熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理第六章

.,第六章,近獨(dú)立粒子的最概然分布,.,2,統(tǒng)計(jì)物理基本觀點(diǎn)：宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)；宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值。,.,任一粒子的狀態(tài)發(fā)生變化,則整個(gè)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)發(fā)生變化,單粒子的狀態(tài)描述：用r個(gè)廣義坐標(biāo)和r個(gè)廣義動(dòng)量，N個(gè)粒子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)需要來(lái)確定。用共2r個(gè)變量為直角坐標(biāo)，構(gòu)成一個(gè)2r維空間，稱為相（u）空間。,q1、q2、qr；p1、p2、pr,系統(tǒng)由N個(gè)粒子組成，每個(gè)粒子的微觀態(tài)可用相空間的一個(gè)代表點(diǎn)表示，系統(tǒng)的微觀態(tài)可用相空間同一時(shí)刻的N個(gè)代表點(diǎn)描述,q1、q2、qr；p1、p2、pr,6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的微觀描述,.,4,微觀粒子具有波粒二相性，德布羅意指出：能量為，動(dòng)量為p的物體聯(lián)系著圓頻率為，波矢為k的平面波，并有,6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述,粒子狀態(tài)是分立(不連續(xù)）的。粒子所處的狀態(tài)叫量子態(tài)(單粒子態(tài))。量子態(tài)用一組量子數(shù)表征（如自由粒子nx,ny,nz）.不同量子態(tài)的量子數(shù)取值不同。量子描述單粒子的狀態(tài)是確定單粒子的量子態(tài)，對(duì)于N個(gè)粒子的系統(tǒng)，就是確定各個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)。,.,5,6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述,全同粒子系統(tǒng)就是由具有完全相同屬性（相同的質(zhì)量、自旋、電荷等）的同類粒子所組成的系統(tǒng)。如自由電子氣體。近獨(dú)立粒子系統(tǒng)：粒子之間的相互作用很弱，相互作用的平均能量遠(yuǎn)小于單個(gè)粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之間的相互作用。將整個(gè)系統(tǒng)的能量表達(dá)為單個(gè)粒子的能量之和。(如理想氣體：近獨(dú)立的粒子組成的系統(tǒng)),一基本概念,系統(tǒng)的微觀態(tài)：整個(gè)系統(tǒng)的力學(xué)狀態(tài),.,6,1、微觀系統(tǒng)的經(jīng)典描述,系統(tǒng)由N個(gè)粒子組成，每個(gè)粒子的微觀態(tài)可用相空間的一個(gè)代表點(diǎn)表示，系統(tǒng)的微觀態(tài)可用相空間同一時(shí)刻的N個(gè)代表點(diǎn)描述，即(i=1，2.N),共2Nr個(gè)變量為確定。,qi1、qi2、qir；pi1、pi2、pir,一個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用相空間一個(gè)點(diǎn)，一個(gè)系統(tǒng)用相空間N個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。（特定的條件下可用）在該描述下全同粒子可分辨,.,7,定域粒子：全同而又可辨的粒子。例如晶體中的原子或離子定域在其平衡位置附近作微振動(dòng)、這些粒子就量子本性而然是不可分辨的（全同性），但可以根據(jù)粒子的位置對(duì)其加以區(qū)分（可分辨）。所以晶體中的原子或離子可看成是定域粒子。,2、微觀系統(tǒng)的量子描述,不可分辨的全同粒子系統(tǒng)(非定域系）,.,8,玻耳茲曼系統(tǒng)粒子可以分辨,每個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制.,確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求確定每個(gè)粒子所處的個(gè)體量子態(tài)。確定了每個(gè)粒子所處的量子態(tài)就確定了系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài),(如定域系)。,例：設(shè)系統(tǒng)由A、B兩個(gè)粒子組成（定域子）。粒子的個(gè)體量子態(tài)有3個(gè),討論系統(tǒng)有那些可能的微觀狀態(tài)？,因此，對(duì)于定域系統(tǒng)可有9種不同的微觀狀態(tài)，即32。一般地為.,A,B,1,2,3,.,9,不可分辨的全同粒子系統(tǒng)(非定域系）,確定由全同近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)歸結(jié)為確定每一個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)?；颍捍_定了每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)就確定了系統(tǒng)的微觀狀態(tài),（1）玻色系統(tǒng)：即自旋量子數(shù)為整數(shù)的粒子組成的系統(tǒng).,如光子自旋為1、介子自旋為0。