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常用均值不等式及證明證明概念：1、調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)： 2、幾何平均數(shù)： 3、算術(shù)平均數(shù)： 4、平方平均數(shù)：這四種平均數(shù)滿足 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)均值不等式的一般形式：設(shè)函數(shù)函數(shù)(當(dāng) 時(shí));(當(dāng)時(shí)）（即則有：當(dāng)r=-1、1、0、2注意到HnGnAnQn僅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)D(0)D(1)D(2)由以上簡(jiǎn)化，有一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論，中學(xué)常用 均值不等式的變形：(1) 對(duì)實(shí)數(shù)a,b，有 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))， (2)對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有，即 (3)對(duì)負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有 (4)對(duì)實(shí)數(shù)a,b，有 (5)對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有 (6)對(duì)實(shí)數(shù)a,b，有 (7)對(duì)實(shí)數(shù)a,b,c，有 (8)對(duì)實(shí)數(shù)a,b,c，有 (9)對(duì)非負(fù)數(shù)a,b，有 (10)對(duì)實(shí)數(shù)a,b,c，有 均值不等式的證明：方法很多，數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法（第一或反向歸納）、拉格朗日乘數(shù)、拉格朗日乘數(shù)法法、琴生不等式、琴生不等式法、排序不等式排序不等式法、柯西不等式柯西不等式法等等用數(shù)學(xué)歸納法證明，需要一個(gè)輔助結(jié)論。引理：設(shè)A0，B0，則注：引理的正確性較明顯，條件A0，B0可以弱化為A0，A+B0,有興趣的同學(xué)可以想想如何證明(用數(shù)學(xué)歸納法)。原題等價(jià)于：。 當(dāng)n=2時(shí)易證；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即 。那么當(dāng)n=k+1時(shí)，不妨設(shè)是中最大者，則設(shè) 用引理。用歸納假設(shè)下面介紹個(gè)好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意n個(gè)點(diǎn)，則有

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