應(yīng)用彈塑性力學(xué)習(xí)題解答

應(yīng)用彈塑性力學(xué)習(xí)題解答 張 宏 編寫西北工業(yè)大學(xué)出版社目 錄第二章 習(xí)題答案1第三章 習(xí)題答案5第四章 習(xí)題答案9第五章 習(xí)題答案25第六章 習(xí)題答案36第七章 習(xí)題答案48第八章 習(xí)題答案53第九章 習(xí)題答案56第十章 習(xí)題答案58第十一章 習(xí)題答案61第二章 習(xí)題答案2.6設(shè)某點(diǎn)應(yīng)力張量的分量值已知，求作用在過(guò)此點(diǎn)平面上的應(yīng)力矢量，并求該應(yīng)力矢量的法向分量。解 該平面的法線方向的方向余弦為 而應(yīng)力矢量的三個(gè)分量滿足關(guān)系而法向分量滿足關(guān)系最后結(jié)果為2.7利用上題結(jié)果求應(yīng)力分量為時(shí)，過(guò)平面處的應(yīng)力矢量，及該矢量的法向分量及切向分量。解 求出后，可求出及，再利用關(guān)系可求得。最終的結(jié)果為2.8已知應(yīng)力分量為，其特征方程為三次多項(xiàng)式，求。如設(shè)法作變換，把該方程變?yōu)樾问?，求以及與的關(guān)系。解 求主方向的應(yīng)力特征方程為式中：是三個(gè)應(yīng)力不變量，并有公式代入已知量得為了使方程變?yōu)樾问?，可令代入，正好?xiàng)被抵消，并可得關(guān)系代入數(shù)據(jù)得，2.9已知應(yīng)力分量中，求三個(gè)主應(yīng)力。解 在時(shí)容易求得三個(gè)應(yīng)力不變量為，特征方程變?yōu)榍蟪鋈齻€(gè)根，如記，則三個(gè)主應(yīng)力為記2.10已知應(yīng)力分量，是材料的屈服極限，求及主應(yīng)力。解 先求平均應(yīng)力，再求應(yīng)力偏張量，。由此求得然后求得，解出 然后按大小次序排列得到，2.11已知應(yīng)力分量中，求三個(gè)主應(yīng)力，以及每個(gè)主應(yīng)力所對(duì)應(yīng)的方向余弦。解 特征方程為記，則其解為，。對(duì)應(yīng)于的方向余弦，應(yīng)滿足下列關(guān)系 （a） （b） （c）由（a）,(b)式，得，代入（c）式，得，由此求得對(duì)，代入得對(duì)，代入得對(duì)，代入得2.12當(dāng)時(shí)，證明成立。解 由，移項(xiàng)之得證得第三章 習(xí)題答案3.5 取為彈性常數(shù)，是用應(yīng)變不變量表示應(yīng)力不變量。 解：由，可得，由，得3.6 物體內(nèi)部的位移場(chǎng)由坐標(biāo)的函數(shù)給出，為，求點(diǎn)處微單元的應(yīng)變張量、轉(zhuǎn)動(dòng)張量和轉(zhuǎn)動(dòng)矢量。解：首先求出點(diǎn)的位移梯度張量將它分解成對(duì)稱張量和反對(duì)稱張量之和轉(zhuǎn)動(dòng)矢量的分量為，該點(diǎn)處微單元體的轉(zhuǎn)動(dòng)角度為3.7 電阻應(yīng)變計(jì)是一種量測(cè)物體表面一點(diǎn)沿一定方向相對(duì)伸長(zhǎng)的裝置，同常利用它可以量測(cè)得到一點(diǎn)的平面應(yīng)變狀態(tài)。如圖3.1所示，在一點(diǎn)的3個(gè)方向分別粘貼應(yīng)變片，若測(cè)得這3個(gè)應(yīng)變片的相對(duì)伸長(zhǎng)為，求該點(diǎn)的主應(yīng)變和主方向。解：根據(jù)式先求出剪應(yīng)變。考察方向線元的線應(yīng)變，將， ，代入其中，可得則主應(yīng)變有解得主應(yīng)變，。由最大主應(yīng)變可得上式只有1個(gè)方程式獨(dú)立的，可解得與軸的夾角為于是有，同理，可解得與軸的夾角為。3.8 物體內(nèi)部一點(diǎn)的應(yīng)變張量為試求：在方向上的正應(yīng)變。根據(jù)式，則方向的正應(yīng)變?yōu)?.9 已知某軸對(duì)稱問(wèn)題的應(yīng)變分量具有的形式，又設(shè)材料是不可壓縮的，求應(yīng)具有什么形式？解： 對(duì)軸對(duì)稱情況應(yīng)有，這時(shí)應(yīng)變和位移之間的關(guān)系為，。應(yīng)變協(xié)調(diào)方程簡(jiǎn)化為，由不可壓縮條件，可得可積分求得，是任意函數(shù)，再代回，可得。3.10 已知應(yīng)變分量有如下形式，由應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，試導(dǎo)出應(yīng)滿足什么方程。