由玻色子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子，由偶數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的復(fù)合粒子也是玻色子,粒子不可分辨，每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)不限（即不受泡利原理限制）,.,10,上例變?yōu)?A=B),兩個(gè)玻色子占據(jù)3個(gè)量子態(tài)有6種方式,.,（2）費(fèi)米系統(tǒng)：即自旋量子數(shù)為半整數(shù)的粒子組成的系統(tǒng),粒子不可分辨，每個(gè)個(gè)體量子態(tài)上最多能容納一個(gè)粒子（費(fèi)米子遵從泡利原理）。,兩個(gè)費(fèi)米子占據(jù)3個(gè)量子態(tài)有3種占據(jù)方式,系統(tǒng)由兩個(gè)粒子組成（定域子）。粒子的個(gè)體量子態(tài)有3個(gè),討論系統(tǒng)有那些可能的微觀狀態(tài),.,12,對(duì)于不同統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的系統(tǒng)，即使它們有相同的粒子數(shù)、相同的量子態(tài)，系統(tǒng)包含的微觀狀態(tài)數(shù)也是不同的。上例僅為兩個(gè)粒子組成的系統(tǒng)、三個(gè)量子態(tài)。對(duì)于大量微觀粒子組成的實(shí)際系統(tǒng)，其微觀狀態(tài)數(shù)目是大量的。,.,13,宏觀態(tài)：系統(tǒng)的熱力學(xué)狀態(tài)用少數(shù)幾個(gè)宏觀參量即可確定系統(tǒng)的宏觀態(tài)。微觀態(tài)：系統(tǒng)的力學(xué)狀態(tài)。確定方法：可分辨的全同粒子系統(tǒng)(玻耳茲曼系統(tǒng))；不可分辨的全同粒子系統(tǒng)(玻色、費(fèi)米系),宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)；宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值。,6.4等概率原理,.,14,微觀粒子的狀態(tài)雜亂無(wú)章，一個(gè)系統(tǒng)的力學(xué)狀態(tài)也是雜亂無(wú)章的，有很多個(gè)可能的狀態(tài)，那么，每個(gè)狀態(tài)出現(xiàn)的概率為多少呢，與什么因素有關(guān),確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率就能用統(tǒng)計(jì)的方法求出微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值，從而求出相應(yīng)宏觀物理量，因此確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的基本問(wèn)題。,.,1、等概率原理：對(duì)于處理平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)系統(tǒng)，各個(gè)可能狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的等概率原理是統(tǒng)計(jì)物理的一個(gè)基本假設(shè)，是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的基礎(chǔ)。,.,16,全同近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)，具有確定的粒子數(shù)N，能量E和體積V，系統(tǒng)的N個(gè)粒子分布于各個(gè)能級(jí)，設(shè)第i能級(jí)上的粒子數(shù)為ai，則組成系統(tǒng)的粒子處于各能級(jí)的情況可描述為：,以符號(hào)表示，稱為一個(gè)分布。,分布滿足條件：,6.5分布和微觀狀態(tài),.,17,簡(jiǎn)并度,粒子數(shù),N粒子系統(tǒng)的能級(jí),即：能級(jí)1上有a1個(gè)粒子，能級(jí)2上有a2個(gè)粒子，。,分布只表示每一個(gè)能級(jí)上有多少個(gè)粒子。當(dāng)能級(jí)是簡(jiǎn)并態(tài)時(shí)，一種分布包含很多種微觀狀態(tài)。每一種不同的量子態(tài)的占據(jù)方式都是不同的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。,.,18,(1)al個(gè)離子占據(jù)能級(jí)l上的l個(gè)量子態(tài)時(shí)，第一個(gè)粒子可以占據(jù)個(gè)量子態(tài)中的任何一個(gè)態(tài)，有l(wèi)種可能的占據(jù)方式。由于每個(gè)量子態(tài)能夠容納的粒子數(shù)不受限制，在第一個(gè)粒子占據(jù)了某一個(gè)量子態(tài)以后，第二個(gè)粒子仍然有l(wèi)種的占據(jù)方式，這樣al個(gè)編了號(hào)的粒子占據(jù)l個(gè)量子態(tài)共有種可能的占據(jù)方式，,1、玻耳茲曼系統(tǒng)(定域系統(tǒng))的分布規(guī)律：,.,(2)各個(gè)能級(jí)都考慮在內(nèi)，系統(tǒng)總的占據(jù)方式數(shù):,(3)現(xiàn)在考慮將N個(gè)粒子互相交換，不管是否在同一能級(jí)上，交換數(shù)是N!，在這個(gè)交換中應(yīng)該除去在同一能級(jí)上al個(gè)粒子的交換al!因此得因子,.,20,例：系統(tǒng)有6個(gè)可分辨粒子，共兩個(gè)能級(jí)，1=3，2=4給定分布：a1=4,a2=2,(4)系統(tǒng)分布al包含的總微觀狀態(tài)數(shù)為,能級(jí)之間粒子交換的方式數(shù)目為,.,2、玻色系統(tǒng)分布al包含的微觀狀態(tài)數(shù),粒子不可分辨，交換任意一對(duì)粒子不改變系統(tǒng)的微觀態(tài)。