13年安徽省高考文科數(shù)學(xué)試卷及詳解

2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（安徽卷文科）一選擇題：（1）設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的值為（）（A）-3（B）-1（C）1（D）3（2）已知，則（）（A）（B） （C） （D）（3）如圖所示，程序據(jù)圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果為（A）（B） （C） （D） （4）“”是“”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（5） 若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戌中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲或乙被錄用的概率為（A） (B) (C) （D）（6）直線被圓截得的弦長為（A）1（B）2 （C）4 （D）（7）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則= （A） （B）（C） （D）2 (8) 函數(shù)的圖像如圖所示，在區(qū)間上可找到個(gè)不同的數(shù)，使得，則的取值范圍為 (A) (B) (C) (D) (9) 設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長分別為，若,則角=(A) (B) (C) (D) （10） 已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則關(guān)于的方程的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為 （A）3 (B) 4 (C) 5 (D) 62 填空題（11） 函數(shù)的定義域?yàn)開.（12）若非負(fù)數(shù)變量滿足約束條件，則的最大值為_.（13）若非零向量滿足，則夾角的余弦值為_.（14）定義在上的函數(shù)滿足.若當(dāng)時(shí)。， 則當(dāng)時(shí)，=_.（15） 如圖，正方體的棱長為1，為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面記為，則下列命題正確的是 （寫出所有正確命題的編號(hào)）。當(dāng)時(shí)，為四邊形當(dāng)時(shí)，為等腰梯形當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)滿足當(dāng)時(shí)，為六邊形當(dāng)時(shí)，的面積為3 解答題（16）（本小題滿分12分） 設(shè)函數(shù). （）求的最小值，并求使取得最小值的的集合； （）不畫圖，說明函數(shù)的圖像可由的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到.（17）（本小題滿分12分） 為調(diào)查甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生某次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績情況，用簡單隨機(jī)抽樣，從這兩校中各抽取30名高三年級(jí)學(xué)生，以他們的數(shù)學(xué)成績（百分制）作為樣本，樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如下： 甲 乙 7 4 5 5 3 3 2 5 3 3 8 5 5 4 3 3 3 1 0 0 6 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5 8 6 6 2 2 1 1 0 0 7 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9 7 5 4 4 2 8 1 1 5 5 8 2 0 9 0（）若甲校高三年級(jí)每位學(xué)生被抽取的概率為0.05，求甲校高三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)，并估計(jì)甲校高三年級(jí)這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的及格率（60分及60分以上為及格）；（）設(shè)甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)平均成績分別為，估計(jì)的值.（18）（本小題滿分12分）如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，.已知 .（）證明：（）若為的中點(diǎn)，求三菱錐的體積.（19）（本小題滿分13分） 設(shè)數(shù)列滿足，,且對(duì)任意，函數(shù) 滿足 ()求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（20） （本小題滿分13分） 設(shè)函數(shù)，其中，區(qū)間.（）求的長度（注：區(qū)間的長度定義為；（）給定常數(shù)，當(dāng)時(shí)，求長度的最小值.（21）（本小題滿分13分）已知橢圓的焦距為4，且過點(diǎn).（）求橢圓C的方程；（）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為。取點(diǎn),連接，過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)。點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，作直線，問這樣作出的直線是否與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)？并說明理由.詳解答案一選擇題：本大題共10小題。每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1）設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的值為（）（A）-3（B）-1（C）1（D）3【答案】D【解析】，所以a=3，故選擇D【考點(diǎn)定位】考查純虛數(shù)的概念，及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于簡單題.（2）已知，則（）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】A：，所以答案選A【考點(diǎn)定位】考查集合的交集和補(bǔ)集，屬于簡單題.（3）如圖所示，程序據(jù)圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果為（A） （B） （C） （D） 【答案】C【解析】； ； ，輸出所以答案選擇C【考點(diǎn)定位】本題考查算法框圖的識(shí)別，邏輯思維，屬于中等難題.（4）“”是“”的 （A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，所以答案選擇B【考點(diǎn)定位】考查充分條件和必要條件，屬于簡單題.（6） 若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戌中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲或乙被 錄用的概率為 （A） (B) (C) （D）【答案】D【解析】總的可能性有10種，甲被錄用乙沒被錄用的可能性3種，乙被錄用甲沒被錄用的可能性3種，甲乙都被錄用的可能性3種，所以最后的概率【考點(diǎn)定位】考查古典概型的概念，以及對(duì)一些常見問題的分析，簡單題.（6）直線被圓截得的弦長為 （A）1 （B）2 （C）4 （D）【答案】C【解析】圓心，圓心到直線的距離，半徑，所以最后弦長為.【考點(diǎn)定位】考查解析幾何初步知識(shí)，直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離，簡單題.