解：由方程，得出必須滿足雙調(diào)和方程。由，得出由，得出由此得，其它三個(gè)協(xié)調(diào)方程自動(dòng)滿足，故對(duì)沒(méi)有限制。第四章 習(xí)題答案4.3有一塊寬為，高為的矩形薄板，其左邊及下邊受鏈桿支承，在右邊及上邊分別受均布?jí)毫妥饔?，?jiàn)題圖4.1，如不計(jì)體力，試求薄板的位移。題圖4-1解：1.設(shè)置位移函數(shù)為 （1）因?yàn)檫吔缟蠜](méi)有不等于零的已知位移，所以式中的、都取為零，顯然，不論式（1）中各系數(shù)取何值，它都滿足左邊及下邊的位移邊界條件，但不一定能滿足應(yīng)力邊界條件，故只能采用瑞茲法求解。2.計(jì)算形變勢(shì)能。為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，只取、兩個(gè)系數(shù)。 （2） （3）3.確定系數(shù)和，求出位移解答。因?yàn)椴挥?jì)體力，且注意到，式4-14簡(jiǎn)化為 （4） （5）對(duì)式（4）右端積分時(shí)，在薄板的上下邊和左邊，不是，就是，故積分值為零。在右邊界上有 （6）同理，式（5）右端的積分只需在薄板的上邊界進(jìn)行， （7）將式（3）、式（6）、式（7）分別代入式（4）、式（5）可解出和： ， （8） （9）4分析：把式(8)代入幾何和物理方程可求出應(yīng)力分量，不難驗(yàn)證這些應(yīng)力分量可以滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件，即式(8)所示位移為精確解答。在一般情況下(這是一個(gè)特殊情況)，在位移表達(dá)式中只取少數(shù)幾個(gè)待定系數(shù)，是不可能得到精確解答的。4.4設(shè)四邊固定的矩形薄板，受有平行于板面的體力作用()，坐標(biāo)軸如題圖4.2所示。求其應(yīng)力分量。題圖4-2解： 1本題為平面應(yīng)力問(wèn)題，可用瑞茲法求解。由題意知位移分量在邊界上等于零，所以，所以式中的、都取為零，且將位移函數(shù)設(shè)置為如下形式： （1）把或代入上式，因?yàn)?，或，所以，位移邊界條件是滿足的。2把式（1）代入式（9-16），得薄板的變形勢(shì)能為 （2）3. 確定系數(shù)和。由于位移分量在邊界上為零，所以，方程式4-14簡(jiǎn)化為 （3）式（2）代入式（3），得 （4）由于，從式（4）的第一式得，由第二式得當(dāng)和取偶數(shù)時(shí)，和都為零，當(dāng)和取奇數(shù)時(shí)，和都為2。因此，當(dāng)取偶數(shù)時(shí)，。當(dāng)取奇數(shù)時(shí)，將和代入式（1）得位移分量為4利用幾何方程和物理方程，可求出應(yīng)力分量（和取奇數(shù)）；4.5有一矩形薄板，三邊固定，一邊上的位移給定為，見(jiàn)題圖4.3，設(shè)位移分量為，式中，為正整數(shù)，可以滿足位移邊界條件。使用瑞茲法求維持上述邊界位移而要在處所施加的面力。題圖4-3解：1.平面應(yīng)力問(wèn)題時(shí)的變形勢(shì)能為式其中2確定待定系數(shù)。按題意三邊固定（），一邊只存在而面力待求。所以， （2）將式（1）代入式（2），得當(dāng)體力分量為零時(shí)，得當(dāng)時(shí)，所以，此時(shí)有，而3.位移和應(yīng)力解答為4.求上邊界施加的面力（設(shè)），在處4.6用伽遼金法求解上例。解：應(yīng)用瑞茲法求解上例時(shí)，形變勢(shì)能的計(jì)算工作量較大。由于此問(wèn)題并沒(méi)有應(yīng)力邊界條件，故可認(rèn)為上例題意所給的位移函數(shù)不但滿足位移邊界條件，而且也滿足應(yīng)力邊界條件，因此，可以用伽遼金法計(jì)算。對(duì)于本題，方程可以寫成將上題所給的表達(dá)式代入，積分后得 當(dāng)體力不計(jì)時(shí)，此時(shí)，而由下式確定：當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，上式成為由此解出及位移分量如下：求出的位移和應(yīng)力分量，以及上邊界的面力，都有上例用瑞茲法求得結(jié)果相同。4.7鉛直平面內(nèi)的正方形薄板邊上為，四邊固定，見(jiàn)題圖4.4，只受重力作用。設(shè)，試取位移表達(dá)式為用瑞茲法求解（在的表達(dá)式中，布置了因子和，因?yàn)榘凑諉?wèn)題的對(duì)稱條件，應(yīng)該是和的奇函數(shù)）。題圖4-4解：1位移表達(dá)式中僅取和項(xiàng)： （1）2由得變形勢(shì)能為 （2）其中代入式（2），得 （3）3.確定系數(shù)和。