第四章-多自由度系統(tǒng)振動(a)PPT課件

多自由度系統(tǒng)振動1,第四章,建模方法1：,將車、人等全部作為一個質(zhì)量考慮，并考慮彈性和阻尼。,要求：對轎車的上下振動進(jìn)行動力學(xué)建模。,例子：轎車行駛在路面上會產(chǎn)生上下振動。,缺點(diǎn)：模型粗糙，沒有考慮人與車、車與車輪之間的相互影響。,優(yōu)點(diǎn)：模型簡單；,分析：人與車、車與車輪、車輪與地面之間的運(yùn)動存在耦合。,多自由度系統(tǒng)振動,建模方法2：,車、人的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼。,優(yōu)點(diǎn)：模型較為精確，考慮了人與車之間的耦合；,缺點(diǎn)：沒有考慮車與車輪之間的相互影響。,多自由度系統(tǒng)振動,建模方法3：,車、人、車輪的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼。,優(yōu)點(diǎn)：分別考慮了人與車、車與車輪之間的相互耦合，模型較為精確.,問題：如何描述各個質(zhì)量之間的相互耦合效應(yīng)？,多自由度系統(tǒng)振動,教學(xué)內(nèi)容,多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的自由振動頻率方程的零根和重根情形多自由度系統(tǒng)的受迫振動有阻尼的多自由度系統(tǒng),多自由度系統(tǒng)振動,作用力方程剛度矩陣和質(zhì)量矩陣位移方程和柔度矩陣質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì)耦合與坐標(biāo)變換,多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,作用力方程,幾個例子,例1：雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，兩質(zhì)量分別受到激振力,不計摩擦和其他形式的阻尼,試建立系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,解：,建立坐標(biāo)：,設(shè)某一瞬時：,上分別有位移,加速度,受力分析：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,建立方程：,矩陣形式：,力量綱,坐標(biāo)間的耦合項,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,例2：轉(zhuǎn)動運(yùn)動,兩圓盤,轉(zhuǎn)動慣量,軸的三個段的扭轉(zhuǎn)剛度,試建立系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程,外力矩,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,解：,建立坐標(biāo)：,角位移,設(shè)某一瞬時：,角加速度,受力分析：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,建立方程：,矩陣形式：,坐標(biāo)間的耦合項,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,多自由度系統(tǒng)的角振動與直線振動在數(shù)學(xué)描述上相同,如同在單自由度系統(tǒng)中所定義的，在多自由度系統(tǒng)中也將質(zhì)量、剛度、位移、加速度及力都理解為廣義的,k3,k1,k2,P1(t),P2(t),多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,小結(jié)：,可統(tǒng)一表示為：,例1：,例2：,作用力方程,位移向量,加速度向量,質(zhì)量矩陣,剛度矩陣,激勵力向量,若系統(tǒng)有n個自由度，則各項皆為n維矩陣或列向量,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,n個自由度系統(tǒng):,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,質(zhì)量矩陣第j列,剛度矩陣第j列,廣義坐標(biāo)列向量,剛度矩陣和質(zhì)量矩陣,當(dāng)M、K確定后，系統(tǒng)動力方程可完全確定,M、K該如何確定？,作用力方程：,先討論K,加速度為零,假設(shè)外力是以準(zhǔn)靜態(tài)方式施加于系統(tǒng),多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,準(zhǔn)靜態(tài)外力列向量,靜力平衡,作用力方程：,假設(shè)作用于系統(tǒng)的是這樣一組外力：它們使系統(tǒng)只在第j個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移，而在其他各個坐標(biāo)上不產(chǎn)生位移,即：,代入：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,所施加的這組外力數(shù)值上正是剛度矩陣K的第j列,（i=1n）：在第i個坐標(biāo)上施加的力,結(jié)論：剛度矩陣K中的元素kij是使系統(tǒng)僅在第j個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而相應(yīng)于第i個坐標(biāo)上所需施加的力,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,考慮：這樣的外力列陣是否唯一？,結(jié)論：剛度矩陣K中的元素kij是使系統(tǒng)僅在第j個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而相應(yīng)于第i個坐標(biāo)上所需施加的力,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,第j個坐標(biāo)產(chǎn)生單位位移,剛度矩陣第j列,系統(tǒng)剛度矩陣,j=1n,確定,作用力方程：,討論M,假設(shè)系統(tǒng)受到外力作用的瞬時，只產(chǎn)生加速度而不產(chǎn)生任何位移,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,假設(shè)作用于系統(tǒng)的是這樣一組外力：它們使系統(tǒng)只在第j個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度，而在其他各個坐標(biāo)上不產(chǎn)生加速度,這組外力正是質(zhì)量矩陣M的第j列,結(jié)論：質(zhì)量矩陣M中的元素是使系統(tǒng)僅在第j個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第i個坐標(biāo)上所需施加的力,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,考慮：這樣的外力列陣是否唯一？