《信號(hào)與系統(tǒng)》-第五章-拉普拉斯變換

第五章拉普拉斯變換51定義、存在性（信號(hào)與系統(tǒng)第二版（鄭君里）42）問題的提出信號(hào)的傅里葉變換存在要求，但有些信號(hào)不絕FT1L,FT對(duì)可積，例如。當(dāng)時(shí)的處理方法是乘以雙邊指數(shù)函數(shù)，把符號(hào)函1SGNL數(shù)“拉”下來，使相乘以后的信號(hào)絕對(duì)可積。|0LIMSGN0TTEFF，因此，便考慮將納入積分核，使非絕對(duì)可積信號(hào)可以做頻譜分析。T為使問題簡(jiǎn)化，僅考慮T0的情形，即因果信號(hào)、單邊變換。對(duì)因果信號(hào)，F(xiàn)UJJ00DDTTTTEFEFTEFSTL（51）定義信號(hào)的（單邊）拉普拉斯變換為FT0DJSTFSFTFE，L（52）JJ012TTTFEE令，為常數(shù)，JSDJSJJ12TFTFEJ1D2STFTSFEL（53）（42）式和（43）式是一對(duì)拉普拉斯變換式，稱為原函數(shù)，F(xiàn)T稱為像函數(shù)。FS定義（指數(shù)階函數(shù)）指分段連續(xù)（存在有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)），F(xiàn)T且，使，對(duì)。0MT，0TMETT注。0OTFTE存在。FSS命題指數(shù)階信號(hào)的拉氏變換存在。證明，對(duì)0TFTME0TT00DDDSTSTSTTSFFEFETSTSTTFE0TTFE0000DTMAMEA注1）為非指數(shù)階信號(hào)。23,TET2）為指數(shù)階信號(hào)，其中為多項(xiàng)式。TPPT3）為收斂坐標(biāo)，過垂直于軸的垂線為收斂軸，為收斂000域（已知收斂域）。4）指數(shù)階函數(shù)是衡量信號(hào)拉氏變換存在的標(biāo)準(zhǔn)，并指定了收斂軸。在收斂軸右邊拉氏變換收斂，并不意味著其左邊一定不收斂。圖51例1FTU即收斂001TEMT，01D|STSTETL（54）例2負(fù)指數(shù)信號(hào)001D|STTTSEES（55）例3冪次信號(hào)10DNNSTNTETLL（56）N0，UTN1，2S（57）NN，1NNTL（58）積分下限當(dāng)在處是第一類間斷點(diǎn)時(shí)，亦有FT00DSTFSFTFE0STSTFE（59）但是，此時(shí)，。因此，在用拉氏變換方0|TF0|TT法解微分方程時(shí)，積分下限宜取零負(fù)，以便于處理初值問題，豁免從零負(fù)求零正之苦難。后續(xù)討論拉氏變換微分性質(zhì)，即可進(jìn)一步理解此良苦用心52性質(zhì)（信號(hào)與系統(tǒng)第二版（鄭君里）43）代數(shù)性質(zhì)線性11NNIIIFTFTLL（510）卷積1212FTFS（511）圖52像卷積（S域卷積）1212JDFTFSZSZL（512）乘2FT1FT12FT圖53拓?fù)湫再|(zhì)（微/積分性質(zhì)）微分此處容易混淆，各版本書敘述不一樣，務(wù)必提高警惕00TTFSFFL（513）證明DFT00D0|STSTSTFEFEFFEF注1由（59）式易知，上式蘭色項(xiàng)相等；因此，只需式中紅色的零負(fù)與零正分別對(duì)應(yīng)即可，而不管信號(hào)在零點(diǎn)是否有跳變注2對(duì)于因果信號(hào)，有，則。三FPFTSLPJS者在三個(gè)域中的作用等價(jià)，即PJFTSF（514）推廣2PFTFTLL0SF2SFF（515）特別地，當(dāng)時(shí)，有10,0NFPNFTSF（516）積分T11D0PFFTFSFLL（517）01FF證明（法一）00DPTFTFFLL10TFUTF0DTS第二項(xiàng)0DTSTFE0011DTSSTFFES1FS1PFTFFSL證明（法二）T0T0DDFFFUTT1D0TSFFFSLL（）證畢1由卷積拉氏變換性質(zhì)有，且，則像微分（S域微分）PDTFS（518）像積分S1FTFZL（519）證明SS0DDZTFZEFZTSFT011DTFEFTL其他性質(zhì)平移（延時(shí)）000STFTUTEFTLL（520）圖54像平移（調(diào)制）TFEFSL（521）例已知，則有1UTS00JJ01CO2TTTTUTELL200012JJSS（522）相似（尺度變換）1,SFATFAL（523）初值定理若存在，存在，則FTFTL0LIMLITSF（524）證明110DSTTSFFFFEL0LIMLIDLIM0STSTSSETMSFF注1，半徑無窮大的圓上所有點(diǎn)RS平面無窮遠(yuǎn)，點(diǎn)極黎曼球面的北極。