清華大學(xué)微積分A筆記(上)

1、多元函數(shù)、多元向量值函數(shù)f(X) F(X)多元函數(shù)的切平面、全微分、偏導(dǎo)有多元函數(shù)f(X)，若存在向量A=(a1,a2,an)使得f(X)-f(X0)-A(X-X0)=o(|X-X0|)，則稱g(X)=A(X-X0)是f在X0處的切平面df=AdX=a1dx1+a2dx2+andxn是f的全微分bk=(f)/(xk)是將X的其他分量視為常數(shù)時(shí)f的導(dǎo)數(shù)，稱為f的偏微分可以證明若A存在，ak=bk=f/ xkNabla算子=(/x1, /xn)A=Grad(f)=A稱為f的梯度， (fg) = gf+fg若有單位向量e=(cos1, cos2, cosn)，則稱A.e是f沿e方向的方向?qū)?shù)，A.e

2、=f/l 其中l(wèi)與e平行若f在X0可微：X0處f各一階偏導(dǎo)存在X0處f有梯度X0處f連續(xù)X0處f的各方向?qū)?shù)均存在若f在X0處各一階偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，則f在X0可微A= f是向量值函數(shù)，可以觀察，e與A平行時(shí)，f的方向?qū)?shù)最大，且大小A.e=|A|，稱A是f的梯度場向量值函數(shù)的切平面、微分、偏導(dǎo)F(X)=(f1(X),f2(X),fm(X)，若所有fi在X0處可微，則稱F在X0處可微，即F(X)=F(X0)+A(X-X0)+o(|X-X0|)，其中A=(aij)m*n=F/ X=(f1,f2,fm)/ (x1,x2,xn)=J(F(X0)稱為F在X0處的Jacobian (F的Jacobian的第

3、i行是F的Fi分量的梯度， aij := Fi / xj)F的全微分dF=AdX當(dāng)m=n時(shí)，F(xiàn)有散度Div(F)和旋度Curl(F)Div(F) = .F=f1/x1 +fm/ xm Curl(F) = F復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)一階偏導(dǎo)：若G=G(X)在X0可微，F(xiàn)=F(U) (U=G(X)在G(X0)可微，則FG在X0處可微，J(FG) = J(F(U) J(G(X)具體地，對(duì)于多元函數(shù)f(U)=f(u1,um)，其中U=G(X)即ui=g(x1,xn)f/xj = f/U * U/xj= Sumf/ui * ui/xj for each ui in U高階偏導(dǎo)：不要忘記偏導(dǎo)數(shù)還是復(fù)合函數(shù)例：f(U)

4、:=f(u1,u2), U(X):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2)2f/(x1)2 = 數(shù)學(xué)分析教程P151隱函數(shù)、隱向量值函數(shù)由F(X,Y)=0確定的函數(shù)Y=f(X)稱為隱函數(shù)隱函數(shù)：1. 存在定理：若n+1元函數(shù)F(X,y)在零點(diǎn)(X0,y0)處導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且(F)/(y)(X0,y0)0，則存在(X0,y0)附近的超圓柱體B=B(X0)*B(y0)，使得B(X0)上的任意一點(diǎn)X可以確定一個(gè)y使得F(X,y)=0，即函數(shù)F在B內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù)y=f(X)，而且這個(gè)隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)也連續(xù)注：如果(F)/(y)=0，那么在X=X0超平面上，y在X0處取得了極值，那么沿曲面被X=X0

5、截的曲線從X0處向任意方向走，y都會(huì)減小，所以y是雙值函數(shù)，不是函數(shù)2.偏導(dǎo)公式：在B內(nèi)的(X,y)處，yxi=-F/xiF/y或者說yX=-F/XF/y不正式的證明：F(X,y)0, 所以F/xi=0,即SumF/xj * xj/xi=0 (把y記做xn+1)由于X的各分量都是自變量，xj/xi=0 (ij)所以 F/ xi + F/y * y/ xi=0于是立即可得上述公式隱向量值函數(shù)：1.存在定理：若XRn,YRm，m維n+m元向量值函數(shù)F(X,Y)=0，在P0=(X0,Y0)點(diǎn)的某個(gè)鄰域B(P0,r)內(nèi)是C(1)類函數(shù)， F(P0)=0，且F/Y可逆，則存在P0的鄰域B(X0)*B(Y

