2003年數(shù)學建模A題

2003高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽題目（請先閱讀“對論文格式的統(tǒng)一要求”）A題 SARS的傳播SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，嚴重急性呼吸道綜合癥, 俗稱：非典型肺炎）是21世紀第一個在世界范圍內傳播的傳染病。SARS的爆發(fā)和蔓延給我國的經濟發(fā)展和人民生活帶來了很大影響，我們從中得到了許多重要的經驗和教訓，認識到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。請你們對SARS 的傳播建立數(shù)學模型，具體要求如下：（1）對附件1所提供的一個早期的模型，評價其合理性和實用性。（2）建立你們自己的模型，說明為什么優(yōu)于附件1中的模型；特別要說明怎樣才能建立一個真正能夠預測以及能為預防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難在哪里？對于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評論，如：提前或延后5天采取嚴格的隔離措施，對疫情傳播所造成的影響做出估計。附件2提供的數(shù)據(jù)供參考。（3）收集SARS對經濟某個方面影響的數(shù)據(jù)，建立相應的數(shù)學模型并進行預測。附件3提供的數(shù)據(jù)供參考。（4）給當?shù)貓罂瘜懸黄ㄋ锥涛?，說明建立傳染病數(shù)學模型的重要性。附件1：SARS疫情分析及對北京疫情走勢的預測2003年5月8日在病例數(shù)比較多的地區(qū)，用數(shù)理模型作分析有一定意義。前幾天，XXX老師用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走勢。在此基礎上，我們加入了每個病人可以傳染他人的期限（由于被嚴格隔離、治愈、死亡等），并考慮在不同階段社會條件下傳染概率的變化，然后先分析香港和廣東的情況以獲得比較合理的參數(shù)，最后初步預測北京的疫情走勢。希望這種分析能對認識疫情，安排后續(xù)的工作生活有幫助。1 模型與參數(shù) 假定初始時刻的病例數(shù)為N0，平均每病人每天可傳染K個人（K一般為小數(shù)），平均每個病人可以直接感染他人的時間為L天。則在L天之內，病例數(shù)目的增長隨時間t(單位天)的關系是：N（t）= N0 (1+K)t 如果不考慮對傳染期的限制，則病例數(shù)將按照指數(shù)規(guī)律增長?？紤]傳染期限L的作用后，變化將顯著偏離指數(shù)律，增長速度會放慢。我們采用半模擬循環(huán)計算的辦法，把到達L天的病例從可以引發(fā)直接傳染的基數(shù)中去掉。參數(shù)K和L具有比較明顯的實際意義。L可理解為平均每個病人在被發(fā)現(xiàn)前后可以造成直接傳染的期限，在此期限后他失去傳染作用，可能的原因是被嚴格隔離、病愈不再傳染或死去等等。從原理上講，這個參數(shù)主要與醫(yī)療機構隔離病人的時機和隔離的嚴格程度有關，只有醫(yī)療機構能有效縮短這個參數(shù)。但我們分析廣東、香港、北京現(xiàn)有的數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)，不論對于疫情的爆發(fā)階段，還是疫情的控制階段，這個參數(shù)都不能用得太小，否則無法描寫好各階段的數(shù)據(jù)。該參數(shù)放在15-25之間比較好，為了簡單我們把它固定在20（天）上這個值有一定統(tǒng)計上的意義，至于有沒有醫(yī)學上的解釋，需要其他專家分析。參數(shù)K顯然代表某種社會環(huán)境下一個病人傳染他人的平均概率，與全社會的警覺程度、政府和公眾采取的各種措施有關。在疾病初發(fā)期，社會來不及防備，此時K值比較大。為了簡單起見，我們從開始至到高峰期間均采用同樣的K值（從擬合這一階段的數(shù)據(jù)定出），即假定這階段社會的防范程度都比較低，感染率比較高。到達高峰期后，我們在10天的范圍內逐步調整K值到比較小，然后保持不變，擬合其后在控制階段的全部數(shù)據(jù)，即認為社會在經過短期的劇烈調整之后，進入一個對疫情控制較好的常態(tài)。顯然，如果疫情出現(xiàn)失控或反復的狀態(tài)，則K值需要做更多的調整。2 計算結果 2.1 對香港疫情的計算和分析。香港的數(shù)據(jù)相對比較完整準確。但在初期，由于診斷標準等不確切，在3月17日之前，沒有找到嚴格公布的數(shù)據(jù)。我們以報道的2月15日作為發(fā)現(xiàn)第一例病人的起點，2月27日從報道推斷為7例。3月17日后則都是正式公布的數(shù)據(jù)。累積病例數(shù)在圖1中用三角形表示。我們然后用上述方法計算。4月1日前后（從起點起45天左右）是疫情高峰時期，在此之前我們取K=0.16204。此后的10天，根據(jù)數(shù)據(jù)的變化將K逐步調到0.0273，然后保持0.0273算出后面控制期的結果。短期內K調整的幅度很大，反映社會的變化比較大。圖中實心方黑點是計算的累積病例數(shù)。從計算累積病例數(shù)，很容易算出每天新增病例數(shù)（當然只反映走向，實際狀況有很大漲落）?？梢钥闯?，香港疫情從起始到高峰大約45天，從高峰回落到1/10以下（每天幾個病例）大約40天（5月上中旬），到基本沒有病例還要再經過近一個月（到6月上中旬）。2.2 對廣東疫情的計算和分析。廣東的起點是02年11月16日，到今年2月下旬達到高峰，經過了約100天。在今年2月10日以前的數(shù)據(jù)查不到，分析比較困難?？傮w上看，廣東持續(xù)的時間比香港長得多，但累積的總病例數(shù)卻少一些，這反映出廣東的爆發(fā)和高峰都不強烈。但廣東的回落也比較慢。從2月下旬高峰期到現(xiàn)在經過了約70天，還維持著每天10來個新增病例，而同樣過程香港只用了約40天。