,第j個坐標(biāo)單位加速度,質(zhì)量矩陣第j列,系統(tǒng)質(zhì)量矩陣,j=1n,確定,質(zhì)量矩陣M中的元素mij是使系統(tǒng)僅在第j個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第i個坐標(biāo)上所需施加的力,mij、kij又分別稱為質(zhì)量影響系數(shù)和剛度影響系數(shù)。根據(jù)它們的物理意義可以直接寫出系統(tǒng)質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K，從而建立作用力方程，這種方法稱為影響系數(shù)方法,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,剛度矩陣K中的元素kij是使系統(tǒng)僅在第j個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而相應(yīng)于第i個坐標(biāo)上所需施加的力,例：寫出M、K及運(yùn)動微分方程,解：,先只考慮靜態(tài),令,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,使m1產(chǎn)生單位位移所需施加的力：,保持m2不動所需施加的力：,保持m3不動所需施加的力：,只使m1產(chǎn)生單位位移，m2和m3不動,在三個質(zhì)量上施加力,能夠使得,系統(tǒng)剛度矩陣的第一列,例：寫出M、K及運(yùn)動微分方程,解：,先只考慮靜態(tài),令,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,剛度矩陣：,使m1產(chǎn)生單位位移所需施加的力：,保持m2不動所需施加的力：,保持m3不動所需施加的力：,只使m1產(chǎn)生單位位移，m2和m3不動,例：寫出M、K及運(yùn)動微分方程,解：,先只考慮靜態(tài),多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,使m2產(chǎn)生單位位移所需施加的力：,保持m1不動所需施加的力：,保持m3不動所需施加的力：,只使m2產(chǎn)生單位位移，m1和m3不動,在三個質(zhì)量上施加力,能夠使得,系統(tǒng)剛度矩陣的第二列,令,例：寫出M、K及運(yùn)動微分方程,解：,先只考慮靜態(tài),多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,使m2產(chǎn)生單位位移所需施加的力：,保持m1不動所需施加的力：,保持m3不動所需施加的力：,只使m2產(chǎn)生單位位移，m1和m3不動,令,剛度矩陣：,例：寫出M、K及運(yùn)動微分方程,解：,先只考慮靜態(tài),多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,使m3產(chǎn)生單位位移所需施加的力：,保持m2不動所需施加的力：,保持m1不動所需施加的力：,只使m3產(chǎn)生單位位移，m1和m2不動,在三個質(zhì)量上施加力,能夠使得,系統(tǒng)剛度矩陣的第三列,令,例：寫出M、K及運(yùn)動微分方程,解：,先只考慮靜態(tài),多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,使m3產(chǎn)生單位位移所需施加的力：,保持m2不動所需施加的力：,保持m1不動所需施加的力：,只使m3產(chǎn)生單位位移，m1和m2不動,令,剛度矩陣：,例：寫出M、K及運(yùn)動微分方程,解：,先只考慮靜態(tài),令,令,令,剛度矩陣：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,只考慮動態(tài),令,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,只使m1產(chǎn)生單位加速度，m2和m3加速度為零,所需施加的力：,所需施加的力：,在三個質(zhì)量上施加力,能夠使得,系統(tǒng)質(zhì)量矩陣的第一列,m1產(chǎn)生單位加速度的瞬時，m2和m3尚沒有反應(yīng),只考慮動態(tài),令,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,只使m1產(chǎn)生單位加速度，m2和m3加速度為零,所需施加的力：,所需施加的力：,m1產(chǎn)生單位加速度的瞬時，m2和m3尚沒有反應(yīng),質(zhì)量矩陣：,同理,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,令,同理,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,令,令,令,有：,令,有：,令,有：,質(zhì)量矩陣：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,運(yùn)動微分方程：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,外力列陣,矩陣形式：,例：雙混合擺，兩剛體質(zhì)量,質(zhì)心,繞通過自身質(zhì)心的z軸的轉(zhuǎn)動慣量,兩剛體質(zhì)量,h1,C1,C2,h2,l,x,y,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,受力分析,h1,C1,C2,h2,l,x,y,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,解：,先求質(zhì)量影響系數(shù),令,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,下擺對A取矩：,整體對B取矩：,則需要在兩桿上施加力矩,問：為什么不考慮重力？