6、0)，使得對(duì)于在B(X0)內(nèi)的任意X，存在唯一YB(Y0)滿足F(X,Y)=0，即F在B內(nèi)確定了一個(gè)連續(xù)可微隱函數(shù)Y=f(X)2.偏導(dǎo)公式：J(f):= (y1,ym)/ (x1,xn) := Y/X = -F/Y-1 * F/X注：1.求逆矩陣用伴隨矩陣的方法，A-1=A*/|A|，A*是A的余子矩陣的轉(zhuǎn)置2.如果只求J(f)中的一列，(Y)/(xi)= -(F)/(Y)-1 * (F)/(xi)3.如果只求J(f)中的一行或者一個(gè)元素，問題退化成隱函數(shù)偏導(dǎo)的問題4.計(jì)算F/X時(shí)，忽略Y是X的函數(shù)，將Y當(dāng)作自變量計(jì)算（從證明中可以看出原因，因?yàn)閥/x的成分被移到了等式左側(cè)J(f)里面)，而不

7、用偏導(dǎo)公式，采取對(duì)F(X,Y)=0左右同時(shí)對(duì)xi求偏導(dǎo)的方法時(shí)，Y要看做xi的函數(shù)）3.隱向量值函數(shù)的反函數(shù)：函數(shù)Y=f(X)將Rn映射至Rm，如果J(f)= f/X可逆，那么存在f的反函數(shù)X=f-1(Y)，且J(f-1)=J(f)-1注：1.求逆矩陣用伴隨矩陣的方法，A-1=A*/|A|，A*是A的余子矩陣的轉(zhuǎn)置2.|J(f-1)|=|J(f)|-1用參數(shù)形式給出的隱函數(shù)若有x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，則需要列方程求曲面和曲線的切平面、法線、法向量三維空間下，函數(shù)F(x,y,z)=0確定了一個(gè)曲面。如果F在點(diǎn)P處滿足(1) F在P處連續(xù)可微(2) F在P處不為0則稱

8、P是曲面上的正則點(diǎn)如果曲面在正則點(diǎn)P0(x0,y0,z0)處有法向量n(nx,ny,nz)，A=(x-x0,y-y0,z-z0)，則S在P點(diǎn)的切平面方程為n.A=0,法線方程(x-x0)/nx=(y-y0)/ny=(z-z0)/nz (約定分母為0時(shí)分子也為0)過P0(x0,y0,z0)與n1=(x1,y1,z1)和n2=(x2,y2,z2)都垂直的直線有標(biāo)準(zhǔn)方程：(X-X0).n1=(X-X0).n2=0，具體地:x1(x-x0)+y1(y-y0)+z1(z-z0)=0x2(x-x0)+y2(y-y0)+z2(z-z0)=0I. 曲面的顯式表示法z=f(x,y)是曲面S的顯式表示正則點(diǎn)P0(

9、x0,y0,z0)處，S的法向量n=(f/x, f/y, -1)II. 曲面的隱式表示法F(x,y,z)=0是曲面的隱式表示法正則點(diǎn)P0處，n=(z/x, z/y, -1) =(-(F/x) / (F/z) , -(F/y) /(F/z) , -1) =(F/x , F/y , F/z)III. 曲線的參數(shù)表示法L=x=x(t),y=y(t),z=z(t)是曲線的參數(shù)方程正則點(diǎn)P處，t=(x,y,z)是L在P處的切向量，以t為法線的平面稱為L在P處的切平面IV. 曲面的參數(shù)表示法S=x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)是曲面的參數(shù)表示法取通過正則點(diǎn)P的v-曲線Su=u0和u-曲

10、線Sv=v0，在正則點(diǎn)處取切向量，t1=(xu,yu,zu)，t2=(xv,yv,zv)，正則點(diǎn)處的法向量必與t1、t2垂直，可以取n= t1t2P點(diǎn)處的切平面T可以直接用u、v的參數(shù)表示T: X-X0 = J(X).(u-u0,v-v0)，具體就是x-x0 = xu(u-u0)+xv(v-v0)y-y0 = yu(u-u0)+yv(v-v0)z-z0 = zu(u-u0)+zv(v-v0)V.曲線的標(biāo)準(zhǔn)表示法兩個(gè)曲面F(x,y,z)=0與G(x,y,z)=0的公共解可以確定它們的交線L。正則點(diǎn)P處，L的切向量應(yīng)該與F的法向量n1、G的法向量n2都垂直，可以取t=n1n2Taylor公式、函數(shù)

11、的極值與最值、Lagrange乘子法定義函數(shù)f(X)在X0點(diǎn)的Hessian：H(f)|X0:=H(f(X0):=H(X0)=(2f/xixj)n*nTaylor定理：f(X0+X)=f(X0) + f(X0).X + 1/2(X)T.H(X0+X) . (X) (0=1)f(X0+X)=f(X0) + f(X0).X + 1/2(X)T.H(X0) . (X) + o(|X|2)Sketch of proof: f在B(X0)內(nèi)二階可微，在B(X0)內(nèi)任取X= X0+X，令g(t)=f(X0+X)，g(t)= f(X0).X，g(t)= (X)T.H(X0+X) . (X)，直接應(yīng)用一元Ta