因板四周邊界上位移為零（，面力未知），板的體力分量為，所以得將式（3）代入式（4），得 （5）注意，有以下對(duì)稱性：式（5）積分后成為式（6），由此可求得、和位移、應(yīng)力分量： （6） （7） （8） （9）4.8用伽遼金法求解上題。解：1位移表達(dá)式仍取上題式（1），其兩階偏導(dǎo)數(shù)為（1）2.確定和。因?yàn)?，所以伽遼金方程簡(jiǎn)化為 （2）將以及式（1）代入（2），得 由此解出和： （3）與瑞茲法求出結(jié)果一樣，由此可見(jiàn)，用伽遼金法計(jì)算較為簡(jiǎn)單。4.9懸臂梁自由端作用一集中力，梁的跨度為，見(jiàn)題圖4.5，試用端茲法求梁的撓度。題圖4-5解：1.設(shè)梁的撓度曲線為 （1）此函數(shù)滿足固定端的位移邊界條件：，梁的總勢(shì)能為由得， 代入式（1）得撓度為式（2），最大撓度為式（3） （2） （3）4.10有一長(zhǎng)度為的簡(jiǎn)支梁，在處受集中力作用，見(jiàn)題圖4.6，試用瑞茲法和伽遼金法求梁中點(diǎn)的撓度。題圖4-6解一：用瑞茲法求解設(shè)滿足梁端部位移邊界條件的撓度函數(shù)為 （1）梁的變形能及總勢(shì)能為由得 （2）以上級(jí)數(shù)的收斂性很好，取很少幾項(xiàng)就能得到滿意的近似解，如作用于中點(diǎn)（）時(shí)，跨中撓度為（只取一項(xiàng)）這個(gè)解與材料力學(xué)的解（）相比，僅相差1.5%。解二：用伽遼金法求解1.當(dāng)對(duì)式（1）求二階導(dǎo)數(shù)后知，它滿足，亦即滿足支承處彎矩為零的靜力邊界條件，因此，可采用伽遼金求解。將式（1）代入伽遼金方程，注意到，且作用在處，可得求出的撓度表達(dá)式與（2）一致。4.11圖4.7所示的簡(jiǎn)支梁，梁上總荷重為，試用瑞茲法求最大撓度。題圖4-7解：設(shè)滿足此梁兩端位移邊界條件的撓度為 （1）則總勢(shì)能為，代入式（1）得梁上總荷重為，因此有4.12一端固定、另一端支承的梁，其跨度為，抗彎剛度為常數(shù)，彈簧系數(shù)為，承受分布荷載作用，見(jiàn)題圖4.8。試用位移變分方程（或最小勢(shì)能原理），導(dǎo)出該梁以撓度形式表示的平衡微分方程和靜力邊界條件。題圖4-8解：用位移變分方程推導(dǎo)1.梁內(nèi)總應(yīng)變能的改變?yōu)?.外力總虛功為 3.由位移變分方程式得 （1）對(duì)上式左端運(yùn)用分部積分得代入式（1），經(jīng)整理后得 （2）由于變分的任意性，上述式子成立的條件為 （3） （4） （5）4式（3）就是以撓度表示的平衡微分方程。下面討論邊界條件，由于梁的左端為固定端，因此有 （6）梁的右端為彈性支承，則有 （7）注意到式（4）能滿足，而欲使式（5）成立，必須滿足 （8）式（6）和式（8）即為題意所求的邊界條件。5.由于最小勢(shì)能原理與位移變分方程式等價(jià)的，所以，從最小勢(shì)能原理出發(fā)，也能得到所求的表達(dá)式（略）。第五章 習(xí)題答案5.3矩形薄板具有固定邊，簡(jiǎn)支邊及自由邊和，角點(diǎn)處有鏈桿支撐，板邊所受荷載如題圖5-1所示。試將各板邊的邊界條件用撓度表示。題圖5-1解：1。各邊界條件如下：（1）（2）或（3）或用撓度表示為 ， （4）或用撓度表示為 ， （5）5.4矩形薄板的和邊為簡(jiǎn)支邊，和邊是自由邊，在點(diǎn)有一個(gè)向上位移，且由鏈桿拉住，如題圖5-2所示。試證能滿足一切條件（其中，為待定常數(shù)），并求出撓度表達(dá)式、彎矩和反力。題圖5-2解：1.撓曲面方程為：。邊界條件為邊 邊 邊 邊 2.將撓度表達(dá)式代入后，可知滿足以上各式。由角的位移條件確定，從而求出撓度，內(nèi)力和反力：3.分析：給定的角點(diǎn)的位移沿軸反向，故為負(fù)值。四個(gè)角點(diǎn)反力的數(shù)值雖然相同，但、的方向向上，則向下，這些反力由外界支承施加于板。5.5題圖5-3所示矩形板在點(diǎn)受集中力作用，和兩邊簡(jiǎn)支，和兩邊自由，試求撓度、內(nèi)力和反力。提示：，為任意常數(shù)。題圖5-3解：1.本題的撓曲面方程及邊界條件為2.不難驗(yàn)證能滿足以上方程和條件。有角點(diǎn)的補(bǔ)充條件可確定，進(jìn)而可求出撓度、內(nèi)力和反力： ， ， ，的方向向上，、則向下（沿軸正方向）5.6有一塊邊長(zhǎng)分別為和的四邊簡(jiǎn)支矩形薄板，坐標(biāo)系如題圖5-4所示，受板面荷載作用，試證能滿足一切條件，并求出撓度、彎矩和反力。題圖5-4解：不難驗(yàn)證能滿足所有簡(jiǎn)支邊的邊界條件，由撓曲面方程式可確定，從而求出撓度、彎矩和反力。 ， 5.7有一矩形薄板的與邊是簡(jiǎn)支邊，其上作用有均布彎矩，和邊為自由邊，其上作用有均布彎矩，若設(shè)能滿足一切條件，試求出撓度、彎矩和反力。板面無(wú)橫向荷載作用，坐標(biāo)取題圖5-5。題圖5-5解： 將代入撓曲面方程，得， 彎矩、反力的表達(dá)式為，由邊界條件確定常數(shù)，從而求得撓度和內(nèi)力：能滿足。所以，能滿足一切條件，其余內(nèi)力和反力為零。5.8 有一四邊簡(jiǎn)支矩形板，板面荷載如題圖5-6所示，求該薄板的撓度。題圖5-6解：采用納維解法，撓度表達(dá)式為荷載表達(dá)式為由式求出：式中，5.9題圖5-7所示的矩形薄板，周邊簡(jiǎn)支，板面無(wú)垂直均布荷載作用，只在的板邊受均布彎矩作用，求板的撓度。題圖5-7解：1。采用李維解法。因?yàn)榘迕婧奢d為零，故式右端積分為零，即特解為零，再考慮變形的對(duì)稱性，板內(nèi)撓度應(yīng)是的偶函數(shù)，所以， ，則撓度表達(dá)式為2.利用的邊界條件確定系數(shù)，：等式兩端同乘以，對(duì)積分，且注意到三角函數(shù)的正交性，得 5.10半徑為的固定邊圓形薄板，板面荷載為，如題圖5-8.求其撓度和內(nèi)力。題圖5-8解：1.板中無(wú)孔，滿足撓曲面微分方程的撓度可取為 （1）式中，特解設(shè)為，代入撓曲面方程后，得 （2）2.由邊界條件求得常數(shù)，進(jìn)而求出撓度和內(nèi)力： （3） （4） （5）3.分析（1）取半徑為的板中部分圓板的平衡（）也可求得：（2）若固定邊圓板受荷載作用（題圖5-9a），該荷載可分解成題圖5-9b和題圖5-9c所示兩種荷載。題圖5-9b的解答很容易得到，題圖5-9c狀態(tài)下的解答則可將代換本題的式（4）、式（5）中的而求得。題圖5-9b和題圖5-9c狀態(tài)下的解答疊加起來(lái)便可求得題圖5-9a狀態(tài)下的解答，不難證明，題圖5-9a情況下的撓度為題圖5-95.11有一半徑為的固支圓板，板中心受集中力作用，見(jiàn)題圖5-10a，求其撓度和內(nèi)力。題圖5-10解：1.這是軸對(duì)稱彎曲問(wèn)題，板面無(wú)均布載荷，故特解為零，則其撓度表達(dá)式為 （1）板中心無(wú)孔，撓度應(yīng)是有限值，應(yīng)為零。該板的邊界條件為 （2） （3）取半徑為的部分圓板的靜力平衡條件，得 （4）2由式（2）、式（3）、式(4)求得常數(shù)，進(jìn)而求出撓度和內(nèi)力： （5） （6）3.分析 ：題圖5-10b所示固支圓板，當(dāng)版中心鏈桿支座發(fā)生沉陷時(shí)，可以用本題的式（5）求解（其中第三項(xiàng)在板中心為零） （7）將代入式（5）、式（6），求得題圖5-10b情況時(shí)的撓度和內(nèi)力為 （8） （9）5.12有一半徑為的簡(jiǎn)支圓板，板面無(wú)荷載，但在周邊受均布彎矩作用，見(jiàn)題圖5-11所示。求圓板的撓度和內(nèi)力。題圖5-11解：1.因板面無(wú)荷載，板中心無(wú)孔，故特解和常數(shù)，取為零。撓度、轉(zhuǎn)角、內(nèi)力表達(dá)式如下： （1） （2） （3）邊界條件為： （4） （5）2.求出，后代回式（1）、式（2）、式（3），得第六章 習(xí)題答案6.3 在拉伸試驗(yàn)中，伸長(zhǎng)率為，截面收縮率為，其中和為試件的初始橫截面面積和初始長(zhǎng)度，試證當(dāng)材料體積不變時(shí)有如下關(guān)系：證明：將和的表達(dá)式代入上式，則有6.4 為了使冪強(qiáng)化應(yīng)力-應(yīng)變曲線在時(shí)能滿足虎克定律，建議采用以下應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系： (1)為保證及在處連續(xù)，試確定、值。 (2)如將該曲線表示成形式，試給出的表達(dá)式。 解：（1）由在處連續(xù)，有 （a） 由在處連續(xù)，有 （b） （a）、（b）兩式相除，有 （c） 由（a）式，有 （d）（2）取形式時(shí)， 當(dāng)：即 當(dāng)：應(yīng)力相等，有 解出得， （代入值） （代入值） 6.5已知簡(jiǎn)單拉伸時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖6-1所示，并表示如下： 問(wèn)當(dāng)采用剛塑性模型是，應(yīng)力-應(yīng)變曲線應(yīng)如何表 示？ 圖6-1解：剛塑性模型不考慮彈性階段應(yīng)變，因此剛塑性應(yīng)力應(yīng)變曲線即為曲線，這不難由原式推得而在強(qiáng)化階段，因?yàn)檫@時(shí)將都移到等式左邊，整理之即得答案。