,示意圖，實(shí)際鉛垂,解：,令,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,下擺對A取矩：,整體對B取矩：,則需要在兩桿上施加力矩,令,令,質(zhì)量矩陣：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,求剛度影響系數(shù),由于恢復(fù)力是重力，所以實(shí)際上是求重力影響系數(shù),令,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,則需要在兩桿上施加力矩,下擺對A取矩：,整體對B取矩：,令,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,則需要在兩桿上施加力矩,下擺對A取矩：,整體對B取矩：,令,令,剛度矩陣：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,運(yùn)動微分方程：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,例：,每桿質(zhì)量m,桿長度l,水平彈簧剛度k,彈簧距離固定端a,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,雙剛體桿,解：,令：,則需要在兩桿上施加力矩,分別對兩桿O1、O2求矩：,令：,則需要在兩桿上施加力矩,分別對兩桿O1、O2求矩：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,剛度矩陣：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,令：,則需要在兩桿上施加力矩,令：,則需要在兩桿上施加力矩,質(zhì)量矩陣：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,運(yùn)動學(xué)方程：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,例：兩自由度系統(tǒng),擺長l，無質(zhì)量，微擺動,求：運(yùn)動微分方程,x,m1,k1,k2,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,解：,先求解剛度矩陣,令：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,x方向力平衡,A點(diǎn)力矩平衡,剛度矩陣第一列：,需要施加的力和矩,A,x,靜態(tài)平衡,解：,令：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,x方向力平衡,A點(diǎn)力矩平衡,剛度矩陣第二列：,需要施加的力和矩,x,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,剛度矩陣第一列：,剛度矩陣第二列：,系統(tǒng)剛度矩陣：,求解質(zhì)量矩陣,令：,令：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,瞬時動態(tài),質(zhì)量矩陣：,剛度矩陣：,運(yùn)動微分方程：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,小結(jié)：,建立動力學(xué)方程的影響系數(shù)法,多自由度系統(tǒng)作用力方程：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,質(zhì)量矩陣M中的元素mij是使系統(tǒng)僅在第j個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第i個坐標(biāo)上所需施加的力,剛度矩陣K中的元素kij是使系統(tǒng)僅在第j個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而相應(yīng)于第i個坐標(biāo)上所需施加的力,剛度矩陣：,質(zhì)量矩陣：,靜態(tài),動態(tài),力的量綱,位移方程和柔度矩陣,對于靜定結(jié)構(gòu)，有時通過柔度矩陣建立位移方程比通過剛度矩陣建立作用力方程來得更方便些,柔度定義為彈性體在單位力作用下產(chǎn)生的變形,物理意義及量綱與剛度恰好相反,以一個例子說明位移方程的建立,無質(zhì)量彈性梁，有若干集中質(zhì)量,（質(zhì)量連續(xù)分布的彈性梁的簡化）,以準(zhǔn)靜態(tài)方式作用在梁上,梁只產(chǎn)生位移（即撓度），不產(chǎn)生加速度,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,m1位移：,m2位移：,m1位移：,m2位移：,m1位移：,m2位移：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,同時作用時：,矩陣形式：,柔度矩陣,物理意義：系統(tǒng)僅在第j個坐標(biāo)受到單位力作用時相應(yīng)于第i個坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移,柔度影響系數(shù),多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,當(dāng)是動載荷時,集中質(zhì)量上有慣性力存在,位移方程,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,也可按作用力方程建立方程：,若K非奇異,位移方程：,柔度矩陣與剛度矩陣的關(guān)系：,剛度矩陣,對于允許剛體運(yùn)動產(chǎn)生的系統(tǒng)（即具有剛體自由度的系統(tǒng)），柔度矩陣不存在,應(yīng)當(dāng)注意：,位移方程不適用于具有剛體自由度的系統(tǒng),原因：在任意一個坐標(biāo)上施加單位力，系統(tǒng)將產(chǎn)生剛體運(yùn)動而無法計算各個坐標(biāo)上的位移,剛度矩陣K奇異,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,例：求圖示兩自由度簡支梁橫向振動的位移方程,已知梁的抗彎剛度矩陣為,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,柔度影響系數(shù)：,柔度矩陣：,位移方程：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,例：教材P72例4.1-2，求柔度陣,（1）在坐標(biāo)x1上對質(zhì)量m1作用單位力,系統(tǒng)在坐標(biāo)x1、x2、x3上產(chǎn)生位移為:,解：,（2）在坐標(biāo)x2上對質(zhì)量m2作用單位力,（3）在坐標(biāo)x3上對質(zhì)量m3作用單位力,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,柔度矩陣：,可以驗(yàn)證，有：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,小結(jié)：,多自由度系統(tǒng)的位移方程：,柔度矩陣和剛度矩陣互為逆陣,位移的量綱,柔度矩陣：,柔度矩陣fij的含義為系統(tǒng)僅在第j個坐標(biāo)受到單位力作用時相應(yīng