自動(dòng)控制原理課件第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一些基本概念,系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型描述系統(tǒng)中各變量間關(guān)系的數(shù)學(xué)形式和方法靜態(tài)系統(tǒng)中各變量隨時(shí)間變化緩慢，時(shí)間導(dǎo)數(shù)忽略不計(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)系統(tǒng)中的變量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)不可忽略的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的微分方程定常系統(tǒng)系統(tǒng)的物理參數(shù)不隨時(shí)間變化的系統(tǒng)集總參數(shù)系統(tǒng)系統(tǒng)的物理參數(shù)不隨空間位置變化的系統(tǒng)注：本章主要研究定常、集總參數(shù)系統(tǒng),本章主要內(nèi)容,21控制系統(tǒng)微分方程的建立22傳遞函數(shù)23控制系統(tǒng)的框圖和傳遞函數(shù)24非線性方程的線性化,預(yù)備知識(shí),基爾霍夫定律1基爾霍夫電流定律2基爾霍夫電壓定律,基爾霍夫定律概括了電路中電流和電壓分別遵循的基本規(guī)律，是用以分析和計(jì)算電路的基本依據(jù)。KCL適用于電路中的任一“節(jié)點(diǎn)”，KVL適用于電路中的任一“回路”。,有關(guān)術(shù)語(yǔ),（1）支路：二端元件,（2）節(jié)點(diǎn)：元件的端點(diǎn),（3）回路：電路中任一閉合路經(jīng),（4）網(wǎng)孔：內(nèi)部不含組成回路以外支路的回路,（5）網(wǎng)絡(luò)：含元件較多的電路,1基爾霍夫電流定律（基爾霍夫第一定律）KCL,對(duì)于任一集中參數(shù)電路中的任一節(jié)點(diǎn)，在任一瞬間，流出（或流入）該節(jié)點(diǎn)的所有支路電流的代數(shù)和等于零。,KCL反映了電路中會(huì)合到任一節(jié)點(diǎn)的各電流間相互約束關(guān)系。,對(duì)右圖所示電路，取流出節(jié)點(diǎn)的支路電流為正，流入為負(fù)（或取流入為正，流出為負(fù)）則有：節(jié)點(diǎn)a-i1+i2=0節(jié)點(diǎn)b-i2+i3+i4=0,KCL的實(shí)質(zhì)是電流連續(xù)性原理在集中參數(shù)電路中的表現(xiàn)。所謂電流連續(xù)性：在任何一個(gè)無(wú)限小的時(shí)間間隔里，流入節(jié)點(diǎn)和流出節(jié)點(diǎn)的電流必然是相等的，或在節(jié)點(diǎn)上不可能有電荷的積累，即每個(gè)節(jié)點(diǎn)上電荷守恒。,KCL的重要性和普遍性還體現(xiàn)在該定律與電路中元件的性質(zhì)無(wú)關(guān)，即不管電路中的元件是R、L、C、M、受控源、電源，也不管這些元件是線性、時(shí)變、定常、,KCL的也適用于廣義節(jié)點(diǎn)，即適合于一個(gè)閉合面。右圖所示電路，根據(jù)KCL設(shè)流入節(jié)點(diǎn)的電流為負(fù)，則：-i1-i2-i3=0,2基爾霍夫電壓定律（基爾霍夫第二定律）KVL,對(duì)于任一集中參數(shù)電路中的任一回路，在任一瞬間，沿該回路的所有支路電壓的代數(shù)和等于零。,KVL反映了回路中各支路電壓間的相互約束關(guān)系。,對(duì)右圖所示電路，取支路電壓方方向與回路方向一致時(shí)為正，否則為負(fù)，則有回路v4-v5+v6=0回路-v1+v5-v4-v3=0,KVL實(shí)質(zhì)上是能量守恒定律在集中參數(shù)電路中的反映。單位正電荷在電場(chǎng)作用下，由任一點(diǎn)出發(fā)，沿任意路經(jīng)繞行一周又回到原出發(fā)點(diǎn)，它獲得的能量（即電位升）必然等于在同一過程中所失去的能量（即電位降）。,KVL的重要性和普遍性也體現(xiàn)在該定律與回路中元件的性質(zhì)無(wú)關(guān)。,KCL、KVL只對(duì)電路中各元件相互連接時(shí)，提出了結(jié)構(gòu)約束條件。