12、ylor公式即可。極值若X0處有f(X0)=0，則稱X0是f的一個(gè)駐點(diǎn)在駐點(diǎn)X0處，如果有H(X0)正定，則X0是f的極小值；如果H(X0)負(fù)定，X0是f的極大值，否則X0是f的鞍點(diǎn)Sketch of proof: X0附近，f(X0+X) - f(X0)= f(X0).X + 1/2(X)T.H(X0) . (X) + o(|X|2)，而由駐點(diǎn)條件f(X0).X=0，o(|X|2)是無窮小，在足夠小的區(qū)域內(nèi)(X)T.H(X0) . (X)決定了函數(shù)值變化的符號(hào)，如果它恒正，那么H(X0)是正定矩陣；恒負(fù)，H(X0)是負(fù)定矩陣。說明：(1) 由線性代數(shù)的知識(shí)，如果A的所有特征值均為正，A正定；

13、A的特征值均為負(fù)，A負(fù)定，而且設(shè)A的最小、最大特征值為、，那么X.X=XTAX0時(shí)H可定，其中2f/x1x10時(shí)H正定，2f/x1x10,X0, =(,X0)0 s.t. |f(X)-f(X0)|0, =()0 s.t. X,X, 若|X-X|則|f(X)-f(X)|說明：1.與一元微積分相似，若是有界閉集且f在上連續(xù)，則f在上一致連續(xù)2.連續(xù)性條件中的與X無關(guān)，或者說對(duì)于X都有同一個(gè)，則f一致連續(xù)設(shè)f(x,y)在Q=a,bc,d上有定義，則稱 f(x,y)dy為含參積分，x是參變量，y是積分變量定義三維幾何體=(x,y,z)|(x,y)Q,z=f(x,y)，的體積V=a,bSdx,S(x)=

14、f(x,y)dy,那么V=(dxf(x,y)dy)是積分的幾何意義常用含參積分：(x) = e-t tx-1 dt(x,y) = tx-1(1-t)y-1dt廣義含參積分：含參積分的性質(zhì)：以森林為例，木材、藥品、休閑娛樂、植物基因、教育、人類住區(qū)等都是森林的直接使用價(jià)值。令I(lǐng)(x)=f(x,y)dy，xa,b，D=a,bc,d1.建設(shè)項(xiàng)目環(huán)境影響評(píng)價(jià)分類管理的原則規(guī)定1.若f(x,y)在D上連續(xù)，則I(x)在D上連續(xù)2.若f(x,y)和f/x在D上都連續(xù)，則I(x)在a,b上可微，且I(x) = (f/x) dy2.(推廣形式)若f(x,y)和f/x在D上都連續(xù)，則 = f(x,y)dy可微，

15、且(x) = f(x, (x) (x) f(x, (x) (x) + (f(x,y)/x) dy（2）疾病成本法與人力資本法3. (dxf(x,y)dy) = (dyf(x,y)dx)常用廣義含參積分：第二節(jié)安全預(yù)評(píng)價(jià)Poisson積分e-x2dx = sqrt()/21）直接使用價(jià)值。直接使用價(jià)值（DUV）是由環(huán)境資源對(duì)目前的生產(chǎn)或消費(fèi)的直接貢獻(xiàn)來決定的。Dirichlet積分(sinx/x)dx = /2一元廣義積分收斂性1.xpdx收斂p=-11）規(guī)劃實(shí)施對(duì)環(huán)境可能造成影響的分析、預(yù)測和評(píng)估。主要包括資源環(huán)境承載能力分析、不良環(huán)境影響的分析和預(yù)測以及與相關(guān)規(guī)劃的環(huán)境協(xié)調(diào)性分析。2. 1+sintxxpdx安全預(yù)評(píng)價(jià)方法可分為定性評(píng)價(jià)方法和定量評(píng)價(jià)方法。絕對(duì)收斂p1條件收斂0p=1發(fā)散p0, A=A()0, A,AA, yc,d, |A-A f(x,y)dx|, 則無界區(qū)間上的廣義積分 f(x,y)關(guān)于y一致收斂1.環(huán)境的概念2.(Dirichlet)若對(duì)足夠大的A，有一致有界積分f(x,y)dx和對(duì)x單調(diào)的g有l(wèi)imx-+g(x,y)=0關(guān)于yc,d一致成立，則廣義積分f(x,y)g(x,y)dx一致收斂(有界的廣義積分無窮處的0)3.(Abel)對(duì)于yc,d有一致收斂的廣義積分f(x,y)dx和對(duì)y一致有界、對(duì)x單調(diào)的g(x,y)，則廣