這種緩慢上升和下降的過程也反映到K值上。比較好的擬合結果是，在高峰期之前（t 101天），K=0.0892；在隨后的10天逐步調整到0.031。用這組參數(shù)算出的后期日增病例數(shù)比實際公布的偏小，說明實際上降低得更慢。這種情況與疫情的社會控制狀況有沒有什么關系，需要更仔細的分析。2.3 對北京疫情的分析與預測。北京的病例起點定在3月1日，經過大約59天在4月29日左右達到高峰。我們通過擬合起點和4月20日以后的數(shù)據(jù)定出高峰期以前的K=0.13913。這個值比香港的0.16204來得低，說明北京初期的爆發(fā)程度不如香港，但遺憾的是上升時間持續(xù)了近60天，而香港是45天，這就造成了累積病例數(shù)大大超過香港。從圖2中還看出4月20日以前公布的數(shù)據(jù)大大低于計算值。而我們從對香港、廣東情況的計算中，知道疫情前期我們的計算還是比較可行的。從而可以大致判斷出北京前期實際的病例數(shù)。圖中的公布數(shù)據(jù)截止到5月7日（從起點起67天），其后的計算采用的是香港情況下獲得的參數(shù)。按這種估算，北京最終累積病例數(shù)將達到3100多。圖1 對香港疫情的擬合圖2 對北京疫情的分析圖3是計算的日增病例數(shù)。后期下降得較快的實心方黑點是采用香港參數(shù)獲得的。這就是說，如果北京的疫情控制與香港相當或更好的話，就可以在高峰期后的40天（從起點起100天）左右，即6月上中旬下降到日增幾例。然后再經過約一個月，即7月上中旬達到日增0病例。但如果北京的新病例下降速度與廣東類似的話，則要再多花至少一個月，才能達到上述的效果，且累積總病例數(shù)會到3800左右。至于什么原因造成香港下降速度快而廣東下降速度慢，需要有關方面作具體分析。圖3 北京日增病例走勢分析3 結論 每個病人可以造成直接感染他人的期限平均在20天左右，這個值在不同地區(qū)和不同疫情階段似乎變化不大。病人的平均每天感染率與社會狀況有關，在疫情爆發(fā)期較大，在疫情控制期要小很多。香港的初期爆發(fā)情況比廣東和北京都劇烈，但控制效果明顯比較好。北京后期如果控制在香港后期的感染率水平上，則有望在6月上中旬下降到日增幾例。然后再經過約一個月，即7月上中旬達到日增0病例。而累積總病例數(shù)將達到3100多。但如果北京的新病例下降速度與廣東類似的話，則要再多花至少一個月，才能達到上述的效果，且累積總病例數(shù)會到3800左右。附件2：北京市疫情的數(shù)據(jù)( 據(jù)：/Resource/Detail.asp?ResourceID=66070 )日 期已確診病例累計現(xiàn)有疑似病例死亡累計治愈出院累計4月20日33940218334月21日48261025434月22日58866628464月23日69378235554月24日77486339644月25日87795442734月26日988109348764月27日1114125556784月28日1199127559 784月29日1347135866834月30日1440140875905月01日15531415821005月02日16361468911095月03日17411493961155月04日180315371001185月05日189715101031215月06日196015231071345月07日204915141101415月08日213614861121525月09日217714251141685月10日222713971161755月11日226514111201865月12日230413781292085月13日234713381342445月14日237013081392525月15日238813171402575月16日240512651412735月17日242012501453075月18日243412501473325月19日243712491503495月20日244412251543955月21日244412211564475月22日245612051585285月23日246511791605825月24日249011341636675月25日249911051677045月26日250410691687475月27日251210051728285月28日25149411758665月29日25178031769285月30日252076017710065月31日252174718110876月01日252273918111246月02日252273418111576月03日252272418111896月04日252271818112636月05日252271618113216月06日252271318314036月07日252366818314466月08日252255018415436月09日252245118416536月10日252235118617476月11日252325718618216月12日252315518718766月13日25227118719446月14日2522418919946月15日2522318920156月16日2521319020536月17日2521519021206月18日2521419121546月19日2521319121716月20日2521319121896月21日2521219122316月22日2521219122576月23日252121912277附件3：北京市接待海外旅游人數(shù)（單位：萬人）年1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月19971998199920002001200220039.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4 18.69.6 11.7 15.8 19.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5 20.1 15.910.1 12.9 17.7 21.0 21.0 20.4 21.9 25.8 29.