1.1函數(shù)和映射

歡迎同學(xué)們,登高必自,高等數(shù)學(xué),主講教師：蘇本堂,聯(lián)系地點(diǎn)文理大樓719電子郵件sbtmath辦公室電話8242504手機(jī)號(hào)數(shù)學(xué)課開課漫談,走好成才之路數(shù)學(xué)的重要性如何學(xué)好高等數(shù)學(xué)幾點(diǎn)要求,老師寄語,人生起步，我們不是第一，幸運(yùn)的是我們還在第一團(tuán)隊(duì),多思多學(xué)，做好自己的人生規(guī)劃,走好成才之路,團(tuán)結(jié)寬容，自尊自愛自律,走好成才之路,學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)積極進(jìn)取遠(yuǎn)離網(wǎng)吧努力成才,走好成才之路,數(shù)學(xué)的重要性,（高等）數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門和鑰匙。,高科技本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)技術(shù),數(shù)學(xué)是物理、化學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)等學(xué)科的基礎(chǔ),電子計(jì)算機(jī)是數(shù)學(xué)與工程技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物,數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)、財(cái)政和金融等社會(huì)活動(dòng)中，有重要意義,著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，地球之變，生物之迷，日用之繁”無一能離開數(shù)學(xué)。,著名數(shù)學(xué)家高斯的說“數(shù)學(xué)是科學(xué)的女王”,數(shù)學(xué)的重要性,（高等）數(shù)學(xué)是思維的體操,培根說“數(shù)學(xué)使人嚴(yán)密”,數(shù)學(xué)給予人們的更重要的是能力：觀察實(shí)驗(yàn)、收集信息、歸納類比、直覺判斷、邏輯推理、建立模型和精確計(jì)算。這些能力和培養(yǎng)，將使人終身受益。,數(shù)學(xué)能力就是管理力、領(lǐng)導(dǎo)力、致富力、成功力、競(jìng)爭(zhēng)力。,想要在競(jìng)爭(zhēng)激烈的社會(huì)中生存，必須具備數(shù)學(xué)的邏輯力、聯(lián)想力、實(shí)踐力等基本“工作能力”，這是職場(chǎng)必然的法則。,數(shù)學(xué)的重要性,（高等）數(shù)學(xué)是考研的必考科目，分量極重,考研一般考試4門課程：英語100分，政治100分，數(shù)學(xué)150分，專業(yè)150分?jǐn)?shù)學(xué)課試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu)高等教學(xué)56線性代數(shù)22%概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)22,如何學(xué)好高等數(shù)學(xué),理解概念數(shù)學(xué)中有很多概念。概念反映的是事物的本質(zhì),弄清楚了它是如何定義的、有什么性質(zhì)，才能真正地理解一個(gè)概念。,掌握定理定理是一個(gè)正確的命題，分為條件和結(jié)論兩部分。對(duì)于定理除了要掌握它的條件和結(jié)論以外，還要搞清它的適用范圍，做到有的放矢。,如何學(xué)好高等數(shù)學(xué),在弄懂例題的基礎(chǔ)上作適量的習(xí)題、課本上的例題都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例題的特點(diǎn)和解法在理解例題的基礎(chǔ)上作適量的習(xí)題。作題時(shí)要善于總結(jié)-不僅總結(jié)方法，也要總結(jié)錯(cuò)誤。這樣，作完之后才會(huì)有所收獲，才能舉一反三。,理清脈絡(luò)要對(duì)所學(xué)的知識(shí)有個(gè)整體的把握，及時(shí)總結(jié)知識(shí)體系，這樣不僅可以加深對(duì)知識(shí)的理解，還會(huì)對(duì)進(jìn)一步的學(xué)習(xí)有所幫助。,如何學(xué)好高等數(shù)學(xué),做好預(yù)習(xí),適當(dāng)做好課堂筆記,選擇合適的課外指導(dǎo)書,幾點(diǎn)要求,遵守課堂紀(jì)律按時(shí)上課，有事請(qǐng)假，杜絕曠課上課請(qǐng)關(guān)閉手機(jī)認(rèn)真聽講，不許交頭接耳,按時(shí)交作業(yè)，獨(dú)立完成。