河北省衡水市武邑中學2020學年高一數(shù)學下學期期中試題（含解析）

河北武邑中學2020學年高一下學期期中考試數(shù)學試題一.選擇題，在每小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求，將正確答案填涂在答題卡上.1.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用分式不等式的解法化簡集合，再由補集的定義可得結果.【詳解】因為，所以 ，故選B.【點睛】本題主要考查分式不等式的解法以及集合補集的定義，屬于基礎題.2.已知向量，若，則的值為（ ）A. 3B. C. D. -3【答案】A【解析】【分析】先求，再根據(jù)向量數(shù)量積得方程，解得的值.【詳解】因為，所以由得，選A.【點睛】求平面向量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式；二是坐標公式；三是利用數(shù)量積的幾何意義.3.要得到函數(shù)圖象，只需將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標（ ）A. 伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度B. 伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖像向左平移個單位長度4C. 縮短到原來的倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移個單位長度D. 縮短到原來的倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度【答案】A【解析】分析：根據(jù)三角函數(shù)的圖象關系進行判斷即可詳解：將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到 再將得到的圖象向左平移個單位長度得到 故選A點睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換，結合和的關系是解決本題的關鍵4.若函數(shù).則函數(shù)的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分別求出與時函數(shù)值的取值范圍，再求并集即可.【詳解】因為時，；時，所以函數(shù)值域是，故選A.【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的值域以及指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，意在考查綜合運用所學知識解答問題的能力，屬于中檔題.5.已知向量，滿足，且，則在方向上的投影為（ ）A. -1B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)得到，可得,再根據(jù)向量投影的定義即可得結果.【詳解】因為平面向量是非零向量,即,因為，所以,所以，向量在向量方向上的投影為，故選A.【點睛】平面向量數(shù)量積公式主要應用以下幾個方面:(1)求向量的夾角， （此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量 的模（平方后需求）.6.已知，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得的值，然后利用，展開后計算得出正確選項.【詳解】由于， 所以.故 ，故選B.【點睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系式，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.7.已知、是銳角的三個內(nèi)角，向量，則與的夾角是（ ）A. 直角B. 鈍角C. 銳角D. 不確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)銳角三角形的性質(zhì)可知，可得，從而可得結果.【詳解】因為是銳角的三個內(nèi)角，所以，即，所以，又因為向量，.故的夾角為銳角.故選C.【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標表示以及銳角三角形的性質(zhì)、誘導公式以及正弦函數(shù)的單調(diào)性的應用，屬于中檔題. 平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是.8.如圖圖為中國古代劉徽的九章算術注中研究“勾股容方”問題的圖形，圖中為直角三角形，四邊形為它的內(nèi)接正方形，已知，在上任取一點，則此點取自正方形的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】設，由可得，解得，利用幾何概型概率公式可得結果.【詳解】設，因為，所以，即，解得，設在任取一點，則此點取自正方形的事件為，由幾何概型概率公式可得，.故選A.【點睛】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題. 解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關的幾何概型問題關鍵是計算問題的總面積以及事件的面積.9.如圖是函數(shù)（）的部分圖象，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由,求得，從而求出函數(shù)的解析式，再由求得，進而可得結果.【詳解】由函數(shù)圖象得,所以，所以，又因為，所以或，又因為函數(shù)周期為，故，解得，則.故選D【點睛】本題主要考查的是三角函數(shù)的圖象與解析式，同時考查了正弦函數(shù)的周期公式，意在考查對基礎知識掌握的熟練程度，屬于中檔題.10.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得而且，利用零點存在定理可得結果.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增且連續(xù)，而，即，所以，函數(shù)的零點所在的區(qū)間是，故選C.【點睛】本題主要考查零點存在定理的應用，屬于中檔題.應用零點存在定理解題時，要注意兩點：（1）函數(shù)是否為單調(diào)函數(shù)；（2）函數(shù)是否連續(xù).11.已知中，于，則（ ）A. 6B. C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】求得結合，利用，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算法則化簡即可得結果.【詳解】因，所以，因為 ，且,所以，可得，故選A.【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算以及平面向量數(shù)量積的運算法則，屬于中檔題. 向量數(shù)量積的運算主要掌握兩點：一是數(shù)量積的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.12.若是方程的解，是方程的解，則等于（ ）A. B. 1C. D. -1【答案】B【解析】【分析】方程的根就是對應函數(shù)圖象的交點，利用函數(shù)與互為反函數(shù)，推出函數(shù)圖象交點的橫坐標與縱坐標的關系，即可求解本題【詳解】因為是方程的解，是方程的解；所以是方程的解，是方程的解，是圖象交點的橫坐標；是圖象交點的橫坐標，因為與互為反函數(shù)，所以與的圖象關于對稱，又因為的圖象也關于對稱，所以關于對稱，可得，故選B.【點睛】本題主要考查反函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象的應用，考查轉化思想，屬于難題轉化是數(shù)學解題的靈魂，合理的轉化不僅僅使問題得到了解決，還可以使解決問題的難度大大降低，本解法將方程的根的問題轉化成曲線交點問題是解題的關鍵.