其中6.6 已知簡(jiǎn)單拉伸時(shí)的曲線由（6.1）式給出，考慮橫向應(yīng)變與軸向應(yīng) 變的比值在彈性階段，為材料彈性時(shí)的泊松比，但進(jìn)入塑性階段后值開(kāi)始增大最后趨向于。試給出的變化規(guī)律。 解：按題設(shè)在簡(jiǎn)單拉伸時(shí)總有 （a） 左邊為體積變形，不論材料屈服與否，它要按彈性規(guī)律變化，即有 （b） 比較（a），（b）兩式，得 將表達(dá)式代入，即可得。6.7如圖所示等截面直桿，截面積為，且。在處作用一個(gè)逐漸增加的力。該桿材料為線性強(qiáng)化彈塑性，拉伸和壓縮時(shí)性能相同。求左端反力和力的關(guān)系。 解：（1）彈性階段基本方程：平衡方程 （a） 幾何方程 （b） 本構(gòu)方程 （c）聯(lián)立求出 顯然，段先屈服，取，得 ，當(dāng)時(shí)，值如上述表達(dá)式。 （2）彈塑性階段（a段塑性，b段彈性）平衡方程和幾何方程仍為（a）、 （b）式。本構(gòu)方程： 且設(shè)將本構(gòu)方程代入幾何方程： 即 兩側(cè)同乘面積，并利用平衡方程（a），得解出 令，則得 （e）本階段結(jié)束時(shí)，由幾何方程 且 利用平衡方程 （f） 當(dāng)時(shí)，為（e）式。 （3）塑性階段 平衡方程和幾何方程同上。本構(gòu)方程 （g）與（2）彈塑性階段同樣步驟：可得6.8 如圖所示等截面直桿，截面積為，且。在處作用一個(gè)逐漸增加的力。該桿材料為理想彈塑性，拉伸和壓縮時(shí)性能相同。按加載過(guò)程分析結(jié)構(gòu)所處不同狀態(tài)，并求力作用截面的位移與的關(guān)系。 解：基本方程為平衡方程 （a） 幾何方程 （b） 本構(gòu)方程 （1）彈性階段 由前題知， 因，故。截面位移 本階段終止時(shí)， （2） 彈塑性階段（） 此時(shí)， 截面位移由段變形控制： 且本階段終止時(shí)， （3）塑性階段（） 無(wú)限位移（為不定值）。 （4）圖線斜率比較： 段： 段： 6.9 如圖所示三桿桁架，若，桿件截面積均為，理想彈塑性材料。加載時(shí)保持并從零開(kāi)始增加，求三桿內(nèi)力隨的變化規(guī)律 解：基本方程為 （a) 幾何方程： （b） 協(xié)調(diào)關(guān)系： 本構(gòu)方程： （c） （1）彈性階段（） 利用（a）、（b）及（c）第一式，聯(lián)立求解得 即 可看出結(jié)構(gòu)彈性極限：令 有 （2）彈塑性階段（）取，結(jié)構(gòu)成為靜定，由平衡方程解得 若取，即此時(shí)即當(dāng)時(shí)，內(nèi)力為上列值，當(dāng)時(shí)，桿1和桿2 已 進(jìn)入塑性階段，當(dāng)時(shí)，兩桿為無(wú)線變形，結(jié)構(gòu)已成為機(jī)構(gòu)。 故，此結(jié)構(gòu)。6.11 如圖所示三桿桁架，理想彈塑性材料，桿件截面面積均為，求下述兩種加載路徑的節(jié)點(diǎn)位移和桿件應(yīng)變： (1)先加豎向力，使結(jié)構(gòu)剛到達(dá)塑性極限狀態(tài)，保持不變，開(kāi)始 加力，使桁架再次達(dá)到塑性極限狀態(tài)。 (2)先加水平力，使結(jié)構(gòu)剛到達(dá)塑性極限狀態(tài)，保持久不變，開(kāi)始加力，使桁架再次達(dá)到塑性極限狀態(tài)。 解：此結(jié)構(gòu)的基本方程為 （a） 幾何方程： （b） 且有： 本構(gòu)方程： （c） 將基本方程用其相應(yīng)的增量表示為 幾何方程： 且有： 本構(gòu)方程： （1）加載路徑見(jiàn)（1）教材 （2）加載路徑見(jiàn)（2） 第一階段：先加，由基本方程可得 顯然，1桿、3桿同時(shí)屈服，此時(shí) （d） 第二階段：在保持不變的情況下施加力，這是由相應(yīng)改變，此時(shí)， 節(jié)點(diǎn)位移增量為 由增量形式幾何方程 這說(shuō)明桿1、2、3均伸長(zhǎng)，即桿3卸載。 由增量形式平衡方程 說(shuō)明保持不變，增加時(shí)，必須減小，當(dāng)取，即桿2進(jìn)入拉伸屈服，此時(shí)，將各項(xiàng)增量與（d）式相應(yīng)初始值疊加， 有： （e） 第三階段：保持不變，繼續(xù)增加力，此時(shí)，即 與第二階段相似，必須減少。 當(dāng)，即時(shí)，結(jié)構(gòu)達(dá)到極限狀態(tài)。這時(shí)： 將各增量與（e）式相應(yīng)初始值疊加，有 （f）第七章 習(xí)題答案7.3 設(shè)為應(yīng)力偏量，試證明用應(yīng)力偏量表示Mises屈服條件時(shí)，其形式為：證明：Mises屈服條件為 故有 7.4 試用應(yīng)力張量不變量和表示Mises屈服條件。