每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制。,這樣就確定了每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)，即確定了一種占據(jù)方式（一個(gè)微觀態(tài)）。,.,22,粒子和量子態(tài)之間的交換會(huì)產(chǎn)生新的占據(jù)方式：,量子態(tài)和量子態(tài)之間的交換不產(chǎn)生新的占據(jù)方式：,顯然，粒子和粒子之間的交換不會(huì)產(chǎn)生新的占據(jù)方式。,其中粒子與粒子的交換、量子態(tài)與量子態(tài)的交換不產(chǎn)生新的微觀態(tài)。只有量子態(tài)與粒子交換導(dǎo)致不同微觀態(tài)。,量子態(tài)、粒子各種交換(排列)總數(shù),.,23,量子態(tài)交換數(shù),粒子交換數(shù),各種交換共有種可能的方式。,（2）將各種能級(jí)的結(jié)果相乘，就得到玻色系統(tǒng)與分布al相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：,.,24,3、費(fèi)米系統(tǒng)分布al包含的微觀狀態(tài)數(shù)：,將各能級(jí)的結(jié)果相乘，得到費(fèi)米系統(tǒng)與分布al相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：,粒子不可分辨，每一個(gè)個(gè)體量子態(tài)最多只能容納一個(gè)粒子。,相當(dāng)于從個(gè)量子態(tài)中選個(gè)被粒子占據(jù)。,.,6.6玻耳茲曼分布,玻爾茲曼系統(tǒng),玻色系統(tǒng),費(fèi)米系統(tǒng),微觀狀態(tài)數(shù)是分布al的函數(shù)，不同的分布存在不同個(gè)微觀狀態(tài)數(shù)，可能存在這樣一個(gè)分布，它使系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)最多。,.,26,根據(jù)等概率原理，對(duì)于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的，那么微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的概率最大，稱為最可幾分布（最概然分布）。,.,為什么提出最概然分布？,出現(xiàn)概率最大分布隨機(jī)現(xiàn)象多次呈現(xiàn)的結(jié)果,當(dāng)最概然分布的幾率大于非概然幾率很多時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出基本相同的狀態(tài)可以用其表征平衡態(tài)分布,.,28,一、玻爾茲曼分布的推導(dǎo)（M.B.系統(tǒng)）,1、寫(xiě)出分布及對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù),玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布玻耳茲曼分布。,.,29,2取對(duì)數(shù)，用斯特林公式化簡(jiǎn),斯特林近似公式,要求,要求,30,.,3拉格朗日未定乘子法（拉氏乘子法）求極值,對(duì)上式做一次微分，對(duì)于極值，一次微分為零,.,31,由于系統(tǒng)確定，則還要滿足約束條件：,對(duì)上兩式子做一次微分得到：,上兩式子乘以未定乘子得到：,.,32,即,稱為麥克斯韋玻耳茲曼分布（玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布）。,任意，所以,.,33,玻色分布和費(fèi)米分布,包含微觀狀態(tài)數(shù)目最大的分布出現(xiàn)的概率最大，是系統(tǒng)的最概然分布。,.,34,此式給出了玻色系統(tǒng)粒子的最概然分布，稱為玻色分布。,二、費(fèi)米分布費(fèi)米分布的推導(dǎo)作為練習(xí)，請(qǐng)同學(xué)們課后自己推導(dǎo).,.,費(fèi)米分布,.,36,三種分布的關(guān)系,這時(shí)玻色分布和費(fèi)米分布都過(guò)渡到玻耳茲曼分布。,由知,與,是一致的，都稱為非簡(jiǎn)并性條件，或經(jīng)典極限條件。,滿足經(jīng)典極限條件時(shí)，玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)都過(guò)渡到玻耳茲曼分布。,通常條件下的理想氣體（非定域系）即屬于這種情況。,.,37,玻耳茲曼系統(tǒng)遵從玻耳茲曼分布。（如順磁固體等定域系統(tǒng)）。,總之：,玻色系統(tǒng)遵守玻色分布；費(fèi)米系統(tǒng)遵守費(fèi)米分布。,滿足經(jīng)典極限條件時(shí)，玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)都滿足玻耳茲曼分布。,定域系統(tǒng)和滿足經(jīng)典極限條件的玻色(費(fèi)米)系統(tǒng)雖然遵從同樣的分布，但它們的微觀狀態(tài)數(shù)是不同的。,.,38,假如系統(tǒng)可以應(yīng)用M-B分布,而且粒子的能級(jí)非常密集,則粒子的能量可看作是連續(xù)的，問(wèn)題可用經(jīng)典方法處理，這時(shí)的M-B分布稱為經(jīng)典分布。,.,39,拉氏乘子、由約束條件決定：,.,40,令,稱之為粒子配分函數(shù),.,41,復(fù)習(xí)題二,1、簡(jiǎn)述統(tǒng)計(jì)物理的基本觀點(diǎn)、基本假設(shè),2、簡(jiǎn)述全同近獨(dú)立粒子系統(tǒng),3、簡(jiǎn)述玻爾茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)的