N，四點(diǎn)除外。2AE,所以，兩點(diǎn)除外。0,STSEA當(dāng)時(shí)，N北極J圖55注2若在T0處有跳變，可有F0FF0000DDSTSTSTTTSTSFFEEFEFEL取極限有0LIMLIMDSTSSFFE即0FF注3若在T0有沖激，則1FTKTF，1FSKS10LISF終值定理若存在，存在，在除FTFSLFTLS原點(diǎn)外的（右半閉平面）解析（相當(dāng)與實(shí)變函數(shù)的光滑），則R0LIMLITSF（525）證明10DSTSFFFE0LILISTSS0DFFTF注1）應(yīng)用圖56希望輸出能夠再現(xiàn)輸入，即LIM0TYVTE為穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)誤差。00LIMLI1SSVEEWS2）（慢變信號(hào)）J0，必然3）圖57定理的條件在除原點(diǎn)外的解析。SFR，虛軸上有共軛極點(diǎn)，不滿足定理?xiàng)l件。020COSUTT，虛軸上有共軛極點(diǎn)，不滿足定理?xiàng)l件。002SINTTS，右半平面有一極點(diǎn)，不滿足定理?xiàng)l件。1TEU，53拉普拉斯逆變換（信號(hào)與系統(tǒng)第二版（鄭君里）44）極點(diǎn)、零點(diǎn)NSFSFTDL的極點(diǎn)；當(dāng)與互素時(shí)，即的零點(diǎn)。IIPFDIPS的零點(diǎn)；當(dāng)與互素時(shí)，即的零點(diǎn)。FS0IIZNIZN已知，求FT，（最右邊極J1D2STFTSFEL0MAXREIP點(diǎn)）圖58J1DDD2RRSTSTSTCCFTFEEFEJSTSTR1D2JSTCFEESISTPIUT（526）注1），左半平面；RC，2）充要條件1D02JRSTCFE（527）3），若，則（527）式成立；NSFDDEGD4）是全純（解析）函數(shù)；STE5）當(dāng)不是有理函數(shù)時(shí)，需考察。1D02JSTCRFE感興趣者可自行研究。6）當(dāng)為的一階極點(diǎn)，IPFS0INSSPDREIIPTSTIFEUT（528）7）當(dāng)為的R階極點(diǎn)，IPFS0RINSPS1DREIIRRPTSTIPFEUTS（529）8），NSFDEGDQ，0SCS0S00DEGND00QIIND00RESIQISTIIPFTCTUT（530）例（書例412），求。321SFFT解01RESRESTSTFT23102D1STSTE2TTTEU部分分式展開，NSFDDEGD11RRNSSPP階，一階1RN11IIIIRCFSSPP，REIIIISSPF1,RN1111RRSPS，I1,2,R111DRIRISPCI111IRNPTTIIIRCFTEUCEU（531）54系統(tǒng)函數(shù)（信號(hào)與系統(tǒng)第二版（鄭君里）46，47）問題的提出輸入，求VT,IOTYT輸入，求I圖59輸入/輸出圖510為系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)HT系統(tǒng)函數(shù)HSHTL（532）圖511YSHXS零狀態(tài)響應(yīng)11YTL（533）系統(tǒng)的幾種描述形式圖512PYTHXTSHLYXS，收斂域P|SHS形式DT注若寫為，則表示微分算子；YTXT但不能寫作。YS系統(tǒng)的多種輸入輸出描述沖擊響應(yīng)系統(tǒng)算子系統(tǒng)函數(shù)微分方程描述HTPHS零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)非零狀態(tài)響應(yīng)零、極點(diǎn)與的波形特征HST，與互素，NDDEGND11RRNSSPP11RNIIIIRCSPSP11IRNTTIIIRHTHSEUL（534）注1）線性無關(guān)，與極點(diǎn)有關(guān)，稱為模態(tài)。11,NRPTPTTPTTREE2）決定于的零極點(diǎn)分布。11,RNCCS3）是的實(shí)系數(shù)有理函數(shù)，對(duì)于中的共軛對(duì)HSIP，10210JJPAPA、1212CC系數(shù)與也是共軛的，不失一般性，0SINATKEUT與共同產(chǎn)生的輸出具有的形式。