解： Mises屈服條件： 故有 7.5 試用Lode應(yīng)力參數(shù)表達(dá)Mises屈服條件。解：由定義：即 Mises屈服條件為將上式代入，得：即：7.6 物體中某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為，該物體在單向拉伸時(shí)，試用Mises和Tresca屈服條件分別判斷該點(diǎn)是處于彈性狀態(tài)還是塑性狀態(tài)，如主應(yīng)力方向均作相反的改變（即同值異號(hào)），則對(duì)被研究點(diǎn)所處狀態(tài)的判斷有無(wú)變化?解：（1）Mises屈服條件判斷故該點(diǎn)處于彈性狀態(tài)（2） Tresca屈服條件判斷故該點(diǎn)處于塑性狀態(tài)如果各應(yīng)力均作為變號(hào)，則以上各式不變，所作判斷沒(méi)有變化。7.8 已知薄壁圓球，其半徑為，厚度為，受內(nèi)壓的作用，如采用Tresca屈服條件，試求內(nèi)壁開(kāi)始屈服時(shí)的內(nèi)壓值。解：研究半球的靜力平衡內(nèi)球面：，外球面：由Tresca條件，內(nèi)壁先開(kāi)始屈服，此時(shí)7.9 薄壁管受拉扭聯(lián)合作用，只有正應(yīng)力和切應(yīng)力，試用表示Mises和Tresca和雙剪應(yīng)力三種屈服條件。解：(1）Mises：由，得（2）Tresca：由，得（3）雙剪應(yīng)力：，由此得出可以寫成當(dāng)時(shí)，三種屈服準(zhǔn)則得出的值有所不同。7.10 在平面應(yīng)力問(wèn)題中，取，試將Mises和Tresca和雙剪應(yīng)力屈服條件用三個(gè)應(yīng)力分量表示。引進(jìn)。解：(1) Mises屈服準(zhǔn)則引進(jìn)下列量綱為一的量則上式成為(2) Tresca屈服準(zhǔn)則記， 根據(jù)的大小，將由下列值 （a）屈服準(zhǔn)則對(duì)應(yīng)的為量綱化為一后得答案結(jié)果（3） 雙剪應(yīng)力屈服準(zhǔn)則將（a）式代入上式中得到6個(gè)式子，可合并成4個(gè)關(guān)系。進(jìn)一步化簡(jiǎn)為量綱化為一后即得答案結(jié)果。第八章 習(xí)題答案8.3分析：本題中是由塑性體積變形為零：且單向拉伸時(shí)，推出。單向拉伸時(shí)，有 體積應(yīng)變服從彈性定律，即將以上兩式聯(lián)等，得依次將代入。則得，彈性階段；屈服階段；強(qiáng)化階段。8.4分析：在方向的主應(yīng)力分別為： ，則，從而求得應(yīng)力偏量，再根據(jù)增量理論，得最終結(jié)果為（-1）：1：08.5分析：設(shè)扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力，主應(yīng)力為：，代入Mises屈服條件，得。8.6證明： 將對(duì)求偏導(dǎo)，可得，同理可得，所以；用同樣的方法求得。8.7分析：1）開(kāi)始屈服時(shí)，代入Mises屈服準(zhǔn)則得； 2）屈服后對(duì)應(yīng)的塑性應(yīng)變?cè)隽繛?由及屈服條件的微分形式，聯(lián)列可得，代入式子得到答案結(jié)果。8.8 解：（1）單向拉伸應(yīng)力狀態(tài) 有 則 （2）純剪切應(yīng)力狀態(tài)， 有 故 8.9 證明：有Coulomb剪破條件 所在平面為滑移面，如圖。 從圖中可以看出，滑移面與所在主平面所成角為12 (1)開(kāi)始屈服時(shí)，代入Mises屈服條件準(zhǔn)則 得 （2） 屈服后對(duì)應(yīng)的塑性應(yīng)變?cè)隽繛?由 (a)及屈服條講的微分形式 (b)可得 (c)由(a)(c)兩式，得 代入式子得答案結(jié)果。第九章 習(xí)題答案9.1分析：設(shè)剪切屈服極限為，則可以依次求得彈性極限扭矩為：；塑性極限扭矩為：；設(shè)彈塑性區(qū)分界線半徑為，則。9.2計(jì)算結(jié)果為。9.3分析：在本題中，根據(jù)公式；卸載后殘余應(yīng)變曲率為，結(jié)合，。9.4分析：根據(jù)公式，分別將代入便可求的；當(dāng)=12.6時(shí)，。9.5分析：二端封閉在處，代入Mises屈服條件，化簡(jiǎn)可得；用同樣的方法可求得二端自由時(shí)，；二端約束時(shí)，。9.6分析：由彈性力學(xué)，筒內(nèi)各應(yīng)力值為 將這些值代入Mises屈服條件得：化簡(jiǎn)后的，在和處同時(shí)屈服，即，化簡(jiǎn)得計(jì)算結(jié)果為：。