理論力學(xué)第三章剛體力學(xué)

.,理論力學(xué),電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院付傳技Email:fcj,.,第三章剛體力學(xué),剛體也是一個(gè)理想模型，它可以看作是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)組，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)組中任何兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的距離不變，這使得問題大為簡化，使我們能更詳細(xì)地研究它的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，得到的結(jié)果對(duì)實(shí)際問題很有用。我們先研究剛體運(yùn)動(dòng)的描述，在建立動(dòng)力學(xué)方程后，著重研究平面平行運(yùn)動(dòng)和定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。,.,3.2角速度矢量,3.1剛體運(yùn)動(dòng)的分析,第三章剛體力學(xué),3.3歐勒角,3.4剛體運(yùn)動(dòng)方程與平衡方程,3.5轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,3.6剛體的平動(dòng)與繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng),3.7剛體的平面平行運(yùn)動(dòng),3.8剛體繞固定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),3.9重剛體繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的解,3.10拉莫爾進(jìn)動(dòng),.,3.1剛體運(yùn)動(dòng)的分析,1.描寫剛體位置的獨(dú)立變量,質(zhì)點(diǎn)3個(gè)變量,質(zhì)點(diǎn)組3n個(gè)變量,.,確定剛體在空間的位置，需要幾個(gè)變量？,6個(gè)變量可以確定剛體位置,2.剛體運(yùn)動(dòng)的分類,平動(dòng)的獨(dú)立變量為三個(gè),1）平動(dòng),定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的獨(dú)立變量只有一個(gè),2）定軸轉(zhuǎn)動(dòng),世界最大的摩天輪“倫敦眼”,平面平行運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立變量有三個(gè),3）平面平行運(yùn)動(dòng),定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的獨(dú)立變量有三個(gè)，其中兩個(gè)確定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的方向，一個(gè)確定其它點(diǎn)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。,4）定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),.,Euler定理,定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的任何位移都可以通過繞過該定點(diǎn)某軸的一次轉(zhuǎn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)。,.,5）一般運(yùn)動(dòng)(Chasles定理),剛體的最一般位移可以視為其上任意一點(diǎn)的平移加上繞該點(diǎn)的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)，即剛體的一般運(yùn)動(dòng)基點(diǎn)的平動(dòng)繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體一般運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立變量有六個(gè),有限轉(zhuǎn)動(dòng)不是矢量，它不滿足矢量加法對(duì)易律,3.2角速度矢量,1.有限轉(zhuǎn)動(dòng)與無限小轉(zhuǎn)動(dòng),.,無限小轉(zhuǎn)動(dòng)是矢量，它滿足矢量加法交換律,證明,.,2）轉(zhuǎn)動(dòng)后：,1）轉(zhuǎn)動(dòng)前：,3）再轉(zhuǎn)動(dòng)后：,不計(jì)二階微量，則有,交換轉(zhuǎn)動(dòng)次序，則有,已知對(duì)線位移，有,即,可得,2.角速度矢量,.,角速度的絕對(duì)性（即角速度與基點(diǎn)的選取無關(guān)）,.,正交變換對(duì)于作定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的剛體，如何描述其轉(zhuǎn)軸的取向？一種可行的方法是，以定點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立兩個(gè)坐標(biāo)系：一個(gè)固定在地球上，稱為空間坐標(biāo)系或靜止坐標(biāo)系，另一個(gè)固定在剛體上，稱為本體坐標(biāo)系，也叫隨體坐標(biāo)系或體軸坐標(biāo)系。后者可以看作擴(kuò)展的剛體。本體坐標(biāo)系相對(duì)于空間坐標(biāo)系的取向就代表了剛體在空間中的取向。,3.3歐勒角,.,.,.,.,轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣的性質(zhì)：,.,.,.,.,.,.,.,張量,.,.,.,求證C為一張量,.,.,討論階數(shù)N取幾種特定值的張量,.,.,.,.,.,用9個(gè)方向余弦描述剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)引入了冗余的參數(shù)，實(shí)際上只需要用3個(gè)獨(dú)立的參數(shù)就可以確定它在任何一個(gè)時(shí)刻的位形。