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文檔簡介

二次型習(xí)題,2.證明：秩等于r的對(duì)稱矩陣可以表成r個(gè)秩等于1的對(duì)稱矩陣之和.,證:由題設(shè),又因?yàn)?，存在可逆矩陣C使,于是,3.設(shè)A是一個(gè)n級(jí)矩陣，證明：A是反對(duì)稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任一個(gè)n維向量X，有XAX=0；2)如果A是對(duì)稱矩陣，且對(duì)任一個(gè)n維向量X有XAX=0，那么A=0.,證:1）必要性,充分性,取,取,從而,可知A反對(duì)稱.,2）,則由1）知,從而,反對(duì)稱，,4.如果把實(shí)n級(jí)對(duì)稱矩陣按合同分類，即兩個(gè)實(shí)n級(jí)對(duì)稱矩陣屬于同一類當(dāng)且僅當(dāng)它們合同，問共有幾類？,解:實(shí)對(duì)稱矩陣A與B合同充要條件是存在可逆矩陣T與C使,考慮對(duì)角矩陣D的相應(yīng)二次型的合同分類情況，共計(jì)r+1個(gè)合同類.但秩r又分別取n，n-1，2,1,0，,.,故共有,.,5.證明：一個(gè)實(shí)二次型可以分解成兩個(gè)實(shí)系數(shù)的一次齊次多項(xiàng)式的乘積的充分必要條件是，它的秩等于2且符號(hào)差等于0，或者秩等于1.,證:必要性,設(shè),1)若上式右邊的兩個(gè)一次式系數(shù)成比例，即,.,二次型化為,秩為1.,2)若上式右邊的兩個(gè)一次式系數(shù)不成比例，設(shè),.,二次型化為,.,二次型化為,秩為2，且符號(hào)差為0.,充分性,1）,秩為1，,則可經(jīng)線性替換X=CY，二次型化為,.,2）,秩為2，且符號(hào)差為0，,則可經(jīng)線性替換X=CY，二次型化為,可表成兩個(gè)一次齊次式的乘積.,總之，,.,6.設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣.證明：當(dāng)實(shí)數(shù)t充分大之后，tE+A是正定矩陣.,證:,它的k級(jí)順序主子式,.,當(dāng)t充分大時(shí)，,為嚴(yán)格主對(duì)角占優(yōu)的行列式，且,.,8.設(shè)A為一個(gè)n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣，且|A|0,證明：必存在實(shí)n維向量,證:,假設(shè)任意實(shí)n維向量X，有,所有主子式大于或等于0，,故|A|0這與|A|0矛盾，故假設(shè)不成立，原命題成立.,.,2.設(shè)實(shí)二次型,證明：,的秩等于矩陣,的秩.,證:,可知，,f的矩陣為,.,3.設(shè)A是n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣

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