（7）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則= （A） （B） （C） （D）2【答案】A【解析】 【考點(diǎn)定位】考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)公式的應(yīng)用，以及數(shù)列基本量的求解.(8) 函數(shù)的圖像如圖所示，在區(qū)間上可找到個(gè)不同的數(shù)，使得，則的取值范圍為 (A) (B) (C) (D) 【答案】B【解析】表示到原點(diǎn)的斜率； 表示與原點(diǎn)連線的斜率，而在曲線圖像上，故只需考慮經(jīng)過原點(diǎn)的直線與曲線的交點(diǎn)有幾個(gè)，很明顯有3個(gè)，故選B.【考點(diǎn)定位】考查數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，對(duì)函數(shù)的圖像認(rèn)識(shí).(9) 設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長分別為，若,則角=(A) (B) (C) (D) 【答案】B【解析】由正弦定理，所以； 因?yàn)?，所以，所以，答案選擇B【考點(diǎn)定位】考查正弦定理和余弦定理，屬于中等難度.（11） 已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則關(guān)于的方程 的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為 （A）3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【答案】A【解析】，是方程的兩根，由，則又兩個(gè)使得等式成立，其函數(shù)圖象如下：如圖則有3個(gè)交點(diǎn)，故選A.【考點(diǎn)定位】考查函數(shù)零點(diǎn)的概念，以及對(duì)嵌套型函數(shù)的理解.4 填空題（11） 函數(shù)的定義域?yàn)開.【答案】【解析】，求交集之后得的取值范圍【考點(diǎn)定位】考查函數(shù)定義域的求解，對(duì)數(shù)真數(shù)位置大于0，分母不為0，偶次根式底下大于等于0.（12）若非負(fù)數(shù)變量滿足約束條件，則的最大值為_.【答案】4【解析】由題意約束條件的圖像如下：當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，取得最大值.【考點(diǎn)定位】考查線性規(guī)劃求最值的問題，要熟練掌握約束條件的圖像畫法，以及判斷何時(shí)取最大.（13）若非零向量滿足，則夾角的余弦值為_.【答案】【解析】等式平方得：則，即得【考點(diǎn)定位】考查向量模長，向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量最基本的化簡.（14）定義在上的函數(shù)滿足.若當(dāng)時(shí)。， 則當(dāng)時(shí)，=_.【答案】【解析】當(dāng)，則，故又，所以【考點(diǎn)定位】考查抽象函數(shù)解析式的求解.（16） 如圖，正方體的棱長為1，為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面記為，則下列命題正確的是 （寫出所有正確命題的編號(hào)）。當(dāng)時(shí)，為四邊形當(dāng)時(shí)，為等腰梯形當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)滿足當(dāng)時(shí)，為六邊形當(dāng)時(shí)，的面積為【答案】【解析】（1），S等腰梯形，正確，圖如下：（2），S是菱形，面積為，正確，圖如下：（3），畫圖如下：，正確（4），如圖是五邊形，不正確；（5），如下圖，是四邊形，故正確【考點(diǎn)定位】考查立體幾何中關(guān)于切割的問題，以及如何確定平面。5 解答題（16）（本小題滿分12分） 設(shè)函數(shù). （）求的最小值，并求使取得最小值的的集合； （）不畫圖，說明函數(shù)的圖像可由的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到.【解析】（1） 當(dāng)時(shí)，此時(shí)所以，的最小值為，此時(shí)x 的集合.(2) 橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得?然后向左平移個(gè)單位，得【考點(diǎn)定位】本題主要考查三角恒等變形、三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)與三角函數(shù)圖像的變換.考查邏輯推理和運(yùn)算求解能力，中等難度.（17）（本小題滿分12分） 為調(diào)查甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生某次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績情況，用簡單隨機(jī)抽樣，從這兩校中各抽取30名高三年級(jí)學(xué)生，以他們的數(shù)學(xué)成績（百分制）作為樣本，樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如下： 甲 乙 7 4 5 5 3 3 2 5 3 3 8 5 5 4 3 3 3 1 0 0 6 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5 8 6 6 2 2 1 1 0 0 7 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9 7 5 4 4 2 8 1 1 5 5 8 2 0 9 0（）若甲校高三年級(jí)每位學(xué)生被抽取的概率為0.05，求甲校高三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)，并估計(jì)甲校高三年級(jí)這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的及格率（60分及60分以上為及格）；（）設(shè)甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)平均成績分別為，估計(jì)的值.【解析】（1） （2） = =【考點(diǎn)定位】考查隨機(jī)抽樣與莖葉圖等統(tǒng)計(jì)學(xué)基本知識(shí)，考查用樣本估計(jì)總體的思想性以及數(shù)據(jù)分析處理能力.（18）（本小題滿分12分）如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，.已知 .（）證明：（）若為的中點(diǎn)，求三菱錐的體積.【解析】（1）證明：連接交于點(diǎn) 又是菱形 而 面 (2) 由（1）面 = 【考點(diǎn)定位】考查空間直線與直線，直線與平面的位置，.三棱錐體積等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，考查空間觀念，推理論證能力和運(yùn)算能力.（19）（本小題滿分13分） 設(shè)數(shù)列滿足，,且對(duì)任意，函數(shù) 滿足 ()求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】由 所以， 是等差數(shù)列.而 （2） 【考點(diǎn)定位】考查函數(shù)的求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列基本量的求解.并考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力.（21） （本小題滿分13分） 設(shè)函數(shù)，其中，區(qū)間.（）求的長度（注：區(qū)間的長度定義為；（）給定常數(shù)，當(dāng)時(shí)，求長度的最小值.【解析】（1）令 解得 的長度（2） 則 由 （1），則故關(guān)于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 【考點(diǎn)定位】考查二次不等式的求解，以及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用，并考查分類討論思想和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.（21）（本小題滿分13分）已知橢圓的焦距為4，且過點(diǎn).（）求橢圓C的方