因此，對(duì)電路只要畫出線圖即可得方程。,例：右圖所示電路中Ec=12V，Rc=5k，Re=1k，Ic=1mA，Ib=0.02mA，求：Vce及c點(diǎn)、e點(diǎn)的電位。,解：KCL：Ie=Ib+Ic=0.02+1=1.02mAKVL：RcIc+Vce+ReIe-Ec=0,Vce=5.98Vc=Ec-RcIc=7V(或c=vce+e=7V)，e=ReIe=1.02V,1控制系統(tǒng)微分方程的建立,物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,12,機(jī)械系統(tǒng)電氣系統(tǒng)相似系統(tǒng),數(shù)學(xué)模型的定義建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ),Example,1物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,1數(shù)學(xué)模型的定義,系統(tǒng)示意圖,系統(tǒng)框圖,恒溫箱自動(dòng)控制系統(tǒng),1數(shù)學(xué)模型的定義,系統(tǒng)框圖,tu2uuanvut,由若干個(gè)元件相互配合起來(lái)就構(gòu)成一個(gè)完整的控制系統(tǒng)。,系統(tǒng)是否能正常地工作，取決各個(gè)物理量之間相互作用與相互制約的關(guān)系。,物理量的變換，物理量之間的相互關(guān)系信號(hào)傳遞體現(xiàn)為能量傳遞（放大、轉(zhuǎn)化、儲(chǔ)存）由動(dòng)態(tài)到最后的平衡狀態(tài)-穩(wěn)定運(yùn)動(dòng),1數(shù)學(xué)模型的定義,數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)變量間相互關(guān)系的動(dòng)態(tài)性能的運(yùn)動(dòng)方程,解析法依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。實(shí)驗(yàn)法人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識(shí)。,建立數(shù)學(xué)模型的方法：,數(shù)學(xué)模型的形式,時(shí)間域：微分方程差分方程狀態(tài)空間模型沖激響應(yīng)函數(shù)模型頻率域：傳遞函數(shù)模型頻率響應(yīng)函數(shù)模型,數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性和簡(jiǎn)化,2建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ),機(jī)械運(yùn)動(dòng)：牛頓定理、能量守恒定理電學(xué)：歐姆定理、基爾霍夫定律熱學(xué)：傳熱定理、熱平衡定律,微分方程（連續(xù)系統(tǒng)）,差分方程（離散系統(tǒng)）,線性與非線性分布性與集中性參數(shù)時(shí)變性,電氣系統(tǒng)三元件,電學(xué)：歐姆定理、基爾霍夫定律。,3提取數(shù)學(xué)模型的步驟,劃分環(huán)節(jié)寫出每或一環(huán)節(jié)(元件)運(yùn)動(dòng)方程式消去中間變量寫成標(biāo)準(zhǔn)形式注：列寫微分方程的關(guān)鍵要了解元件或系統(tǒng)所屬學(xué)科領(lǐng)域的有關(guān)規(guī)律，而不是數(shù)學(xué)本身,實(shí)例,二級(jí)RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò),由運(yùn)動(dòng)方程式（一個(gè)或幾個(gè)元件的獨(dú)立運(yùn)動(dòng)方程）,劃分環(huán)節(jié),按功能（測(cè)量、放大、執(zhí)行）,寫出每或一環(huán)節(jié)(元件)運(yùn)動(dòng)方程式,找出聯(lián)系輸出量與輸入量的內(nèi)部關(guān)系，并確定反映這種內(nèi)在聯(lián)系的物理規(guī)律。數(shù)學(xué)上的簡(jiǎn)化處理，（如非線性函數(shù)的線性化，考慮忽略一些次要因素）。