奧數(shù)多次相遇問題

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)學(xué)員編號(hào)： 年 級(jí)： 課 時(shí) 數(shù)：學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目： 學(xué)科教師：授課類型授課日期及時(shí)段教學(xué)內(nèi)容 本講中的行程問題是特殊場(chǎng)地行程問題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過(guò)程解決多人多次相遇與追擊問題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)確的對(duì)題目中所描述的每一個(gè)行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進(jìn)行分析。 一、在做出線段圖后，反復(fù)的在每一段路程上利用：路程和=相遇時(shí)間速度和路程差=追及時(shí)間速度差二、解環(huán)形跑道問題的一般方法：環(huán)形跑道問題，從同一地點(diǎn)出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，則每追上一圈相遇一次這個(gè)等量關(guān)系往往成為我們解決問題的關(guān)鍵。環(huán)線型同一出發(fā)點(diǎn)直徑兩端同向：路程差nSnS+0.5S相對(duì)(反向)：路程和nSnS-0.5S【例 1】 兩輛電動(dòng)小汽車在周長(zhǎng)為360米的圓形道上不斷行駛，甲車每分行駛20米甲、乙兩車同時(shí)分別從相距90米的A，B兩點(diǎn)相背而行，相遇后乙車立即返回，甲車不改變方向，當(dāng)乙車到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，甲車過(guò)B點(diǎn)后恰好又回到A點(diǎn)此時(shí)甲車立即返回（乙車過(guò)B點(diǎn)繼續(xù)行駛），再過(guò)多少分與乙車相遇？ 【鞏固】 周長(zhǎng)為400米的圓形跑道上，有相距100米的A，B兩點(diǎn)甲、乙兩人分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)相背而跑，兩人相遇后，乙即轉(zhuǎn)身與甲同向而跑，當(dāng)甲跑到A時(shí)，乙恰好跑到B如果以后甲、乙跑的速度和方向都不變，那么甲追上乙時(shí)，甲從出發(fā)開始，共跑了多少米?【例 2】 甲、乙兩車同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，沿周長(zhǎng)6千米的圓形跑道以相反的方向行駛甲車每小時(shí)行駛65千米，乙車每小時(shí)行駛55千米一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調(diào)頭；一旦甲車從后面追上一車，則甲車立刻調(diào)頭，那么兩車出發(fā)后第11次相遇的地點(diǎn)距離有多少米？ 【鞏固】 二人沿一周長(zhǎng)400米的環(huán)形跑道均速前進(jìn)，甲行一圈4分鐘，乙行一圈7分鐘，他們同時(shí)同地同向出發(fā)，甲走10圈，改反向出發(fā)，每次甲追上乙或迎面相遇時(shí)二人都要擊掌。問第十五次擊掌時(shí)，甲走多長(zhǎng)時(shí)間乙走多少路程？【例 3】 下如右圖所示，某單位沿著圍墻外面的小路形成一個(gè)邊長(zhǎng)300米的正方形甲、乙兩人分別從兩個(gè)對(duì)角處沿逆時(shí)針方向同時(shí)出發(fā)如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么經(jīng)過(guò)多少時(shí)間甲才能看到乙？【鞏固】 如圖，一個(gè)長(zhǎng)方形的房屋長(zhǎng)13米，寬8米甲、乙兩人分別從房屋的兩個(gè)墻角出發(fā)，甲每秒鐘行3米，乙每秒鐘行2米.問:經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間甲第一次看見乙?【例 4】 如圖，長(zhǎng)方形ABCD中ABBC=54。位于A點(diǎn)的第一只螞蟻按ABCDA的方向，位于C點(diǎn)的第二只螞蟻按CBADC的方向同時(shí)出發(fā)，分別沿著長(zhǎng)方形的邊爬行。如果兩只螞蟻第一次在B點(diǎn)相遇，則兩只螞蟻第二次相遇在()邊上?！眷柟獭?甲、乙兩人從周長(zhǎng)為1600米的正方形水池ABCD相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)繞池邊沿ABCDA的方向行走。甲每分行50米，乙每分行46米，甲、乙第一次在同一邊上行走，是發(fā)生在出發(fā)后的第多少分？第一次在同一邊上行走了多少分？【例 5】 在一個(gè)周長(zhǎng)90厘米的圓上，有三個(gè)點(diǎn)將圓周三等分。