交作業(yè)時(shí)間：每周第一次上數(shù)學(xué)課的時(shí)間作業(yè)紙購買時(shí)間：本周二、四晚上7:009:00地點(diǎn)：教學(xué)樓大廳,學(xué)習(xí)出現(xiàn)的問題和老師及時(shí)交流,初等數(shù)學(xué)研究對(duì)象：常量初等方法：有限的方法初等數(shù)學(xué)是用有限的方法研究常量的數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)研究對(duì)象：變量（函數(shù)）研究方法：極限的方法高等數(shù)學(xué)是用極限的方法研究變量的數(shù)學(xué),緒,一元微分學(xué),一元積分學(xué),多元微分學(xué),空間解析幾何,多元積分學(xué),級(jí)數(shù),常微分方程,高等數(shù)學(xué),第一章函數(shù)與極限,第一節(jié)映射與函數(shù),第二節(jié)數(shù)列的極限,第三節(jié)函數(shù)的極限,第四節(jié)無窮小與無窮大,第五節(jié)極限運(yùn)算法則,第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限,第七節(jié)無窮小的比較,第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn),第九節(jié)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性,第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),第一節(jié)映射與函數(shù),一、集合,二、映射,三、函數(shù),一、集合,集合與元素之間的關(guān)系aM：若x是集合的元素；,1.集合概念,(1)集合：具有某種特定性質(zhì)的事物的總體，集合的元素通常用A，B，S，T等表示.,元素:組成這個(gè)集合的事物集合的元素通常用a，b，x，y等表示.,集合分為有限集和無限集.,aM:若x不是集合的元素.,(2)集合的表示法,列舉法:將集合的元素一一列舉出來,描述法:,如:,N=全體自然數(shù)，Z=全體整數(shù)，Q=全體有理數(shù)，R=全體實(shí)數(shù).,(3)常用的集合記號(hào),如果，必有,則稱A是B的子集，記為,不含任何元素的集合，則稱為空集記為.是任何集合的子集.,(4)集合的關(guān)系,若，且,則稱A是B的真子集,記為.,若，且,則稱A與B相等,記為.,2.集合的運(yùn)算,設(shè)A、B是二個(gè)集合，定義,(A與B的并集),(A與B的交集),(A與B的差集),設(shè)I表示我們研究某個(gè)問題的全體,則其他集合A都是I的子集,稱I為全集或基本集.,A的余集或補(bǔ)集記為:,例如:在實(shí)數(shù)集R中,則有,設(shè)A、B、C為任意三個(gè)集合，則有下列法則成立：,（1）交換律,（2）結(jié)合律,（3）分配律,（4）對(duì)偶律,以上這些法則都可以根據(jù)集合相等的定義驗(yàn)證.,集合的運(yùn)算法則,3.區(qū)間和鄰域,設(shè)a,bR,且ab,開區(qū)間,閉區(qū)間,半開區(qū)間,稱a,b為區(qū)間的端點(diǎn)，稱ba為這些區(qū)間的長(zhǎng)度.,以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間.,無限區(qū)間,用數(shù)軸可以表示區(qū)間,區(qū)間常用I表示.,(2)點(diǎn)a的去心鄰域：,注若不強(qiáng)調(diào)的大小，點(diǎn)a的去心鄰域記為,鄰域,點(diǎn)a的左鄰域:開區(qū)間(a-,a),點(diǎn)a的右鄰域:開區(qū)間(a,a+),(1)設(shè)是任一正數(shù)，稱開區(qū)間(a-,a+)為點(diǎn)a的鄰域，記為U(a,)，即,點(diǎn)a稱為該鄰域的中心，稱為該鄰域的半徑.,二、映射,1、映射的概念,定義設(shè)X、Y是二個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則f,使得對(duì)X中每個(gè)元素x,按法則f,在Y中有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng),則稱f為從X到Y(jié)的映射,記為,其中y稱為元素x(在映射f下)的像,記作f(x),即y=f(x),元素x稱為元素y(在映射f下)的一個(gè)原像;,集合X稱為映射f的定義域,記作Df,即Df=X;,X中所有元素的像所組成的集合稱為映射f的值域,記作Rf或f(X),即,注意:,(1)一個(gè)映射必須具備以下三個(gè)要素:,集合X,即定義域Df=X,集合Y,即值域的范圍:,與之對(duì)應(yīng).,(2)對(duì)每個(gè),元素x的像y是唯一的;,對(duì)每個(gè),元素y的原像不一定是唯一的;,映射f的值域是Y的一個(gè)子集,即,不一定.,例1設(shè),對(duì)每個(gè),.,顯然,f是一個(gè)映射,f的定義域,值域,它是R的一個(gè)真子集.