電磁場(chǎng)與微波技術(shù)(場(chǎng)論)

1、1,第章 場(chǎng)論,1.1 矢量的基本運(yùn)算公式 1.2 場(chǎng)的基本概念 1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度 1.4 矢量場(chǎng)的散度和旋度 1.5 亥姆霍茲定理 1.6 常用正交曲線坐標(biāo)系,2,1.1 矢量的基本運(yùn)算公式,1.1.1 標(biāo)量和矢量 1.1.2 基本運(yùn)算公式 1.1.3 常用矢量,3,標(biāo)量-用大小能夠完整描述的物理量 矢量-需用大小和方向描述的物理量,若三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)軸上的分量已知, 一個(gè)矢量就確定了。 例如在直角坐標(biāo)系中, 矢量A的三個(gè)分量模值分別是Ax , Ay , Az, 則A可表示為,該矢量的模為,1.1 矢量的基本運(yùn)算公式1.1.1 標(biāo)量和矢量,A的單位矢量為,矢量的表示方法,4,例如,在直

2、角坐標(biāo)下,標(biāo)量場(chǎng),如溫度場(chǎng),電位場(chǎng),高度場(chǎng)等;,矢量場(chǎng),如流速場(chǎng),電場(chǎng),渦流場(chǎng)等。,1.1 矢量的基本運(yùn)算公式1.1.1 標(biāo)量和矢量,5,設(shè),1.1 矢量的基本運(yùn)算公式1.1.2 矢量的基本公式,(2) 矢量的加法和減法,(1) 矢量的數(shù)乘,6,(3) 標(biāo)量積和矢量積,標(biāo)量積AB,并有,因而得,矢量的相乘有兩種定義-標(biāo)量積(點(diǎn)乘)和矢量積(叉乘)。,1.1 矢量的基本運(yùn)算公式1.1.2 矢量的基本公式,7,矢量積AB,(3) 標(biāo)量積和矢量積,并有,故,1.1 矢量的基本運(yùn)算公式1.1.2 矢量的基本公式,8,標(biāo)量三重積為,矢量三重積為,（4） 三重積 矢量的三連乘也有兩種-標(biāo)量、矢量三重積。,

3、1.1 矢量的基本運(yùn)算公式1.1.2 矢量的基本公式,9,(5) 求導(dǎo),例 求矢量場(chǎng) 的矢量線方程。 解 矢量線應(yīng)滿足的微分方程為,從而有,解得矢量方程,c1和c2是積分常數(shù)。,1.1 矢量的基本運(yùn)算公式1.1.2 矢量的基本公式,10,1.1 矢量的基本運(yùn)算公式1.1.2 矢量的基本公式,(6) 曲線積分,例 設(shè),，求任意兩點(diǎn)a、b間的矢量E的線積分。,解,11,(7) 曲面積分,例 已知矢量場(chǎng) ，求由內(nèi)向外穿過(guò)圓錐面x2+y2=z2與平面z=H所圍封閉曲面的通量。 解,1.1 矢量的基本運(yùn)算公式1.1.2 矢量的基本公式,12,1.1 矢量的基本運(yùn)算公式1.1.3 常用矢量,單位矢量 一個(gè)

4、特定方向上的單位矢量等于該方向上的任一矢量除以其幅值 分矢量 一個(gè)矢量在特定方向上的投影為其在該方向上的分量 切向矢量（分量） 法向矢量 （分量）,13,1.2 場(chǎng)的基本概念,1.2.1 定義 1.2.2 分類 1.2.3 場(chǎng)圖,14,1.2 場(chǎng)的基本概念1.2.1 場(chǎng)的定義,場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù)，即場(chǎng)中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量或矢量值。,1.2.2 場(chǎng)的分類,（1） 標(biāo)量場(chǎng),例如,在直角坐標(biāo)系,標(biāo)量場(chǎng)的場(chǎng)線-等值線(面)。,等值線,15,標(biāo)量場(chǎng)(x, y, z)的等值面方程為,1.2 場(chǎng)的基本概念1.2.1 場(chǎng)的定義,場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù)，即場(chǎng)中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定