A，B，C三個(gè)爬蟲分別在這三點(diǎn)上，它們每秒依次爬行10厘米、5厘米、3厘米。如果它們同時(shí)出發(fā)按順時(shí)針方向沿圓周爬行，那么它們第一次到達(dá)同一位置需多長(zhǎng)時(shí)間？【鞏固】 如圖2，一個(gè)邊長(zhǎng)為50米的正方形圍墻，甲、乙兩人分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿鬧墻按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，已知甲每秒走5米，乙每秒走3米，則至少經(jīng)過(guò) 秒甲、乙走到正方形的同一條邊上?！纠?6】 如圖所示，大圈是400米跑道，由到的跑道長(zhǎng)是200米，直線距離是50米。父子倆同時(shí)從 點(diǎn)出發(fā)逆時(shí)針方向沿跑道進(jìn)行長(zhǎng)跑鍛煉，兒子跑大圈，父親每跑到點(diǎn)便沿直線跑。父親每100米用20秒，兒子每100米用19秒。如果他們按這樣的速度跑，兒子在跑第幾圈時(shí)，第一次與父親相遇？【鞏固】 如圖,學(xué)校操場(chǎng)的400米跑道中套著300米小跑道,大跑道與小跑道有200米路程相重甲以每秒6米的速度沿大跑道逆時(shí)針方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道順時(shí)針方向跑,兩人同時(shí)從兩跑道的交點(diǎn)處出發(fā),當(dāng)他們第二次在跑道上相遇時(shí),甲共跑了多少米? 【例 7】 三個(gè)環(huán)行跑道如圖排列，每個(gè)環(huán)行跑道周長(zhǎng)為210厘米；甲、乙兩只爬蟲分別從、兩地按箭頭所示方向出發(fā)，甲爬蟲繞1、2號(hào)環(huán)行跑道作“8”字形循環(huán)運(yùn)動(dòng)，乙爬蟲繞3、2號(hào)環(huán)行跑道作“8”字形循環(huán)運(yùn)動(dòng)，已知甲、乙兩只爬蟲的速度分別為每分鐘20厘米和每分鐘l5厘米，甲、乙兩爬蟲第二次相遇時(shí)，甲爬蟲爬了多少厘米?【鞏固】 一個(gè)圓周長(zhǎng)90厘米，3個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓周分成三等分，3只爬蟲，分別在這3個(gè)點(diǎn)上它們同時(shí)出發(fā)，按順時(shí)針方向沿著圓周爬行 的速度是10厘米/秒，的速度是5厘米/秒，的速度是3厘米/秒，3只爬蟲出發(fā)后多少時(shí)間第一次到達(dá)同一位置？【例 8】 下圖中有兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)A，大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米。兩只甲蟲同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同速度分別沿兩個(gè)圓爬行。問：當(dāng)小圓上甲蟲爬了幾圈時(shí)，兩只甲蟲首次相距最遠(yuǎn)？ 【鞏固】 如圖，兩個(gè)圓環(huán)形跑道，大圓環(huán)的周長(zhǎng)為600米，小圓環(huán)的周長(zhǎng)為400米。甲的速度為每秒6米，乙的速度為每秒4米。甲、乙二人同時(shí)由點(diǎn)起跑，方向如圖所示，甲沿大圓環(huán)跑一圈，就跑上小圓環(huán)，方向不變，沿小圓環(huán)跑一圈，又跑上大圓環(huán)，方向也不變；而乙只沿小圓環(huán)跑。問：甲、乙可能相遇的位置距離點(diǎn)的路程是多少？(路程按甲跑的計(jì)算)【例 9】 甲、乙兩人沿 400 米環(huán)形跑道練習(xí)跑步，兩人同時(shí)從跑道的同一地點(diǎn)向相反方向跑去。相遇后甲比原來(lái)速度增加 2 米秒，乙比原來(lái)速度減少 2 米秒，結(jié)果都用 24 秒同時(shí)回到原地。求甲原來(lái)的速度?！眷柟獭?環(huán)形跑道周長(zhǎng)是500米，甲、乙兩人從起點(diǎn)按順時(shí)針方向同時(shí)出發(fā)。甲每分跑120米，乙每分跑100米，兩人都是每跑200米停下休息1分。甲第一次追上乙需多少分？【例 10】 如圖所示，甲、乙兩人從長(zhǎng)為米的圓形跑道的點(diǎn)背向出發(fā)跑步。跑道右半部分(粗線部分）道路比較泥濘，所以兩人的速度都將減慢，在正常的跑道上甲、乙速度均為每秒米，而在泥濘道路上兩人的速度均為每秒米。兩人一直跑下去，問：他們第99次迎面相遇的地方距點(diǎn)還有 米?！眷柟獭?甲、乙二人在同一條橢圓形跑道上作特殊訓(xùn)練：他們同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到達(dá)出發(fā)點(diǎn)后立即回頭加速跑第二圈，跑第一圈時(shí)，乙的速度是甲速度的2/3.