第十章 習(xí)題答案10.2分析：設(shè)為缺口處因摩擦作用而產(chǎn)生的剪應(yīng)力。是均布?jí)毫^(qū)，在邊上；是均布?jí)毫^(qū)，在邊上。因?yàn)槭峭粭l線，有，化簡(jiǎn)得，則單位長(zhǎng)度上的極限載荷為。10.4分析：由于形狀對(duì)稱、滑移線場(chǎng)對(duì)稱，故只取右半部進(jìn)行分析。分別寫出邊上應(yīng)力分量值，列平衡方程 （*） 求得因?yàn)檠赝粭l線，由可得；在邊上的點(diǎn)，所以，得。代入*式可得彎矩。10.5分析：是均布?jí)毫^(qū)，在邊上點(diǎn)：由得：；是均布?jí)毫^(qū)，在邊上點(diǎn)：，可計(jì)算出。由于沿同一條線，故，化簡(jiǎn)后，則單位長(zhǎng)度的極限荷載為。10.8當(dāng)時(shí)，在彈性階段有 得 平均應(yīng)力 因此在彈性階段有，進(jìn)入塑性后有 對(duì)平均應(yīng)變 剛進(jìn)入塑性時(shí)。由上式導(dǎo)出。因此進(jìn)入塑性后還滿足。由于，得出，故實(shí)際獨(dú)立變量只是與。在塑性應(yīng)變?cè)隽糠矫妫捎?，而。則有，并可得出 最后得到答案結(jié)果。10.9（1）Mises屈服條件。由流動(dòng)法則，現(xiàn)在，將得出。 （2）Tresca屈服條件，在平面內(nèi)求得主應(yīng)力如下： (a)由于，而，即即 (b)由流動(dòng)法則，這要求應(yīng)力點(diǎn)處在屈服面上，即 (c）并要求，或 (d)由 代入(d)式，得 由代入，得 第十一章 習(xí)題答案11.3使用靜力法和機(jī)動(dòng)法求出圖示超靜定梁的極限載荷。解1：（1）靜力法首先該超靜定梁（）化為靜定結(jié)構(gòu)（）、（）。分別求出其彎矩圖，然后疊加，得該超靜定梁的彎矩圖（）在極限情況下設(shè)點(diǎn)支反力為，則：由上二式得當(dāng)值達(dá)到上述數(shù)值時(shí)，結(jié)構(gòu)形成破壞機(jī)構(gòu)，故為該梁的完全解。（2）機(jī)動(dòng)法設(shè)破壞機(jī)構(gòu)如圖（），并設(shè)點(diǎn)撓度為，則：外力功內(nèi)力功由，可得極限載荷上限為由于在作用下，故上式所示載荷為完全解的極限載荷。解2：（1）靜力法先將該超靜定梁化為靜定梁（）、（），分別作彎矩圖，疊加得該超靜定梁的彎矩圖（）設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)彎矩方程為：在極限狀態(tài)時(shí)，有令得 （1）而 （2） （3）聯(lián)立解（1）、（2）、（3）得解得取較大的值，可得在以上值作用下，梁已形成破壞機(jī)構(gòu)，故其解為完全解。（2）機(jī)動(dòng)法 如圖（g）設(shè)在、兩點(diǎn)形成塑性鉸內(nèi)力功為外力功為由虛功原理得：該解與完全解的誤差為解3：（1）靜力法設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)在點(diǎn)，此時(shí)彎矩方程為：段（）段（）在處，為極大值，設(shè)在段，由得 （1）在極限情況下 ， 即： （2） （3）聯(lián)立解（1）、（2）、（3）得取正號(hào)由于此時(shí)形成破壞機(jī)構(gòu)，故值完全解。（2）機(jī)動(dòng)法,如圖（g）設(shè)此梁在和處形成塑性鉸，則，內(nèi)力功為外力功為 由虛功原理 得由極值條件得代入的表達(dá)式，則得的極小值由于此結(jié)果滿足，故所得的值為完全解的極限載荷。11.4試用機(jī)動(dòng)法求下列圖示板的極限載荷 。(1)四邊簡(jiǎn)支，邊長(zhǎng)為的正方形板，載荷作用在板的中點(diǎn)；(2)三邊簡(jiǎn)支一邊自由的矩形板，在自由邊中點(diǎn)承受集中力的作用；(3)四邊簡(jiǎn)支矩形板，在板上任意點(diǎn)()承受集中力的作用解（a）外力功如破壞時(shí)四角可以翹起。內(nèi)力功其中代入上式后，得由虛功原理得其中值由確定即由此得因此（b）外力功內(nèi)力功由得而故（c）外力功內(nèi)力功其中由得11.5使用機(jī)動(dòng)法求圖示連續(xù)梁的極限載荷。解1：次梁為一次超靜定梁，可能的破壞機(jī)構(gòu)有兩種，如圖（b）、（c）。