4Cx|x0或x6Dx|x2或x2【分析】由偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=2x4（x0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|4，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為絕對值函數(shù)，再求解不等式，可得答案【解答】解：由偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=2x4（x0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|4，則f（x2）=f（|x2|）=2|x2|4，要使f（|x2|）0，只需2|x2|40，|x2|2解得x4，或x

13、0應(yīng)選：B9（5分）（2010寧夏）若，是第三象限的角，則=（）ABC2D2【分析】將欲求式中的正切化成正余弦，還要注意條件中的角與待求式中角的差別，注意消除它們之間的不同【解答】解：由，是第三象限的角，可得，則，應(yīng)選A10（5分）（2010寧夏）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（）Aa2BCD5a2【分析】由題意可知上下底面中心連線的中點就是球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積【解答】解：根據(jù)題意條件可知三棱柱是棱長都為a的正三棱柱，上下底面中心連線的中點就是球心，則其外接球的半徑為，球的表面積為，故選B11（5分）（2010新課標(biāo)）已知函數(shù)，

14、若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是（）A（1，10）B（5，6）C（10，12）D（20，24）【分析】畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)f（a）=f（b）=f（c），不妨abc，求出abc的范圍即可【解答】解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，不妨設(shè)abc，則ab=1，則abc=c（10，12）故選C12（5分）（2010寧夏）已知雙曲線E的中心為原點，P（3，0）是E的焦點，過P的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N（12，15），則E的方程式為（）ABCD【分析】已知條件易得直線l的斜率為1，設(shè)雙曲線方程，及A，B點坐標(biāo)代入方程聯(lián)立相減得x1+x2=24，根據(jù)

15、=，可求得a和b的關(guān)系，再根據(jù)c=3，求得a和b，進而可得答案【解答】解：由已知條件易得直線l的斜率為k=kPN=1，設(shè)雙曲線方程為，A（x1，y1），B（x2，y2），則有，兩式相減并結(jié)合x1+x2=24，y1+y2=30得=，從而=1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故選B二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13（5分）（2010寧夏）設(shè)y=f（x）為區(qū)間0，1上的連續(xù)函數(shù)，且恒有0f（x）1，可以用隨機模擬方法近似計算積分，先產(chǎn)生兩組（每組N個）區(qū)間0，1上的均勻隨機數(shù)x1，x2，xN和y1，y2，yN，由此得到N個點（xi，yi）（i=1，2，N），

16、再數(shù)出其中滿足yif（xi）（i=1，2，N）的點數(shù)N1，那么由隨機模擬方案可得積分的近似值為【分析】要求f（x）dx的近似值，利用幾何概型求概率，結(jié)合點數(shù)比即可得【解答】解：由題意可知得，故積分的近似值為故答案為：14（5分）（2010寧夏）正視圖為一個三角形的幾何體可以是三棱錐、三棱柱、圓錐（其他正確答案同樣給分）（寫出三種）【分析】三棱錐一個側(cè)面的在正視圖為一條線段的情形；圓錐；四棱錐有兩個側(cè)面在正視圖為線段的情形，即可回答本題【解答】解：正視圖為一個三角形的幾何體可以是三棱錐、三棱柱（放倒的情形）、圓錐、四棱錐等等故答案為：三棱錐、圓錐、三棱柱15（5分）（2010寧夏）過點A（4，1

17、）的圓C與直線xy=1相切于點B（2，1），則圓C的方程為（x3）2+y2=2【分析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用過點A（4，1），過B，兩點坐標(biāo)適合方程，圓和直線相切，圓心到直線的距離等于半徑，求得圓的方程【解答】解：設(shè)圓的方程為（xa）2+（yb）2=r2，則，解得，故所求圓的方程為（x3）2+y2=2故答案為：（x3）2+y2=216（5分）（2010寧夏）在ABC中，D為邊BC上一點，BD=DC，ADB=120，AD=2，若ADC的面積為，則BAC=60【分析】先根據(jù)三角形的面積公式利用ADC的面積求得DC，進而根據(jù)三角形ABC的面積求得BD和BC，進而根據(jù)余弦定理求得AB最后在三角形ABC中

18、利用余弦定理求得cosBAC，求得BAC的值【解答】解：由ADC的面積為可得解得，則AB2=AD2+BD22ADBDcos120=，則=故BAC=60三、解答題（共8小題，滿分90分）17（12分）（2010寧夏）設(shè)數(shù)列滿足a1=2，an+1an=322n1（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）令bn=nan，求數(shù)列bn的前n項和Sn【分析】（）由題意得an+1=（an+1an）+（anan1）+（a2a1）+a1=3（22n1+22n3+2）+2=22（n+1）1由此可知數(shù)列an的通項公式為an=22n1（）由bn=nan=n22n1知Sn=12+223+325+n22n1，由此入手可知答案【解