)于第i個坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移,位移方程不適用于建立存在剛體自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì),n階方陣A正定,是指對于任意的n維列向量y，總有成立,根據(jù)分析力學(xué)的結(jié)論，對于定常約束系統(tǒng)：,動能：,勢能：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,標(biāo)量,A0,質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì),n階方陣A正定,是指對于任意的n維列向量y，總有成立,動能：,除非,即：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,振動系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣總為正定矩陣,A0,質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì),n階方陣A正定,是指對于任意的n維列向量y，總有成立,勢能：,對于僅具有穩(wěn)定平衡位置的系統(tǒng)，勢能在平衡位置上取極小值,K正定,K0,對于具有隨遇平衡位置的系統(tǒng)，存在剛體位移,K半正定,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,振動系統(tǒng)的剛度矩陣至少為半正定,A0,振動問題中主要討論（1）M陣正定、K陣正定（2）M陣正定、K陣半正定的系統(tǒng),多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,半正定振動系統(tǒng),正定振動系統(tǒng),耦合與坐標(biāo)變換,矩陣中非零的非對角元元素稱為耦合項,質(zhì)量矩陣中出現(xiàn)耦合項稱為慣性耦合,剛度矩陣或柔度矩陣中出現(xiàn)耦合項稱為彈性耦合,以兩自由度系統(tǒng)為例,不存在慣性耦合,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,如果系統(tǒng)僅在第一個坐標(biāo)上產(chǎn)生加速度,不出現(xiàn)慣性耦合時，一個坐標(biāo)上產(chǎn)生的加速度只在該坐標(biāo)上引起慣性力,同理，不出現(xiàn)彈性耦合時，一個坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移只在該坐標(biāo)上引起彈性恢復(fù)力；而出現(xiàn)彈性耦合時，一個坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移還會在別的坐標(biāo)上引起彈性恢復(fù)力,耦合的表現(xiàn)形式取決于坐標(biāo)的選擇,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,耦合,非耦合,出現(xiàn)慣性耦合時，一個坐標(biāo)上產(chǎn)生的加速度還會在別的坐標(biāo)上引起慣性力,例：研究汽車上下振動和俯仰振動的力學(xué)模型,表示車體的剛性桿AB的質(zhì)量為m，桿繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動慣量為Ic,懸掛彈簧和前后輪胎的彈性用剛度為k1和k2的兩個彈簧來表示,寫出車體微振動的微分方程,選取D點(diǎn)的垂直位移和繞D點(diǎn)的角位移為坐標(biāo),多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,簡化形式,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,車體所受外力向D點(diǎn)簡化為合力PD和合力矩MD,微振動，桿質(zhì)心的垂直位移和桿繞質(zhì)心的角位移：,采用拉氏方法建立方程,動能：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,動能：,勢能：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,拉格朗日方程：,：廣義坐標(biāo),：拉格朗日函數(shù),：對應(yīng)于有勢力以外的其它非有勢力的廣義力,計算廣義力Q1和Q2,設(shè)在坐標(biāo)xD上有虛位移,非有勢力做功,因此,非有勢力做功,因此,設(shè)在坐標(biāo)上有虛位移,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,代入拉格朗日方程，得：,矩陣形式：,存在慣性耦合,存在彈性耦合,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,振動力學(xué)方法求解,首先求剛度矩陣,令：,對D點(diǎn)取矩：,力平衡：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,令：,對D點(diǎn)取矩：,力平衡：,剛度矩陣：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,求質(zhì)量矩陣,令：,質(zhì)心C所受的慣性力：,力平衡：,力矩平衡：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,令：,質(zhì)心C所受的慣性力矩：,力平衡：,對D點(diǎn)取矩：,質(zhì)心C所受的慣性力：,質(zhì)量矩陣：,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,質(zhì)量矩陣,剛度矩陣,運(yùn)動微分方程,和前面采用拉格朗日方程建立的系統(tǒng)運(yùn)動微分方程一致,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,如果D點(diǎn)選在這樣一個特殊位置，使得：,只存在慣性耦合，而不出現(xiàn)彈性耦合,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,如果D點(diǎn)選在質(zhì)心C：,只存在彈性耦合，而不出現(xiàn)慣性耦合,：作用在質(zhì)心上的外力合力和合力矩,多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程,問：能否找到這樣一種坐標(biāo)使得系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程既不出現(xiàn)慣性耦合，也不出現(xiàn)彈性耦合？,即：,若能夠，則有：,方程解耦，變成了兩個單自由