排列組合基本概念

排列組合基本概念兩個基本原理1.加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法那么完成這件事共有Nm1十m2十十mn種不同的方法2.乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法那么完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法 例1 書架上層放有6本不同的數(shù)學書，下層放有5本不同的語文書 1）從中任取一本，有多少種不同的取法？ 2）從中任取數(shù)學書與語文書各一本，有多少的取法？解：（1）從書架上任取一本書，有兩類辦法：第一類辦法是從上層取數(shù)學書，可以從6本書中任取一本，有6種方法；第二類辦法是從下層取語文書，可以從5本書中任取一本，有5種方法根據(jù)加法原理，得到不同的取法的種數(shù)是6十5=11答：從書架任取一本書，有11種不同的取法（2）從書架上任取數(shù)學書與語文書各一本，可以分成兩個步驟完成：第一步取一本數(shù)學書，有6種方法；第二步取一本語文書，有5種方法根據(jù)乘法原理，得到不同的取法的種數(shù)是 N6X530答：從書架上取數(shù)學書與語文書各一本，有30種不同的方法例2(1)由數(shù)字l，2，3，4，5可以組成多少個數(shù)字允許重復三位數(shù)？(2)由數(shù)字l，2，3，4，5可以組成多少個數(shù)字不允許重復三位數(shù)？(3)由數(shù)字0，l，2，3，4，5可以組成多少個數(shù)字不允許重復三位數(shù)？ 解：要組成一個三位數(shù)可以分成三個步驟完成：第一步確定百位上的數(shù)字，從5個數(shù)字中任選一個數(shù)字，共有5種選法；第二步確定十位上的數(shù)字，由于數(shù)字允許重復，這仍有5種選法，第三步確定個位上的數(shù)字，同理，它也有5種選法根據(jù)乘法原理，得到可以組成的三位數(shù)的個數(shù)是N=5X5X5=125 答：可以組成125個三位數(shù) 排列什么叫排列？從n個不同元素中，任取m()個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列 【排列數(shù)】1. 定義：從n個不同元素中，任取m()個元素的所有排列的個數(shù)叫做從n個元素中取出m元素的排列數(shù)，用符號表示.2. 排列數(shù)公式：=n(n-1)(n-2)(n-m+1)3全排列、階乘的意義；n！=n(n-1)(n-2)1= ，規(guī)定 0!=1 （其中mn m,nZ）例1： 7位同學站成一排，共有多少種不同的排法？ 解：問題可以看作：7個元素的全排列5040 7位同學站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？ 解：根據(jù)分步計數(shù)原理：76543217！5040 7位同學站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？ 解：問題可以看作：余下的6個元素的全排列=720 7位同學站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？ 解：根據(jù)分步計數(shù)原理：第一步 甲、乙站在兩端有種；第二步 余下的5名同學進行全排列有種 則共有=240種排列方法 7位同學站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？ 解法一（直接法）：第一步 從（除去甲、乙）其余的5位同學中選2位同學站在排頭和排尾有種方法；第二步 從余下的5位同學中選5位進行排列（全排列）有種方法 所以一共有2400種排列方法解法二：（排除法）若甲站在排頭有種方法；若乙站在排尾有種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有種方法所以甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有=2400種組合1組合的概念：一般地，從n個不同元素中取出m（mn）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合 注：1不同元素 2“只取不排”無序性 3相同組合：元素相同 判斷下列問題哪個是排列問題哪個是組合問題： 從A、B、C、D四個景點選出2個進行游覽；（組合） 從甲、乙、丙、丁四個學生中選出2個人擔任班長和團支部書記（排列）2組合數(shù)的概念：從n個不同元素中取出m（mn）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)用符號表示 例如：示例2中從3個同學選出2名同學的組合可以為：甲乙，甲丙，乙丙即有種組合 又如：從A、B、C、D四個景點選出2個進行游覽的組合：AB，AC，AD，BC，BD，CD一共6種組合，即：一般地，求從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，可以分如下兩步： 先求從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)； 求每一個組合中m個元素全排列數(shù)，根據(jù)分布計數(shù)原理得： 組合數(shù)的公式：例1 6本不同的書分給甲、乙、丙3同學，每人各得2本，有多少種不同的分法？ 略解：例24名男生和6名女生組成至少有1個男生參加的三人實踐活動小組，問組成方法共有多少種？ 解法一：（直接法）小組構成有三種情形：3男，2男1女，1男2女，分別有，所以一共有+100種方法 解法二：（間接法）