數(shù)學(xué)證明題解題技巧與步驟

數(shù)學(xué)證明題解題技巧與步驟北師大版初中數(shù)學(xué)教材中證明占三章節(jié)，教材這樣安排的目地是想：通過(guò)對(duì)證明的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)圖形的性質(zhì)及相互關(guān)系進(jìn)行大量的探索，在探索的同時(shí)，使學(xué)生經(jīng)歷推理的過(guò)程，進(jìn)行了簡(jiǎn)單的推理訓(xùn)練，從而具備了一定的推理能力，樹(shù)立了初步的推理意識(shí)，為嚴(yán)格的推理證明打下了基礎(chǔ)。但生活很豐滿(mǎn)，現(xiàn)實(shí)很骨干，許多學(xué)生在實(shí)際解決證明題的過(guò)程中，卻因?yàn)榉N種原因而感到無(wú)從下手！那如何求解證明題呢？如何讓學(xué)生不再畏懼證明題呢？通過(guò)對(duì)教材中證明的教學(xué)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，本人認(rèn)為可以從以下六個(gè)方面來(lái)解決：例題證明：等腰三角形兩底角的平分線(xiàn)相等1. 弄清題意此為“文字型”數(shù)學(xué)證明題，既沒(méi)有圖形，也無(wú)直觀的已知與求證。如何弄清題意呢？根據(jù)命題的定義可知，命題由條件與結(jié)論兩部分組成，因此區(qū)分命題的條件與結(jié)論至關(guān)重要，是解題成敗的關(guān)鍵。命題可以改寫(xiě)成“如果.，那么.”的形式，其中“如果.”就是命題的條件，“那么.”就是命題的結(jié)論，據(jù)此對(duì)題目進(jìn)行改寫(xiě)：如果在等腰三角形中分別作兩底角的平分線(xiàn)，那么這兩條平分線(xiàn)長(zhǎng)度相等。于是題目的意思就很清晰了，就是在等腰三角形中作兩底角平分線(xiàn)，然后根據(jù)已知的條件去求證這兩條平分線(xiàn)相等。這樣題目要求我們做什么就一目了然了！2. 根據(jù)題意，畫(huà)出圖形。圖形對(duì)解決證明題，能起到直觀形象的提示，所以畫(huà)圖因盡量與題意相符合。并且把題中已知的條件，能標(biāo)在圖形上的盡量標(biāo)在圖形上。 3. 根據(jù)題意與圖形，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言與符號(hào)寫(xiě)出已知和求證。眾所周知，命題的條件-已知，命題的結(jié)論-求證，但要特別注意的是，已知、求證必須用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和符號(hào)來(lái)表示。已知：如圖（1），在ABC中，AB=AC, BD、CE分別是ABC的角平分線(xiàn)。求證：BD=CE4. 分析已知、求證與圖形，探索證明的思路。對(duì)于證明題，有三種思考方式： （1）正向思維。對(duì)于一般簡(jiǎn)單的題目，我們正向思考，輕而易舉可以做出，這里就不詳細(xì)講述了。（2）逆向思維。顧名思義，就是從相反的方向思考問(wèn)題。運(yùn)用逆向思維解題，能使學(xué)生從不同角度，不同方向思考問(wèn)題，探索解題方法，從而拓寬學(xué)生的解題思路。這種方法是推薦學(xué)生一定要掌握的。在初中數(shù)學(xué)中，逆向思維是非常重要的思維方式，在證明題中體現(xiàn)的更加明顯，數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科知識(shí)點(diǎn)很少，關(guān)鍵是怎樣運(yùn)用，對(duì)于初中幾何證明題，最好用的方法就是用逆向思維法。如果你已經(jīng)上初三了，幾何學(xué)的不好，做題沒(méi)有思路，那你一定要注意了：從現(xiàn)在開(kāi)始，總結(jié)做題方法。同學(xué)們認(rèn)真讀完一道題的題干后，不知道從何入手，建議你從結(jié)論出發(fā)。例如：可以有這樣的思考過(guò)程：要證明某兩條邊相等，那么結(jié)合圖形可以看出，只要證出某兩個(gè)三角形相等即可；要證三角形全等，結(jié)合所給的條件，看還缺少什么條件需要證明，證明這個(gè)條件又需要怎樣做輔助線(xiàn)，這樣思考下去這樣我們就找到了解題的思路，然后把過(guò)程正著寫(xiě)出來(lái)就可以了。