4）對(duì)，若，模態(tài)漸近于0，HSILPREIPITP是一階極點(diǎn)，模態(tài)單調(diào)漸近于0IIT是重極點(diǎn)，模態(tài)當(dāng)時(shí)單調(diào)漸近于011PTMET5）若，即極點(diǎn)在虛軸上，有兩種情況RE0IP圖513虛軸上的共軛極點(diǎn)對(duì)應(yīng)單邊正弦1002SINTUSL原點(diǎn)處的單重極點(diǎn)對(duì)應(yīng)單位階躍1T一階，模態(tài)等幅；JIP0SINTU二階，模態(tài)線性增幅I高階，模態(tài)非線性增幅。JI6）若，模態(tài)發(fā)散。IRPRE0IP圖514重要結(jié)論虛軸附近的極點(diǎn)所決定的模態(tài)是慢變的，起支配作用。零極分布與響應(yīng)YSHVS圖515RESRESIJSTSTZSHPVPIJYTYY極點(diǎn)極點(diǎn)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)自由響應(yīng)，與極點(diǎn)有關(guān)，與零點(diǎn)無關(guān)；SHS瞬態(tài)響應(yīng)在上極點(diǎn)貢獻(xiàn)漸近于0，YSLT穩(wěn)態(tài)響應(yīng)在上極點(diǎn)貢獻(xiàn)R快變響應(yīng)遠(yuǎn)離虛軸極點(diǎn)貢獻(xiàn)慢變響應(yīng)虛軸附近極點(diǎn)貢獻(xiàn)55線性定常系統(tǒng)頻率響應(yīng)（信號(hào)與系統(tǒng)第二版（鄭君里）48）正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、特征函數(shù)圖51600J00RESRES1ISTSTZSPHPISTJYTYYJHJ極點(diǎn)因此，稱為正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。JTSYTE00J0JJ|SJTSYTHE00JJTSTYTTEEH（535）注1）對(duì)矩陣，為特征向量，為屬于ANR，的特征根。對(duì)應(yīng)（535）式有為特征函數(shù)，為系統(tǒng)針對(duì)輸入特0JTE0JH征函數(shù)的特征根譜。2）0COSVTAT00JSYTH（536）0SINVTT00JSYTA（537）頻率響應(yīng)特性系統(tǒng)輸出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨輸入信號(hào)頻率變化的特性。當(dāng)跑遍時(shí)，即系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（譜）。0,JHBIBO穩(wěn)定0，JJHE其中，為系統(tǒng)的幅頻特性（響應(yīng)），幅度譜；為系統(tǒng)的相頻特性（響應(yīng)），相位譜。BIBO穩(wěn)定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等價(jià)性系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定DLHTHS極點(diǎn)（538）此時(shí)，JJ|STHF反例（積分器）TFDFUTH積分器的單位沖激響應(yīng)為1HSTD圖517J1|JSH而，因此兩者不等。1JFHT確定頻率特性的幾何方法1MJJNIIKSZNSHDPBIBO穩(wěn)定在平面，沿軸從SJJJH圖518IJ11JJJKMMKKKNNIIIKZNEHPM1I1JJJ1MKNKNIIKNEHE1JMKNIIKNMI1MNJJ（539）注差矢量是與正實(shí)軸的夾角逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。例考慮圖518的情況，IJJKNEHKMJJHK；J02J02例一階RC低通、高通與帶通系統(tǒng)（參見鄭老師教材）。56BIBO穩(wěn)定性（信號(hào)與系統(tǒng)第二版（鄭君里）411）系統(tǒng)穩(wěn)定性零狀態(tài)穩(wěn)定性輸入輸出，外部穩(wěn)定性，BIBO穩(wěn)定；零輸入穩(wěn)定性內(nèi)部穩(wěn)定性，李亞譜諾夫穩(wěn)定性。BIBO穩(wěn)定性定義零狀態(tài)系統(tǒng)T是BIBO穩(wěn)定的對(duì)任一有界輸入，其輸出均有界。