在文獻(xiàn)中可以找到多種對(duì)這組參量的描述，但最有用的是歐勒角?，F(xiàn)在，我們來引入這些角度，并用它們來表示變換矩陣。,1.歐勒角,節(jié)線ON,進(jìn)動(dòng)角,自轉(zhuǎn)角,章動(dòng)角,Z軸位置由，角決定,.,.,.,將3個(gè)矩陣按照從右到左的順序相乘，便得到從空間系到本體系的變換矩陣,.,.,2.歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,.,.,1.力系的簡化,3.4剛體運(yùn)動(dòng)方程與平衡方程,力的作用線不能隨意移動(dòng),力的可傳性原理,.,共點(diǎn)力系的簡化平行四邊形法則,共面非平行力系的簡化力的可傳性原理+平行四邊形法則,平行力系的簡化合力的量值和方向由代數(shù)和確定合力的作用線用力矩關(guān)系確定（合力對(duì)垂直于諸力的某軸的力矩與諸分力對(duì)同一軸線力矩的代數(shù)和相等）,.,力偶矩,.,空間力系的簡化,空間力系可簡化為對(duì)某一簡化中心的主矢和主矩,2.剛體運(yùn)動(dòng)微分方程,質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程,對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理,思路將作用在剛體上的力簡化為過質(zhì)心的力及對(duì)質(zhì)心的力矩。,6個(gè)方程正好確定剛體的6個(gè)獨(dú)立變量,動(dòng)能定理可作為輔助方程,.,3.剛體平衡方程,對(duì)共面力系，有,.,例p171，如圖，求A處的摩擦系數(shù)。,解是共面力系的平衡問題,解出,1.剛體的動(dòng)量矩,3.5轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,剛體對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩,.,令,有,.,2.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,3.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,.,令,回轉(zhuǎn)半徑,平行軸定理,4.慣量張量和慣量橢球,對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,注意剛體繞不同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同,至轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸的垂直距離,是否有簡單的計(jì)算公式？,.,因?yàn)?由,可得,上式也可用慣量張量表出,.,一般說來，慣量張量矩陣的每個(gè)元素都是時(shí)間的函數(shù)，且與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)，但在本體坐標(biāo)系中這些矩陣元不隨時(shí)間變化。,慣量橢球方程,在轉(zhuǎn)動(dòng)軸上取線段,Q點(diǎn)的坐標(biāo),利用,得到,.,在各種本體坐標(biāo)系中，有一類特別重要，就是主軸坐標(biāo)系。慣量張量矩陣在主軸坐標(biāo)系中簡單地取對(duì)角形式。,5.慣量主軸及其求法,.,.,這種使慣量張量矩陣取對(duì)角形式的坐標(biāo)系稱為主軸坐標(biāo)系，它的3個(gè)互相垂直的坐標(biāo)軸稱為慣量主軸。對(duì)角元稱為主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由初始坐標(biāo)系到主軸坐標(biāo)系的正交變換稱為主軸變換。,一般坐標(biāo)系下的慣量橢球,若取橢球三主軸為坐標(biāo)軸，交叉項(xiàng)消失，得到主軸坐標(biāo)系下的慣量橢球,動(dòng)能和角動(dòng)量簡化為,一般坐標(biāo)系下的慣量橢球,主軸坐標(biāo)系下的慣量橢球,.,慣量主軸的求法,從數(shù)學(xué)方面看，就是解析幾何里求二次曲面主軸的方法，或者線性代數(shù)里求本征值的方法。,在力學(xué)里，對(duì)于具有對(duì)稱性的均勻剛體，可利用對(duì)稱性方便地求出。,x軸對(duì)稱(x為主軸),xy面對(duì)稱(z為主軸),.,例均勻長方形薄片繞對(duì)角線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。p182,解（A）直接用定積分,.,解（B）用(3.5.15)計(jì)算,.,解（C）取慣量主軸為坐標(biāo)軸,.,3.6剛體的平動(dòng)與繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng),1.剛體平動(dòng),2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng),定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)只有一個(gè)變量，用角位移就可以確定剛體位置。,.,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程,機(jī)械能守恒,.,例復(fù)擺,解運(yùn)動(dòng)微分方程,由轉(zhuǎn)動(dòng)方程,周期,.,討論等值單擺長,若以O(shè)為懸點(diǎn),振動(dòng)周期,3.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸上的附加力,剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，可看作是AB兩點(diǎn)不動(dòng)的約束運(yùn)動(dòng)，去掉約束代之以約束反力，就可以動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理求運(yùn)動(dòng)和約束反力。,.,為平衡方程，可求靜約束反力。,為運(yùn)動(dòng)方程，可求動(dòng)約束反力。