這是非常好用的方法，同學(xué)們一定要試一試。（3）正逆結(jié)合。對(duì)于從結(jié)論很難分析出思路的題目，同學(xué)們可以結(jié)合結(jié)論和已知條件認(rèn)真的分析，初中數(shù)學(xué)中，一般所給的已知條件都是解題過(guò)程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路，比如給我們?nèi)切文尺呏悬c(diǎn)，我們就要想到是否要連出中位線(xiàn)，或者是否要用到中點(diǎn)倍長(zhǎng)法。給我們梯形，我們就要想到是否要做高，或平移腰，或平移對(duì)角線(xiàn)，或補(bǔ)形等等。正逆結(jié)合，戰(zhàn)無(wú)不勝。分析：此題要想證明 BD=CE ,就要引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形（圖形（1），弄清題意。發(fā)現(xiàn)BD、CE分別存在于兩對(duì)三角形中：ABD與ACE，BEC與CDB,只要能證明其中任何一對(duì)三角形全等，即可利用全等三角形性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)邊相等。（此思維屬于逆向思維）5. 根據(jù)證明的思路，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言與符號(hào)寫(xiě)出證明的過(guò)程證明過(guò)程的書(shū)寫(xiě)，其實(shí)就是把證明的思路從腦袋中搬到紙張上。這個(gè)過(guò)程，對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)與數(shù)學(xué)語(yǔ)言的應(yīng)用要求較高，在講解時(shí)，要提醒學(xué)生任何的“因?yàn)椤⑺浴?，在?shū)寫(xiě)是都要符合公理、定理、推論或以已知條件相吻合，不能無(wú)中生有、胡說(shuō)八道，要有根有據(jù)！證明：AB=AC(已知)ABC=ACB(等邊對(duì)等角)BD、CE分別是ABC的角平分線(xiàn)(已知)1=ABC, 2=ACB（角平分線(xiàn)的定義）1=2(等量代換)在BEC與CDB中，ACB=ABC, BC=CB, 1=2BECCDB(ASA)BD=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)6. 檢查證明的過(guò)程，看看是否合理、正確任何正確的步驟，都有相應(yīng)的合理性和與之相應(yīng)證的公理、定理、推論，證明過(guò)程書(shū)寫(xiě)完畢后，對(duì)證明過(guò)程的每一步進(jìn)行檢查，是非常重要的，是防止證明過(guò)程出現(xiàn)遺漏的關(guān)鍵。最后，同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)練習(xí)中要敢于嘗試，多分析，多總結(jié)。 初中幾何證明題不但是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。而且是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，很多同學(xué)對(duì)幾何證明題。不知從何著手，一部分學(xué)生雖然知道答案，但敘述不清楚，說(shuō)不出理由，對(duì)邏輯推理的證明過(guò)程幾乎不會(huì)寫(xiě)，這樣，導(dǎo)致大部分的學(xué)生失去了幾何學(xué)習(xí)的信心，雖然新的課程理念要求，推理的過(guò)程不能過(guò)繁。一切從簡(jiǎn)，但證明的過(guò)程要求做到事實(shí)準(zhǔn)確、道理嚴(yán)密，證明過(guò)程方能完整，教學(xué)中怎樣才能把幾何證明題的求解過(guò)程敘述清楚呢?根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，我在教學(xué)中是這樣做的，希望與大家一起探討。(1)“讀”讀題如何指導(dǎo)學(xué)生讀題？仁者見(jiàn)仁、智者見(jiàn)智，我們課題組結(jié)合我們的研究和本校學(xué)生的實(shí)際，將讀題分為三步：第一步，粗讀（類(lèi)似語(yǔ)文閱讀的瀏覽）?？焖俚貙㈩}目從頭到尾瀏覽一遍，大致了解題目的意思和要求；第二步，細(xì)讀。