,寫成標(biāo)準(zhǔn)形式,例如微分方程中，將與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)寫在方程的右邊；與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)寫在方程的左邊。方程兩邊各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降冪排列。,y,2非線性運(yùn)動(dòng)方程的線性化,將非線性微分方程在一定的條件下轉(zhuǎn)化為線性微分方程的方法，稱非線性微分方程的線性化。小偏差線性化：非線性微分方程能進(jìn)行線性化的一個(gè)基本假設(shè)上是變量偏離其預(yù)期工作點(diǎn)的偏差甚小，這種線性化通常稱為小偏差線性化。,幾何意義：以過平衡點(diǎn)（工作點(diǎn)）的切線代替工作點(diǎn)附近的曲線。,說(shuō)明：A.線性化時(shí)各自變量在工作點(diǎn)處必須有各階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)存在,如圖所示的繼電器特性，的各界導(dǎo)數(shù)處處不存在，本質(zhì)非線性；B.必須明確工作點(diǎn)的參數(shù)；C.如果非線性運(yùn)動(dòng)方程較接近線性時(shí)，則線性化運(yùn)動(dòng)方程對(duì)于變量的增量在較大范圍適用，反之，只能適用于變量的微小變化。,3傳遞函數(shù)與方塊圖,.定義傳遞函數(shù)：初始條件為零時(shí)，線性定常系統(tǒng)或元件輸出信號(hào)的拉氏變換與輸入信號(hào)的拉氏變換的比，稱為該系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)。,二傳遞函數(shù)的性質(zhì),.線性定常系統(tǒng)或元件的運(yùn)動(dòng)方程與傳遞函數(shù)一一對(duì)應(yīng)，它們是在不同域?qū)ν幌到y(tǒng)或元件的描述。.傳遞函數(shù)是表征線性定常系統(tǒng)或元件自身的固有特性，它與其輸入信號(hào)的形式無(wú)關(guān)，但和輸入信號(hào)的作用位置及輸出信號(hào)的取出位置有關(guān)。,3.傳遞函數(shù)是復(fù)變量S的有理分式，且分子、分母多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)均為實(shí)數(shù)，分母多項(xiàng)式的次數(shù)N大于等于分子多項(xiàng)式的次數(shù)M，。,4.傳遞函數(shù)寫成,的形式，則和為G(S)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。,5.物理結(jié)構(gòu)不同的系統(tǒng)可以有相同的傳遞函數(shù)。,三.方塊圖,1.定義:每個(gè)環(huán)節(jié)的功能和信號(hào)流向的圖解表示,；(3).分支點(diǎn):信號(hào)分出的一點(diǎn),稱為分支點(diǎn),通過分支點(diǎn)的信號(hào)都是相同的；(4).方框:對(duì)信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換；,2.常用符號(hào)及術(shù)語(yǔ),(2).相加點(diǎn)(比較點(diǎn)）,(1).信號(hào)線:帶箭頭的直線,箭頭表示信號(hào)方向；,（5）.方框圖的串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接。,3方框圖的運(yùn)算(1)串聯(lián)連接的傳遞函數(shù),結(jié)論：二環(huán)節(jié)串聯(lián)傳遞函數(shù)等于二傳函之積。,推廣：N環(huán)節(jié)串聯(lián)，傳遞函數(shù)等于N個(gè)環(huán)節(jié)傳函之積。,(2)并聯(lián)連接的傳遞函數(shù),結(jié)論：二環(huán)節(jié)并聯(lián)，其等效傳函等于二環(huán)節(jié)傳函之和。,推廣：N環(huán)節(jié)并聯(lián)，其等效傳函等于各環(huán)節(jié)傳函之和。,(3)反饋回路傳遞函數(shù)的求取前向通道：由偏差信號(hào)至輸出信號(hào)的通道；反饋通道：由輸出信號(hào)至反饋信號(hào)的通道。