5、的標(biāo)量或矢量值。,1.2.2 場(chǎng)的分類,（1） 標(biāo)量場(chǎng),例 求數(shù)量場(chǎng) =(x+y)2-z通過(guò)點(diǎn)M(1, 0, 1)的等值面方程。 解 點(diǎn)M的坐標(biāo)是x0=1, y0=0, z0=1，則該點(diǎn)的數(shù)量場(chǎng)值為=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為,或,16,1.2 場(chǎng)的基本概念1.2.1 場(chǎng)的定義,場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù)，即場(chǎng)中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量或矢量值。,1.2.2 場(chǎng)的分類,（2） 矢量場(chǎng),例如,在直角坐標(biāo)系,矢量場(chǎng)的場(chǎng)線-矢量線。,其方程為,三維場(chǎng),在直角坐標(biāo)下,二維場(chǎng),17,1.2 場(chǎng)的基本概念1.2.1 場(chǎng)的定義,場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù)，即場(chǎng)中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)

6、確定的標(biāo)量或矢量值。,1.2.2 場(chǎng)的分類,（2） 矢量場(chǎng),例 求矢量場(chǎng) 的矢量線方程。 解 矢量線應(yīng)滿足的微分方程為,從而有,解得矢量方程,c1和c2是積分常數(shù)。,18,形象描繪場(chǎng)分布的工具-場(chǎng)線,矢量場(chǎng)-矢量線,標(biāo)量場(chǎng)-等值線(面)。,其方程為,其方程為,在直角坐標(biāo)下:,矢量線,在某一溫度上沿什么方向溫度變化最快？,1.2.3 場(chǎng)圖,19,1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度,1.3.1 方向?qū)?shù) 1.3.2 梯度 1.3.3 梯度的物理意義,20,標(biāo)量場(chǎng)(x, y, z)在某點(diǎn)沿l方向的變化率稱為沿該方向的方向?qū)?shù) 。 它的值與所選取的方向 有關(guān), 設(shè),1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度,1.3.1 方向?qū)?shù),21,

7、1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度,標(biāo)量函數(shù)的最大變化率,1.3.1 方向?qū)?shù),在直角坐標(biāo)系下,性質(zhì),垂直于等值面； 指向變化最快的方向； 最大的變化率；,定義,1.3.2 梯度,定義,22,引入,則,定義標(biāo)量場(chǎng)(x, y, z)在點(diǎn)P(x, y, z)處的梯度(gradient)為,23,標(biāo)量函數(shù)的等值面的法線方向單位矢量可用梯度表示為,即梯度的方向與過(guò)該點(diǎn)的等值面相垂直, 并由梯度定義知, 它指向增大的方向。,一座山的等高線圖,24,梯度運(yùn)算有如下規(guī)則:,25,例 求數(shù)量場(chǎng) 在點(diǎn)M(1, 1, 2)處沿 方向的方向?qū)?shù)。 解 l方向的方向余弦為,而,在l方向的方向?qū)?shù)為,在點(diǎn)M處沿l方向的方向?qū)?shù),26

8、,例 求r在M(1，0，1)處沿 方向的方向?qū)?shù)。 解 r的梯度為,點(diǎn)M處的坐標(biāo)為x=1, y=0, z=1,所以r在M點(diǎn)處的梯度為,r在M點(diǎn)沿l方向的方向?qū)?shù)為,而,所以,27,標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù);,梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向,即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向。,梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，即該點(diǎn)最大方向?qū)?shù);,1.3.3 梯度的物理意義,三維高度場(chǎng)的梯度,例 高度場(chǎng)的梯度,與過(guò)該點(diǎn)的等高線垂直；,數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率；,指向地勢(shì)升高的方向。,28,例 電位場(chǎng)的梯度,與過(guò)該點(diǎn)的等位線垂直；,指向電位增加的方向。,數(shù)值等于該

9、點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；,電位場(chǎng)的梯度,29,1.4 矢量場(chǎng)的散度和旋度,1.4.1 通量 1.4.2 散度 1.4.3 環(huán)量 1.4.4 旋度,30,1.4 矢量場(chǎng)的散度和旋度1.4.1 通量,元通量,通量,31,矢量 E 沿閉合曲面S 的面積分, 0 (有正源), 0 (有負(fù)源), =0 (無(wú)源),矢量場(chǎng)的通量,可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì):,通量的物理意義,32,定義矢量A在某點(diǎn)的散度(divergence), 記為divA:,1.4 矢量場(chǎng)的散度和旋度1.4.2 散度,哈密頓(W .R .Hamilton)引入微分算子,則散度可以表示為,33,1.4 矢量場(chǎng)的散度和旋度1.4.2

