《勾股定理》典型題目

勾股定理看數(shù)學思想【附練習】1.數(shù)形轉化“勾股定理”定理是“形數(shù)”的轉化。條件是形-“直角三角形”，得出的結論是數(shù)-“邊之間的數(shù)量關系”。標準格式是：ABC是直角三角形，C是直角，CA2+CB2=AB2“勾股定理”的逆定理是“數(shù)形”的轉化。條件是數(shù)-“邊之間的數(shù)量關系”，得出的結論是形-“直角三角形”。標準格式：CA2+CB2=AB2，ABC是直角三角形，C是直角應用舉例：如圖所示，有一塊地，已知AD=4米，CD=3米，ADC=90，AB=13米，BC=12米，則這塊地的面積為多少？解：ADC是直角三角形AC=AD+DC=4+3=5（注：這是在用勾股定理）AC+BC=5+12=169AB=13=169AC+BC=ABABC是直角三角形（注：這是在用勾股定理的逆定理）S地=SABC-SADC=（米2）2.方程思想我們知道，知道直角三角形的兩條邊，可以借助勾股定理求出第三邊。但是有的問題只知道直角三角形的一條邊，這時候，要考慮借助勾股定理列方程解決問題。例1：如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC6cm，BC8cm，先將直角邊AC沿AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（ ）2 4 3 5解：在RtABC中，AB=AC+BC=6+8=100=10AB=10（cm）AE=AC=6cm，EB=4cmAED=C=90DEB=90DEB是直角三角形DE+EB=DB設CD=xcm，則DE=CD=xcm，DB=（8-x）cmx+4=(8-x) 解得x=3，所以，CD=3cm例2：在筆直的公路上A、B兩點相距20km，在A的正南方8km處有村莊D，在B的正南方11km處有村莊C.現(xiàn)在要在AB上建一個中轉站E，是的C、D兩村莊到E站的距離相等。(1) 利用尺規(guī)作圖，做出點E的位置。(2) 計算點E距離點A多遠？解：（1）如圖，點E就是要建中轉站的位置（2）設AE=xkm，則EB=(20-x)km在RtADE中DE=AD+AE=8+x在RtEBC中EC=EB+BC=(20-x)+11DE=EC8+x=(20-x)+11解得 x=km所以，點E與點A的距離是km典型題目練習一折疊問題1.一張直角三角形的紙片，如圖所示折疊，使兩個銳角的頂點A、B重合，若AC=6，BC=8，求DC的長。2.如圖所示，將長方形紙片ABCD的一邊AD向下折疊，點D落在BC邊的F處。已知AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的長。其他折疊問題常見圖形： 二最短問題1. 如圖是一個三級臺階，它的每一級的長，寬和高分別為50寸，30寸和10寸，A和B是這個臺階的兩個相對端點，A點上有一只螞蟻想到B點去吃可口的食物，則它所走的最短路線長是多少？2. 如圖，長方體的長，寬，高分別為8，4，10若一只螞蟻從P點開始經(jīng)過4個側面爬行一圈到達Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為多少？3.如圖，一圓柱體的底面周長為16，高AB為15，BC是上底面的直徑一只昆蟲從點A出發(fā)，沿著圓柱的側面爬行到點C，則昆蟲爬行的最短路程為多少？4. 如圖,長方體的長為15,寬為10,高為20,點B離點C的距離為5,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B,需要爬行的最短距離是多少？5. 如圖所示，有一根高為2m的木柱，它的底面周長為0.3m，為了營造喜慶的氣氛，老師要求小明將一根彩帶從柱底向柱頂均勻地纏繞圈，一直纏到起點的正上方為止，問：小明至少需要準備多長的一根彩帶？三梯子問題1. 如圖，一架云梯AC長為25m，斜靠在一豎直的墻CO上，這時梯子底端A離墻的距離AO是7m，如果梯子的頂端C沿墻下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向滑動了多少米？2.如圖，兩墻之間的距離BC=22米，當云梯靠在西墻的時候，此時可以達到的高度AB=24米；若云梯底部O不動，使云梯靠在東墻上，此時云梯可以達到的高度DC=20米，試求BO 的距離。四蘆葦問題1.有一個邊長為1O尺的正方形水池，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面BC為l尺如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽碰到岸邊的B（如圖）時，水恰好沒過蘆葦問水深和長各多少？2. 如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度為（滑輪上方的部分忽略不計）為多少米？五構造直角三角形1. 如圖，每個小正方形的邊長為1，A、B、C是小正方形的頂點，則ABC的度數(shù)為（ ）A90 B60 C45 D302. 如圖，A，B是公路l（l為東西走向）兩旁的兩個村莊，A村到公路l的距離AC1kmB村到公路l的距離BD2km，CD=4km（1）求出A，B兩村之間的距離；（2）為方便村民出行，計劃在公路邊新建一個公共汽車站P，要求該站到兩村的距離相等，請用尺規(guī)在圖中作出點P的位置（保留清晰的作圖痕跡，并簡要寫明作法）六綜合題目1. 如圖，西安路與南京路平行，并且與八一