,當(dāng)為正反饋時(shí),結(jié)論：,4控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù),(1)若則定義：C(S)/R(S)為被控信號(hào)對(duì)于控制信號(hào)的閉環(huán)傳函，記為，即開環(huán)傳函：前向通道與反饋通道傳遞函數(shù)之積稱為開環(huán)傳函，記為G(S)。單位反饋：若H(S)=1，則系統(tǒng)稱為單位反饋系統(tǒng)。,(2)若定義：C(S)/F(S)為被控信號(hào)對(duì)于擾動(dòng)信號(hào)的閉環(huán)傳函，記為。,(3)令稱為誤差傳函,5控制系統(tǒng)方框圖及其簡(jiǎn)化,控制系統(tǒng)方框圖：應(yīng)用函數(shù)方框把控制系統(tǒng)的全部變量聯(lián)系起來(lái)以描述信號(hào)在系統(tǒng)中流通過程的圖示。一.方框圖的繪制步驟:1.寫出組成系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)的運(yùn)動(dòng)方程(傳遞函數(shù))；2.根據(jù)傳遞函數(shù)畫出相應(yīng)的函數(shù)方框；3.按信號(hào)流向?qū)⒑瘮?shù)方框一一連接起來(lái)。,二.方框圖的簡(jiǎn)化,(1)分支點(diǎn)前移,分支點(diǎn)等效移動(dòng)規(guī)則,分支點(diǎn)前移,在移動(dòng)支路中串入所越過的傳遞函數(shù)方框。,(2)分支點(diǎn)后移,分支點(diǎn)后移,在移動(dòng)支路中串入所越過傳遞函數(shù)的倒數(shù)的方框。,(1)相加點(diǎn)前移,2相加點(diǎn)等效移動(dòng)規(guī)則,相加點(diǎn)前移，在移動(dòng)支路中串入所越過的傳遞函數(shù)的倒數(shù)方框,(2)相加點(diǎn)后移,相加點(diǎn)后移,在移動(dòng)支路中串入所越過的傳遞函數(shù)方框。,(1)前向通道中各串聯(lián)函數(shù)方框的傳函乘積保持不變；(2)各反饋回路所含函數(shù)方框的傳函之積保持不變。,3.方框圖的簡(jiǎn)化原則,6信號(hào)流圖,節(jié)點(diǎn)：用以表示變量或信號(hào)的點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)，用“o”表示。傳輸：兩節(jié)點(diǎn)間的增益或傳遞函數(shù)稱為傳輸。支路：連接兩節(jié)點(diǎn)并標(biāo)有信號(hào)流向的定向線段支路的增益即為傳輸。源點(diǎn)：只有輸出支路而無(wú)輸入支路的節(jié)點(diǎn)（與系統(tǒng)的輸入信號(hào)相對(duì)應(yīng)）。,一.信號(hào)流圖的常用術(shù)語(yǔ):,阱點(diǎn)：只有輸入支路而無(wú)輸出支路的節(jié)點(diǎn)稱為阱點(diǎn)或輸出節(jié)點(diǎn)，與輸出信號(hào)相對(duì)應(yīng)?；旌瞎?jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。通路：沿支路箭頭所指方向穿過各相連支路的通徑。開通路：如通路與任意節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，稱為開通路。閉通路：如果通路的終點(diǎn)就是通路的起點(diǎn)，而與任何其它節(jié)點(diǎn)相交次數(shù)不多于一次，則稱為閉通路或回路。回路增益：回路中各支路傳輸?shù)某朔e。不接觸回路：回路間沒有任何共有節(jié)點(diǎn)，則稱其為不接觸回路。前向通路：從源點(diǎn)到阱點(diǎn)的通路上，通過任何節(jié)點(diǎn)不多于一次，稱為前向通路，前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e，稱為前向通路增益。,二.信號(hào)流圖的基本性質(zhì),1以節(jié)點(diǎn)代表變量，源點(diǎn)代表輸入量，阱點(diǎn)代表輸出量，用混合節(jié)點(diǎn)代表變量或信號(hào)的匯合。在混合節(jié)點(diǎn)處，出支路的信號(hào)等于各支路信號(hào)的疊加。,2以支路表示變量或信號(hào)的傳輸和變換過程，信號(hào)只能沿著支路的箭頭方向傳輸。在信號(hào)流圖中每經(jīng)過一條支路，相當(dāng)于在方框圖中經(jīng)