甲跑第二圈時(shí)速度比第一圈提高了1/3；乙跑第二圈時(shí)速度提高了1/5已知沿跑道看從甲、乙兩人第二次相遇點(diǎn)到第一次相遇點(diǎn)的最短路程是190米，那么這條橢圓形跑道長(zhǎng)多少米?【例 11】 如圖3-5,正方形ABCD是一條環(huán)形公路已知汽車在AB上時(shí)速是90千米，在BC上的時(shí)速是120千米，在CD上的時(shí)速是60千米,在DA上的時(shí)速是80千米從CD上一點(diǎn)P,同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車,它們將在AB中點(diǎn)相遇如果從PC的中點(diǎn)M,同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車,它們將在AB上一點(diǎn)N相遇問A至N的距離除以N至B的距離所得到的商是多少? 【鞏固】 一條環(huán)形道路，周長(zhǎng)為2千米甲、乙、丙3人從同一點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，每人環(huán)行2周現(xiàn)有自行車2輛，乙和丙騎自行車出發(fā)，甲步行出發(fā)，中途乙和丙下車步行，把自行車留給其他人騎已知甲步行的速度是每小時(shí)5千米，乙和丙步行的速度是每小時(shí)4千米，3人騎車的速度都是每小時(shí)20千米請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種走法，使3個(gè)人2輛車同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)那么環(huán)行2周最少要用多少分鐘? 【隨練1】 下圖是一個(gè)玩具火車軌道，A 點(diǎn)有個(gè)變軌開關(guān)，可以連接B 或者C. 小圈軌道的周長(zhǎng)是1.5 米，大圈軌道的周長(zhǎng)是3 米. 開始時(shí)，A 連接C，火車從A 點(diǎn)出發(fā)，按照順時(shí)針方向在軌道上移動(dòng)，同時(shí)變軌開關(guān)每隔1 分鐘變換一次軌道連接. 若火車的速度是每分鐘10 米，則火車第10 次回到A 點(diǎn)時(shí)用了 秒鐘.【隨練2】 如圖所示，甲沿長(zhǎng)為米大圓的跑道順時(shí)針跑步，乙則沿兩個(gè)小圓八字形跑步(圖中給出跑動(dòng)路線的次序：）。如果甲、乙兩人同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，且甲、乙二人的速度分別是每秒3米和5米，問兩人第三次相遇的時(shí)間是出發(fā)后 秒?！倦S練3】 如圖，8時(shí)10分,有甲、乙兩人以相同的速度分別從相距60米的A，B兩地順時(shí)針方向沿長(zhǎng)方形ABCD的邊走向D點(diǎn).甲8時(shí)20分到D點(diǎn)后,丙、丁兩人立即以相同速度從D點(diǎn)出發(fā).丙由D向A走去,8時(shí)24分與乙在E點(diǎn)相遇；丁由D向C走去，8時(shí)30分在F點(diǎn)被乙追上.問三角形BEF的面積為多少平方米? 【隨練4】在一圓形跑道上，甲從 A 點(diǎn)、乙從 B 點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，6 分后兩人相遇，再過(guò)4 分甲到達(dá) B 點(diǎn)，又過(guò) 8 分兩人再次相遇.甲、乙環(huán)行一周各需要多少分？【隨練5】甲、乙、丙在湖邊散步，三人同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，繞湖行走，甲速度是每小時(shí)5.4千米， 乙速度是每小時(shí)4.2千米，她們二人同方向行走，丙與她們反方向行走，半個(gè)小時(shí)后甲和丙相遇，在過(guò)5分鐘，乙與丙相遇。那么繞湖一周的行程是多少？【隨練6】下圖是一個(gè)邊長(zhǎng)90米的正方形，甲、乙兩人同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，甲逆時(shí)針每分行75米，乙順時(shí)針每分行45米兩人第一次在CD邊（不包括C，D兩點(diǎn)）上相遇，是出發(fā)以后的第幾次相遇？【隨練7】如圖是一個(gè)跑道的示意圖，沿走一圈是米，沿走一圈是米，其中到 的直線距離是米甲、乙二人同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)練習(xí)長(zhǎng)跑，甲沿的小圈跑，每米用秒，乙沿的大圈跑，每米用秒，問：1 乙跑第幾圈時(shí)第一次與甲相遇？2 發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間甲、乙再次在相遇？【隨練8】有一種機(jī)器人玩具裝置，配備長(zhǎng)、短不同的兩條跑道，其中長(zhǎng)跑道長(zhǎng)400厘米，短跑道長(zhǎng)300厘米，且有200厘米的公用跑道(如下圖)。機(jī)器人甲按逆時(shí)針方向以每秒6厘米的速