二.填空題：將答案填在答題卡上相應位置.13.不共線向量，滿足，且，則與的夾角為_.【答案】【解析】由垂直可知=0,即,又因為 ,所以.填（或）.14.定義在上的函數(shù)滿足，若，且，則_.【答案】4【解析】【分析】先化簡的表達式，然后計算的表達式，結合的奇偶性可求得的值.【詳解】依題意，故為奇函數(shù).故，所以 .【點睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)值的求法，屬于基礎題.15.若圓與圓相切，則的值為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩圓相切得圓心之間距離等于半徑之和或之差的絕對值，解得的值.【詳解】因為，所以,因為兩圓相切，所以或，解得或.【點睛】本題考查兩圓位置關系，考查基本分析求解能力.屬基本題.16.在平面內(nèi)，點是定點，動點，滿足，則集合所表示的區(qū)域的面積是_.【答案】【解析】【分析】以為原點建立平面直角坐標系，根據(jù)設出兩點的坐標，利用向量運算求得點的坐標，化簡后可求得點的軌跡也即表示的區(qū)域，由此計算出區(qū)域的面積.【詳解】以為原點建立平面直角坐標系，由于，即,故設，即，設，由得，即，則，故表示的是原點在圓心，半徑為的圓，由于，故點所表示的區(qū)域是圓心在原點，半徑為的兩個圓之間的扇環(huán)，故面積為.【點睛】本小題主要考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，考查向量的坐標運算，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，考查分析求解能力，屬于中檔題.三.解答題，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知定義在上的函數(shù)是增函數(shù).（1）若，求的取值范圍；（2）若函數(shù)是奇函數(shù)，且，解不等式.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1)結合函數(shù)的定義域，利用單調(diào)性,原不等式轉化為,由此解不等式組可求得的范圍；(2)利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、結合，將原不等式轉化為,解不等式即可得出結論.【詳解】（1）由題意可得，求得，即的范圍是.（2）函數(shù)是奇函數(shù)，且，.不等式的解集為.【點睛】本題主要考查抽象函數(shù)的定義域、抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的應用，以及抽象函數(shù)解不等式，屬于中檔題.根據(jù)抽象函數(shù)的單調(diào)性解不等式應注意以下三點：（1）一定注意抽象函數(shù)的定義域（這一點是同學們?nèi)菀资韬龅牡胤?，不能掉以輕心）；（2）注意應用函數(shù)的奇偶性（往往需要先證明是奇函數(shù)還是偶函數(shù)）；（3）化成 后再利用單調(diào)性和定義域列不等式組.18.設向量，為銳角.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標表示可得，求出的值，進而可得結果；(2) 由,利用向量共線的充要條件可得，再利用兩角差的正切公式可得結果.【詳解】（1），.又為銳角，.(2) ,. ，.【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標表示以及向量共線的充要條件，考查了兩角差的正切公式的應用，屬于中檔題.向量的位置關系問題是出題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.19.如圖所示，平面上，點，點在單位圓上且 .（1）若點，求的值：（2）若，四邊形的面積用表示，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義求得tan，進而得到tan2，最后求出（2）由條件求出，于是得到+=sin+cos+1=sin（+）+1（0），然后再根據(jù)三角函數(shù)的相關知識求解【詳解】（1）由條件得B（，），AOB=， tan=， tan2 = = = ，tan（2+）= = =（2）由題意得=|sin（）=sin=（1，0），=（cos，sin）， =+=（1+cos，sin）， =1+cos， +=sin+cos+1=sin（+）+1（0）， ，sin（）1， +的取值范圍為【點睛】本題將三角函數(shù)的知識與向量結合在一起考查，體現(xiàn)了向量的工具性，解題時可根據(jù)所給的條件及要求逐步將問題進行轉化，最后化為三角函數(shù)的問題求解20.一半徑為的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面；已知水輪按逆時針做勻速轉動，每轉一圈，如果當水輪上點從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計算時間.（1）以水輪所在平面與水面的交線為軸，以過點且與水面垂直的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系，將點距離水面的高度表示為時間的函數(shù)；（2）點第一次到達最高點大約要多長時間？【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1) 設，先根據(jù)的最大和最小值求得和的值,利用周期公式求得,根據(jù)當時,可求得的值,從而可得結果；(2)由最大值為3,可得三角函數(shù)方程,進而可求點第一次到達最高點的時間;【詳解】（1）設，則，.，（2）令，得，點第一次到達最高點大約要的時間.【點睛】本題主要考查利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解析式，以及三角函數(shù)性質(zhì)的實際應用，屬于中檔題. 與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現(xiàn)實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數(shù)學模型進行解答.21.如圖，在多面體中，平面平面，四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，.（1）求證：；（2）若為線段的中點，求證：平面；（3）求多面體的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）由題意結合幾何關系可證得平面，由線面垂直的定義即可證得（2）延長交于點，由題意可證得四邊形為平行四邊形，據(jù)此結合線面平行的判定定理證明題中的結論即可；（3）設為中點，連接，將多面體分割為兩部分，分別求解對應的體積，然后相加即可確定多面體的體積.【詳解】（1）證明：因為四邊形為正方形，所以又因為平面平面，且平面平面， 平面，所以平面又平面，所以（2）延長交于點，因為，為中點，所以，所以因為，所以由已知，且,又因為，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以因為平面，平面，所以平面（3）設為中點，連接，由已知，所以平面又因為，所以平面，所以平面平面因為，所以平面，所以多面體為直三棱柱因為，且，所以由已知，且，所以，且又因為，平面，所以平面因為，所以，所以【點睛】本題主要考查線面垂直證明線線垂直的方法，線面平行的判定定理，組合體體積的求解方法等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.22.已知函數(shù)（1）設，比較：與的大小關系；（2）當時，函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（