即對(duì)，恒有，L,VTABTL,YTVTAB即，。SUPTSUPTY圖519注1）此定義是普適的（不要求系統(tǒng)是線性的）2）系統(tǒng)在零狀態(tài)BIBO穩(wěn)定；系統(tǒng)在非零狀態(tài)未必BIBO穩(wěn)定。例圖520零狀態(tài)BIBO穩(wěn)定，負(fù)電容指數(shù)增長放電（數(shù)學(xué)上），1CF非零狀態(tài)非BIBO穩(wěn)定。定理零狀態(tài)線性系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定,DHTT，（540）證明充分性設(shè),SUP,D,TMHTMT對(duì)任意輸入，VTVN有SUPS,TTYTYH,DTVSSUPTTNM必要性已知零狀態(tài)線性系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定，反設(shè)，取,DHTSGN,1VTHTVT但SUP,DTYHTT于是反設(shè)不成立，必要性成立。定理線性定常時(shí)不變BIBO穩(wěn)定，即DHT1L,HT的極點(diǎn)，且HSLIPLDEGNDD，（541）注1）若，即有微分算子，則系統(tǒng)非BIBO穩(wěn)定。DEG2）穩(wěn)定信號(hào)。1L,FTFT3）臨界穩(wěn)定不是BIBO穩(wěn)定的。臨界穩(wěn)定的概念以后再講。定理若，12,HTVT，則LYT（542）圖521證明依定理?xiàng)l件，令，DHTN2DVTMYTV12T（CS不等式）12DDHHVT1122NVTDDYTHTT2VHNMN57全通系統(tǒng)/最小相移系統(tǒng)（信號(hào)與系統(tǒng)第二版（鄭君里）410）全通系統(tǒng)定義為全通系統(tǒng)（函數(shù)）HS1BIOJHK）系統(tǒng)穩(wěn)定2）（543）注）零點(diǎn)與極點(diǎn)（關(guān)于虛軸）鏡像對(duì)稱JK極點(diǎn)，零點(diǎn)，ILPIRZIIP1NIISZHJS平面JPIZIO圖5222）全通系統(tǒng)的是的單調(diào)減函數(shù)0零點(diǎn)IZ3/2/2極點(diǎn)IP，0，0，4N個(gè)零、極點(diǎn)2N0的零極點(diǎn)分布有三種情況HS（1）是實(shí)系數(shù)有理分式，則零點(diǎn)、極點(diǎn)均成對(duì)出現(xiàn)，構(gòu)成共軛對(duì)（2）實(shí)軸上的單個(gè)零極點(diǎn)（3）非實(shí)系數(shù)有理分式，單個(gè)零極點(diǎn)最小相移系統(tǒng)定義為最小相移系統(tǒng)（函數(shù)）HS1）的任意極點(diǎn)ILP2）的任意零點(diǎn)SILZ若任意零點(diǎn)，則為嚴(yán)格最小相移系統(tǒng)。ILZ對(duì)幅度相同的系統(tǒng)，最小相移系統(tǒng)相移最小。圖523定理任意BIBO穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)都可由一個(gè)全通系統(tǒng)與一個(gè)最小相移系統(tǒng)級(jí)聯(lián)構(gòu)成。證明設(shè)BIBO穩(wěn)定，共有個(gè)右半開平面零點(diǎn)，HSM1,MRZ1MIISSZ11MIMIISSZ（544）其中，為最小相移系統(tǒng)，為BIBO穩(wěn)定1MIIH1IISZ的全通系統(tǒng)。相位延遲與群延遲相位延遲單頻率（正弦）信號(hào)通過系統(tǒng)時(shí)產(chǎn)生的延時(shí)。信號(hào)通過系統(tǒng)，若輸出為，0COSXTT000COSCOSYTTT即產(chǎn)生了相移，則相位延遲為，即由于相位差而產(chǎn)生的延遲。0T一般地，信號(hào)通過系統(tǒng)，輸出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為CSXTJHSE，相位延遲為。當(dāng)時(shí)，若JCOSYTHTDT0，則信號(hào)通過系統(tǒng)產(chǎn)生延遲，若，則信號(hào)通過系統(tǒng)產(chǎn)生超前。00在處，系統(tǒng)的附加相移所產(chǎn)生的延遲為，是在處的線性11T1斜率；在處，系統(tǒng)的附加相移所產(chǎn)生的延遲為，是