若塑性鉸在、處形成，此時(shí)外力功內(nèi)力功由得若塑性鉸在、處形成，設(shè)到得距離為，此時(shí)有外力功內(nèi)力功由得令得將代入的表達(dá)式比較以上兩種可知該梁的極限荷載為解2：該連續(xù)梁形成破壞機(jī)構(gòu)有如下三種形式：（1） 形成兩個(gè)塑性鉸產(chǎn)生局部破壞有兩處可能，圖（b）、形成塑性鉸故 由得圖（c）、兩點(diǎn)形成塑性鉸，此時(shí)有故由得（2） 形成三個(gè)塑性鉸，產(chǎn)生局部破壞有三種可能：圖（d）在、三點(diǎn)形成塑性鉸，此時(shí)有由得圖（e）在、三點(diǎn)形成塑性鉸，此時(shí) 由得圖（f）在、三點(diǎn)形成塑性鉸，此時(shí) 由得（3） 形成三個(gè)塑性鉸，產(chǎn)生整體破壞，只有一種可能性，如圖（g），此時(shí)由得比較上述六種情況，以（g）的情況為最小，而且此載荷滿足的塑性彎矩條件。故破壞載荷為解3：該梁的可能破壞結(jié)構(gòu)與第一題完全相同若塑性鉸在、處形成若塑性鉸在、處形成比較可知梁的極限載荷為解4：此梁為一次超靜定結(jié)構(gòu)，當(dāng)形成兩個(gè)塑性鉸時(shí)，梁即成為破壞機(jī)構(gòu)，其破壞形式有（b）（c）（d）三種可能。按圖（b）形式破壞時(shí) 由得按圖（c）形式破壞時(shí)，同上得按圖（d）形式破壞時(shí) 由得比較得11.6試求圖示剛架的極限載荷解（a）設(shè)如圖在四點(diǎn)形成塑性鉸，由得得且此值滿足，條件所以解2：如圖設(shè)在四點(diǎn)形成塑性鉸，由點(diǎn)到點(diǎn)的距離待定。由得化簡(jiǎn)得令得故 解3：如圖設(shè)在等處形成塑性鉸。外力功內(nèi)力功由得故11.7簡(jiǎn)支圓板半徑為，受半徑為軸對(duì)稱均布載荷作用，試求其極限載荷 解：圓板的平衡方程為當(dāng)，對(duì)應(yīng)于條件的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)于條件的B點(diǎn)，圓板從0到對(duì)應(yīng)圖上的線，即，故平衡方程可寫為在處，存在如下平衡關(guān)系：即平衡方程為積分上式得由處，所以因此有在處即故此時(shí)區(qū)域的平衡方程為積分上式得在處連續(xù)條件，可得如因此有當(dāng)時(shí)，如得此式即為所求的極限載荷。11.8對(duì)圖所示的連續(xù)梁，利用上限定理求極限載荷q.題圖11.6解 1）對(duì)破損機(jī)構(gòu)（a）可得由，得代入上式，得 （a）2）對(duì)破損機(jī)構(gòu)（b） 由，得，代入上式得， （b）當(dāng)（a）式和（b）式相等時(shí)，故有11.9圖示寬度b不變，高度h線性變化的矩形截面梁，簡(jiǎn)支座截面高為，固定端處截面高為。集中力據(jù)簡(jiǎn)支端距離為，對(duì)兩種情況用上限方法求塑性極限載荷P值。題圖11.7解 由于各截面的值不同，因此除集中力作用點(diǎn)能形成鉸外，另一鉸距點(diǎn)距離為，而不一定總在固定端，如圖所示。由外力功率，內(nèi)力功率，得令，得 （a）上式中是定值，調(diào)整使最小，由，得 （b）1） 當(dāng)時(shí)，即，代入（b）式，得。因?yàn)?，而現(xiàn)在，故最小值的只能取在固定端處，將代入（a）式，得2） 當(dāng)時(shí)，即，代入（b）式，得。因?yàn)?，這表明鉸不在固定端，將代入（a）式，得11.10 用上限和下限方法求圖示剛架的極限載荷P。解 1）上限法：圖示破損機(jī)構(gòu)（a），（b），（c），（d）都是分別由一個(gè)外載荷引起的。機(jī)構(gòu)（a），點(diǎn)8，10，11成鉸 （a）機(jī)構(gòu)（b），點(diǎn)4，5，6成鉸 （b）機(jī)構(gòu)（c），點(diǎn)1，4，6，9，11，12成鉸 （c）機(jī)構(gòu)（d），只上層剛架傾斜，點(diǎn)3，8，11，12成鉸 （d）對(duì)比之下，方案（c）對(duì)應(yīng)的值最小，為要進(jìn)一步減小值應(yīng)減小內(nèi)力功率，而增加外力功率所相應(yīng)的速度項(xiàng)。在圖示機(jī)構(gòu)（e）中，與機(jī)構(gòu)（c）時(shí)一樣，但較小，點(diǎn)1，6，9，10轉(zhuǎn)角為，而點(diǎn)4，10，12轉(zhuǎn)角為，由此得出 （e）這比機(jī)構(gòu)（c）有了進(jìn)一步改進(jìn)，是否最小的上限值還可用下限法作進(jìn)一步檢驗(yàn)。3） 下限法：從機(jī)構(gòu)（e）出發(fā)，規(guī)定桿內(nèi)表層受拉時(shí)彎矩為正，這時(shí)有，未知的彎矩是?？闪谐銎胶夥匠虂?lái)求出這些未知彎矩。由結(jié)點(diǎn)的平衡，得，得由機(jī)構(gòu)（b），得平衡方程 得由機(jī)構(gòu)（c）得平衡方程 得由機(jī)構(gòu)（a），得平衡方程 得最后由結(jié)點(diǎn)的平衡，得 得由