19、答】解：（）由已知，當(dāng)n1時，an+1=（an+1an）+（anan1）+（a2a1）+a1=3（22n1+22n3+2）+2=3+2=22（n+1）1而a1=2，所以數(shù)列an的通項公式為an=22n1（）由bn=nan=n22n1知Sn=12+223+325+n22n1從而22Sn=123+225+n22n+1得（122）Sn=2+23+25+22n1n22n+1即18（12分）（2010寧夏）如圖，已知四棱錐PABCD的底面為等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD中點（1）證明：PEBC（2）若APB=ADB=60，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值【分析】以

20、H為原點，HA，HB，HP分別為x，y，z軸，線段HA的長為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系（1）表示，計算，就證明PEBC（2）APB=ADB=60，求出C，P的坐標(biāo)，再求平面PEH的法向量，求向量，然后求與面PEH的法向量的數(shù)量積，可求直線PA與平面PEH所成角的正弦值【解答】解：以H為原點，HA，HB，HP分別為x，y，z軸，線段HA的長為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A（1，0，0），B（0，1，0）（）設(shè)C（m，0，0），P（0，0，n）（m0，n0）則可得因為所以PEBC（）由已知條件可得m=，n=1，故C（），設(shè)=（x，y，z）為平面PEH的法向量則即因此可以取，由，可得所以直線P

21、A與平面PEH所成角的正弦值為19（12分）（2010新課標(biāo)）為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如表： 性別是否需要志愿 男女需要 4030不需要 160270（1）估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，能否提供更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)老年人中，需要志愿幫助的老年人的比例？說明理由附：P（k2k）0.00.0100.001k3.8416.63510.828【分析】（1）由列聯(lián)表可知調(diào)查的500位老年人中有40+30=70

22、位需要志愿者提供幫助，兩個數(shù)據(jù)求比值得到該地區(qū)老年人中需要幫助的老年人的比例的估算值（2）根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)，代入隨機變量的觀測值公式，得到觀測值的結(jié)果，把觀測值的結(jié)果與臨界值進行比較，看出有多大把握說該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)（3）從樣本數(shù)據(jù)老年人中需要幫助的比例有明顯差異，調(diào)查時，可以先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡單隨機抽樣方法更好【解答】解：（1）調(diào)查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供幫助，該地區(qū)老年人中需要幫助的老年人的比例的估算值為（2）根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)，代入隨機變量的觀測值公式，9.9676.6

23、35，有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)（3）由（2）的結(jié)論知，該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡單隨機抽樣方法更好20（12分）（2010寧夏）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，過F1斜率為1的直線與E相交于A，B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列（1）求E的離心率；（2）設(shè)點P（0，1）滿足|PA|=|PB|，求E的方程【分析】（I）根據(jù)橢圓的定義可知|AF2|+|BF2|+|A

24、B|=4a，進而根據(jù)|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)表示出|AB|，進而可知直線l的方程，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），代入直線和橢圓方程，聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達定理表示出x1+x2和x1x2進而根據(jù)，求得a和b的關(guān)系，進而求得a和c的關(guān)系，離心率可得（II）設(shè)AB的中點為N（x0，y0），根據(jù)（1）則可分別表示出x0和y0，根據(jù)|PA|=|PB|，推知直線PN的斜率，根據(jù)求得c，進而求得a和b，橢圓的方程可得【解答】解：（I）由橢圓定義知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l的方程為y=x+c，其中設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2

25、），則A、B兩點坐標(biāo)滿足方程組化簡的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2b2）=0則因為直線AB斜率為1，|AB|=|x1x2|=，得，故a2=2b2所以E的離心率（II）設(shè)AB的中點為N（x0，y0），由（I）知，由|PA|=|PB|，得kPN=1，即得c=3，從而故橢圓E的方程為21（12分）（2010寧夏）設(shè)函數(shù)f（x）=ex1xax2（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)x0時f（x）0，求a的取值范圍【分析】（1）先對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減（2）根據(jù)ex1+x可得不等式f（x）x2ax=（12a）x，從而可知當(dāng)12

26、a0，即時，f（x）0判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，得到答案【解答】解：（1）a=0時，f（x）=ex1x，f（x）=ex1當(dāng)x（，0）時，f（x）0；當(dāng)x（0，+）時，f（x）0故f（x）在（，0）單調(diào)減少，在（0，+）單調(diào)增加（II）f（x）=ex12ax由（I）知ex1+x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立故f（x）x2ax=（12a）x，從而當(dāng)12a0，即時，f（x）0（x0），而f（0）=0，于是當(dāng)x0時，f（x）0由ex1+x（x0）可得ex1x（x0）從而當(dāng)時，f（x）ex1+2a（ex1）=ex（ex1）（ex2a），故當(dāng)x（0，ln2a）時，f（x）0，而f（0）=0，于是當(dāng)x（0，ln2a）時，f（x）0綜合得a的取值范圍為22（10分）（2010新課標(biāo)）如圖：已知圓上的弧，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：（）ACE=BCD（）BC2=BECD【分析】（