,要使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上沒有附加壓力，要有,該方程組有解的條件是xc,yc,Iyz和Izx同時(shí)為零，即重心在轉(zhuǎn)動(dòng)軸（慣量主軸）上。,.,例2渦輪可以看作是一個(gè)均質(zhì)圓盤由于安裝不善，渦輪轉(zhuǎn)動(dòng)軸與盤面法線成交角1o巳知渦輪圓盤質(zhì)量為20千克，半徑r=0.2米，重心O在轉(zhuǎn)軸上，O至兩軸承A與B的距離各為a=b0.5米設(shè)軸以12000轉(zhuǎn)分的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試求軸承上某一時(shí)刻的最大壓力。,.,.,代入數(shù)據(jù)得附加壓力,靜壓力為,靜約束反力,動(dòng)約束反力,平面平行運(yùn)動(dòng)剛體中的任一點(diǎn)始終在平行于某固定平面的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。,3.7剛體的平面平行運(yùn)動(dòng),1.平面平行運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué),平面平行運(yùn)動(dòng)=基點(diǎn)平動(dòng)+繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng),加速度表達(dá)式,P點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的絕對(duì)加速度,A點(diǎn)相對(duì)O點(diǎn)加速度,P點(diǎn)的相對(duì)A點(diǎn)加速度,在固定參考系的表示,剛體角速度不為零時(shí)，在任一時(shí)刻恒有一點(diǎn)的速度為零，稱為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。,2.轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心,對(duì)實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系,對(duì)固著剛體坐標(biāo)系,利用轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心C與剛體上任一點(diǎn)連線與其速度方向垂直，可以用幾何法求瞬心,轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心的求法,轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心C在固定平面xy上的軌跡稱為空間極跡，而在薄片上（動(dòng)平面）的軌跡稱為本體極跡。剛體的運(yùn)動(dòng)是本體極跡在空間極跡上的無滑滾動(dòng)。例如車輪在軌道上的滾動(dòng)。,.,例1試用轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心法求橢圓規(guī)尺M(jìn)點(diǎn)的速度、加速度，并求本體極跡和空間極跡的方程式。,轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心,空間極跡,本體極跡,解,.,3.平面平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué),平面平行一般分解為繞過質(zhì)心C點(diǎn)的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和質(zhì)心C的平動(dòng)。,若外力只有保守力作功，剛體的機(jī)械能守恒,質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能,繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,繞過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方程,.,例2無滑下滾圓柱體的加速度和約束反力。,解（A）機(jī)械能守恒定律,動(dòng)能,勢能,機(jī)械能,求微商，得,實(shí)心圓柱體,空心圓柱體,不能求約束反力,質(zhì)心C點(diǎn)的平動(dòng)方程：,繞質(zhì)心C點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)方程：,聯(lián)立方程可求得：,解（B）運(yùn)動(dòng)定理,剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的例子,3.8剛體繞固定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),陀螺,常平架,.,1.剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué),定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的獨(dú)立變量有三個(gè)，其中兩個(gè)確定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的方向，一個(gè)確定其它點(diǎn)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。,定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)軸的方向隨時(shí)間變化，轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸在空間描繪的錐面稱空間極面，在剛體內(nèi)描繪的錐面稱本體極面。,定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，一個(gè)角速度矢量（有三個(gè)分量）就足以描述剛體運(yùn)動(dòng)。,轉(zhuǎn)動(dòng)加速度,向軸加速度,速度,加速度,解：這個(gè)是一般運(yùn)動(dòng)問題,例B當(dāng)飛