在大致了解題目的意思和要求的情況下，再認(rèn)真地有針對(duì)性地讀題，弄清題目的題設(shè)和結(jié)論，搞清已知是什么、需要證明的是什么？并盡可能地將已知條件在圖形中用符號(hào)簡(jiǎn)明扼要地表示出來(lái)（如哪兩個(gè)角相等，哪兩條線(xiàn)段相等，垂直關(guān)系，等等），若題中給出的條件不明顯的（即有隱含條件的），還要指導(dǎo)學(xué)生如何去挖掘它們、發(fā)現(xiàn)它們；第三步，記憶復(fù)述。在前面粗讀和細(xì)讀的基礎(chǔ)上，先將已知條件和要證明的結(jié)論在心里默記一遍，再結(jié)合圖形中自己所標(biāo)的符號(hào)將原題的意思復(fù)述出來(lái)。到此讀題這一環(huán)節(jié)，才算完成。對(duì)于讀題這一環(huán)節(jié)，我們之所以要求這么復(fù)雜，是因?yàn)樵趯?shí)際證題的過(guò)程中，學(xué)生找不到證明的思路或方法，很多時(shí)候就是由于漏掉了題中某些已知條件或?qū)㈩}中某些已知條件記錯(cuò)或想當(dāng)然地添上一些已知條件，而將已知記在心里并能復(fù)述出來(lái)就可以很好地避免這些情況的發(fā)生。()“析”分析指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法中的“分析法”，執(zhí)果索因，一步一步探究證明的思路和方法。教師用啟發(fā)性的語(yǔ)言或提問(wèn)指導(dǎo)學(xué)生，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下經(jīng)過(guò)一系列的質(zhì)疑、判斷、比較、選擇，以及相應(yīng)的分析、綜合、概括等認(rèn)識(shí)活動(dòng)，思考、探究，小組內(nèi)討論、交流、發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的思路和方法。()“述”口述學(xué)生學(xué)習(xí)小組推選小組代表，由小組代表分析自己那一組探究到的證明的思路和方法，口述證明過(guò)程及每一步的依據(jù)。我們知道學(xué)習(xí)語(yǔ)文、外語(yǔ)及其他語(yǔ)言都是從“說(shuō)”開(kāi)始學(xué)起的，那么學(xué)習(xí)幾何語(yǔ)言，也可以嘗試先“說(shuō)”后寫(xiě)。特別是初一初二的學(xué)生，讓他們先在小組內(nèi)自主探索、討論交流，弄清證題思路，然后再讓學(xué)生代表口述證題過(guò)程，這對(duì)于訓(xùn)練學(xué)生應(yīng)用和提高幾何語(yǔ)言的表達(dá)能力很有好處。()“擇”選擇最簡(jiǎn)易的方法在各位學(xué)生代表口述完解題過(guò)程后，教師引導(dǎo)學(xué)生比較、選擇最簡(jiǎn)單的一種證題方法，這樣做，不僅能幫助學(xué)生進(jìn)一步理清證明思路、記憶相關(guān)的幾何定理、性質(zhì)，而且還增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和好奇心，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。()“演”板演在學(xué)生集體復(fù)述解題的基礎(chǔ)上，教師板演上述解題過(guò)程，給學(xué)生作證題的書(shū)寫(xiě)示范，讓學(xué)生體會(huì)怎樣合理、規(guī)范、科學(xué)地書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程。()“練”變式練習(xí)變式，既是一種重要的思想方法，又是一種行之有效的教學(xué)方法。通過(guò)變式訓(xùn)練，在課堂上展現(xiàn)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展、形成的完整認(rèn)知過(guò)程。在教學(xué)實(shí)踐中，筆者深深體會(huì)到：變式教學(xué)符合學(xué)生是認(rèn)知規(guī)律，能有層次地推進(jìn)，為學(xué)生提供一個(gè)求異、思變的空間，讓學(xué)生把學(xué)到的概念、公式、定理、法則靈活應(yīng)用道各種情景中去，培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的思維品質(zhì)，提高學(xué)生研究、