10、 散度,34,得高斯公式(散度定理),該公式表明了區(qū)域V 中場(chǎng)A與邊界S上的場(chǎng)A之間的關(guān)系。,矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。,1.4 矢量場(chǎng)的散度和旋度1.4.2 散度,意義,35,例 球面S上任意點(diǎn)的位置矢量為,試?yán)蒙⒍榷ɡ碛?jì)算,解,36,矢量A沿某封閉曲線的線積分, 定義為A沿該曲線的環(huán)量(或旋渦量), 記為,1.4 矢量場(chǎng)的散度和旋度1.4.3 環(huán)量,環(huán)量密度,取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。,37,旋度是一個(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。,旋度(curl或rotation),與環(huán)量密度的關(guān)系為,在直角坐標(biāo)系下,1.4 矢量場(chǎng)的散度和旋度1.4.4 旋度,3

11、8,1.4 矢量場(chǎng)的散度和旋度1.4.4 旋度,旋度的物理意義,矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。,點(diǎn)P的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值。,在矢量場(chǎng)中，若A=J0,稱之為旋度場(chǎng)(或渦旋場(chǎng))，J 稱為旋度源(或渦旋源)；,點(diǎn)P的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向。,若矢量場(chǎng)處處A=0，稱之為無(wú)旋場(chǎng)(或保守場(chǎng))。,39,矢量A的旋度可表示為算子與A的矢量積, 即,計(jì)算A時(shí), 先按矢量積規(guī)則展開(kāi), 然后再作微分運(yùn)算, 得,1.4 矢量場(chǎng)的散度和旋度1.4.4 旋度,40,旋度運(yùn)算符合如下規(guī)則:,在直角坐標(biāo)系中有,41,斯托克斯(Stockes)定理,A 是環(huán)量密度，即圍繞單位面積環(huán)路上的環(huán)量

12、。因此，其面積分后，環(huán)量為,即Stockes定理,在電磁場(chǎng)理論中，Gauss公式和 Stockes公式是兩個(gè)非常重要的公式。,矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。,該公式表明了區(qū)域S中場(chǎng)A與邊界L上的場(chǎng)A之間的關(guān)系,42,例 自由空間中的點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為,求任意點(diǎn)處(r0)電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度E。,解,43,可見(jiàn), 向分量為零; 同樣, 向和 向分量也都為零。 故,這說(shuō)明點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)。,因,44,1.5 亥姆霍茲定理,1.5.1 散度和旋度的比較 1.5.2 亥姆霍茲定理,45,1.5.1 散度和旋度的比較, 矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù), 而矢量場(chǎng)的旋度是一個(gè)矢量函數(shù)。 散度表示場(chǎng)

13、中某點(diǎn)的通量密度, 它是場(chǎng)中任一點(diǎn)通量源強(qiáng)度的量度; 旋度表示場(chǎng)中某點(diǎn)的最大環(huán)量強(qiáng)度, 它是場(chǎng)中任一點(diǎn)處旋渦源強(qiáng)度的量度。,1.5 亥姆霍茲定理, 散度由各場(chǎng)分量沿各自方向上的變化率來(lái)決定; 而旋度由各場(chǎng)分量在與之正交方向上的變化率來(lái)決定。,46,在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場(chǎng)由它的散度、旋度及邊界條件唯一地確定。,1.5.2 亥姆霍茲定理,47,例：判斷矢量場(chǎng)的性質(zhì),=0,=0,=0,0,0,=0,48,1.6 常用坐標(biāo)系,1.6.1 直角坐標(biāo)系 1.6.2 圓柱坐標(biāo)系 1.6.3 球坐標(biāo)系,49,坐標(biāo)變量,微元,1.6 常用正交曲線坐標(biāo)系1.6.1 直角坐標(biāo)系,50,柱坐標(biāo)系,1.6 常用正交曲線坐標(biāo)系1.6.2 圓柱坐標(biāo)系,坐標(biāo)變量,三者總保持正交關(guān)系, 并遵循右手螺旋法則,51,微元,52,1.6 常用正交曲線坐標(biāo)系1.6.3 球坐標(biāo)系,坐標(biāo)變量,三者總保持正交關(guān)系, 并遵循右手螺旋法則,53,微元,，,54,三種特殊形式的場(chǎng),1.平行平面場(chǎng)：如果在經(jīng)過(guò)某一軸線(設(shè)為 Z 軸)的一族平行平面上，場(chǎng) F 的分布都相同，即