無窮級數(shù)求和問題的幾種方法

目 錄摘要 21無窮級數(shù)求和問題的幾種方法 21.1利用級數(shù)和的定義求和 21.2利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求和 31.3利用逐項求積和逐項求導定理求和 41.4逐項求極限 51.5利用級數(shù)求和 71.6構(gòu)建微分方程 91.7拆項法 91.8將一般項寫成某數(shù)列相鄰項之差 102總結(jié) 123參考文獻 12 無窮級數(shù)求和問題的幾種方法摘要：無窮級數(shù)是數(shù)學分析中的一個重要內(nèi)容，同時無窮級數(shù)求和問題，也是學生學習級數(shù)過程中較難掌握的部分.然而，無窮級數(shù)求和沒有一個固定的方法可循.本文結(jié)合具體例子，根據(jù)無窮級數(shù)的不同特點，介紹幾種常用的求無窮級數(shù)的和的方法和技巧.關(guān)鍵詞：數(shù)項級數(shù)；冪級數(shù)；級數(shù)求和無窮級數(shù)是數(shù)學分析中的一個重要內(nèi)容，它是以極限理論為基礎，用以表示函數(shù)，研究函數(shù)的性質(zhì)以及進行數(shù)值計算的一種重要工具.然而數(shù)學分析中注重函數(shù)的斂散問題，卻對無窮級數(shù)求和問題的方法介紹的比較少，所以求和問題是學生學習級數(shù)過程中較難掌握的部分.無窮級數(shù)求和沒有一個固定的方法可循.本文結(jié)合具體例子，根據(jù)不同的無窮級數(shù)的不同特點，介紹幾種常用的求無窮級數(shù)的和的方法和技巧.1利用級數(shù)和的定義求和定義 若級數(shù)的部分和數(shù)列收斂于有限值S，即,則稱級數(shù)收斂，記為，此時S稱為級數(shù)的和數(shù)；若部分和數(shù)數(shù)列發(fā)散，則稱級數(shù)發(fā)散. 例1 求級數(shù)，的和 . 解： (1) (2)（1）-（2）得：即級數(shù)和 .2利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求和利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式可以解決某些級數(shù)的求和問題.下面是幾個重要的冪級數(shù)展開式：例等等.例2 求的和.解 : =注意到得.3利用逐項求積和逐項求導定理求和定理 設冪級數(shù)的收斂半徑為,其和函數(shù)為，則在內(nèi)冪級數(shù)可以逐項積分和逐項微分.即：對內(nèi)任意一點，有：并且逐項積分和逐項求導后的級數(shù)（顯然是冪級數(shù)），其收斂半徑仍為.例3 計算無窮級數(shù)之和.解：對于級數(shù).兩邊從0積分到得,，兩邊從0積分到得,上式右邊是原級數(shù).故級數(shù)和,.例4 求冪級數(shù)的和函數(shù).解：令，冪函數(shù)的收斂半徑故原函數(shù)的收斂半徑，從而收斂區(qū)間為，而知級數(shù)，記，且于是，對上式，從0到作積分得,=因此.4逐項求極限如果函數(shù)在端點處無定義，那么可用求極限的方法討論在端點處的和函數(shù).例5 求冪級數(shù)的和函數(shù).解：（1）容易驗證該冪級數(shù)的收斂域為.（2）再求冪級數(shù)在其收斂區(qū)間上的和函數(shù)，下面用逐項求導的方法求解.設，則有再設，又有于是對上式兩邊進行積分，得并有.再進行積分，又得（3）最后討論冪級數(shù)在其收斂域上的和函數(shù).因為函數(shù)在處左連續(xù)，而冪級數(shù)在處收斂，所以等式在處也成立.但因在處無定義，故要改用逐項求極限來確定該冪級數(shù)在處的值，即由得到所以原冪級數(shù)的和函數(shù)為.5利用級數(shù)求和求某些數(shù)值級數(shù)的和可選擇某個特殊的函數(shù)在或上展成傅里葉級數(shù)，然后再去適當?shù)闹祷蛑痦椃e分即可.例6 求的和.解：可以看作是余弦函數(shù)在時的值，因此可以考慮適當選取一個偶函數(shù)，滿足對于上式左端利用分部積分，得到=注意到有取，則同時，這樣在上的級數(shù)為令，得例7 證明: .證明:將函數(shù)展成傅里葉級數(shù)，是由柏塞瓦爾等式（函數(shù)連續(xù)）,有即.6構(gòu)建微分方程如果某些級數(shù)的一般項的分母類似于階乘的級數(shù)時，可以利用經(jīng)過逐項積分或逐項積分后得到的級數(shù)之和函數(shù)與原級數(shù)的和函數(shù)構(gòu)成微分方程，然后解微分方程來求其和.例8 求級數(shù)之和.解：設冪級數(shù)則于是所得一階微分方程：,其通解為由得因此得從而.7拆項法無窮級數(shù)求和時，有時根據(jù)一般項的特點，將一般項進行拆分來簡化運算過程.例9 求冪級數(shù)的和函數(shù).解:先求冪級數(shù)的收斂域.因為，且級數(shù)與都發(fā)散，所以冪級數(shù)的收斂域為.由于因此,因為冪級數(shù)的收斂域為，所以所求和函數(shù)為,.8將一般項寫成某數(shù)列相鄰項之差用這一方法求無窮級數(shù)的和，首先需要解決：已知，如何求？當，其中形成公差為的等差數(shù)列時，（為待定因子）.于常數(shù)項級數(shù)，如果能將一般項寫某數(shù)列的相鄰兩項之差:且極限存在，則，所以.例10 求級數(shù)之和.解：一般項=令則，.例11 求的和.解: 則 .總之，窮級數(shù)求和沒有一個固定的方法可循，其實無窮級數(shù)求和方法很多，我們要善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié).這里只介紹了一些常用的方法和技巧，希望對大家計算求和問題有一定的幫助.參考文獻 ：陳傳璋.數(shù)學分析.北京：高等教育出版社.1983.裘兆泰.王承國.數(shù)學分析學習指導.北京：科學出版社.2004.李素峰.關(guān)于無窮級數(shù)求和問題的探討.邢臺學院學報,2008,23(4):100-101.吳良森.毛羽輝.數(shù)學分析學習指導書.北京：高等教育出版.2004.劉玉璉.楊奎元.數(shù)學分析講義學習輔導書.北京：高等教育出版社.1987.Several Methods of Problem of Infinite Series SummationLiuYanhong Mathematical sciences college,mathematics and applied mathematicsAdvisor Liu GuantingAbstract: The infinite series is an important part of mathematical analysis, and infinite series summation problem is a difficult part to master for students. However, infinite series summation has not a fixed method to follow. Combined with a concrete example, according to the different characteristics of the infinite series, we introduce s