對(duì)于Rf中的元素y,除y=0外,它的原,像不是唯一的.如y=4的原像就有x=2和x=-2兩個(gè).,例2設(shè),對(duì)每個(gè),有唯一確定的,與之對(duì)應(yīng).,顯然,f是一個(gè)映射,f的定義域,值域,這個(gè)映射表示將平面上一個(gè)圓心在原點(diǎn)的單位圓周上的點(diǎn)投影到x軸的區(qū)間-1,1上.,這里f是一個(gè)映射,其定義域,值域,f稱為X到Y(jié)上的滿射：若Rf=Y.即Y中任一元素y,f為X到Y(jié)上的單射:若對(duì)X中任意兩個(gè)不同元素,滿射單射一一映射,都是X中某元素的像.,f為一一映射(或雙射):若映射f既是單射又是滿射.,如:例1既非單射,又非滿射;,例2不是單射,是滿射;,例3既是單射,又是滿射,因此是一一映射.,它們的像,映射又稱為算子.,根據(jù)集合X、Y的不同情形,在不同的數(shù)學(xué)分支中,映射又有不同的慣用名稱.,如:從非空集合X到數(shù)集Y的映射又稱為X上的泛函.,從非空集合X到它自身的映射又稱為X上的變換.,從實(shí)數(shù)集(或其子集)X到實(shí)數(shù)集Y的映射稱為定義在X上的函數(shù).,2.逆映射與復(fù)合映射,設(shè)f是X到Y(jié)上的單射,定義一個(gè)從Rf到X的新映射g,即,這個(gè)映射g稱為f的逆映射,記作其定義域,值域,注意:只有單射才存在逆映射.,例1,2,3中,只有例3有逆映射:,設(shè)有兩個(gè)映射,注意:,(1)映射g和f構(gòu)成復(fù)合映射的條件:,兩者也不同時(shí)有意義.,例4設(shè)有映射,對(duì)每個(gè),對(duì)每個(gè),三、函數(shù),1.函數(shù)概念,對(duì)每個(gè),按對(duì)應(yīng)法則f,總有唯一確定的值y與之對(duì)應(yīng),這個(gè)值稱為函數(shù)f在x處的函數(shù)值,記作f(x),即y=,函數(shù)值f(x)的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù)f的值域,定義設(shè)數(shù)集,則稱映射為定義D上的,函數(shù)，通常簡(jiǎn)記為,f(x).D稱為定義域,記作,即,記作或f(D),即,函數(shù)是從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射,其值域總在R內(nèi).,函數(shù)的兩要素:,定義域與對(duì)應(yīng)法則f.,如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,對(duì)應(yīng)法則也相同,那么這兩個(gè)函數(shù)就是相同的,否則就是不同的.,約定:定義域是自變量所能取的使算式有(實(shí)際)意義的一切實(shí)數(shù)值.,如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù),例如:,對(duì)于多值函數(shù),往往只要附加一些條件,就可以將它化為單值函數(shù),這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支.,表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法（公式法）.,定義:點(diǎn)集,稱為函數(shù),的圖形.,常見的幾種函數(shù),例5函數(shù)y=2,例6函數(shù),例7函數(shù),稱為符號(hào)函數(shù),定義域D=(,+),值域=1,0,1.,注:對(duì)任意的x,有,階梯曲線,x表示不超過x的最大整數(shù),例8取整函數(shù)y=x,如-3.4=-4,1=1,定義域D=(,+),值域=Z.,例9函數(shù),是一個(gè)分段函數(shù).它的定義域D=0,+).,如:,2.函數(shù)的幾種特性,(1)函數(shù)的有界性:,(2)有界與否是和X有關(guān)的.,(1)當(dāng)一個(gè)函數(shù)有界時(shí)，它的界是不唯一的.,注意:,使,(3)證明無界的方法:對(duì)于任意正數(shù)M,總存在,(2)函數(shù)的單調(diào)性:,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,區(qū)間,如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1和x2,當(dāng)x1x2時(shí),恒有,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的(單調(diào)減少的);,(3)函數(shù)的奇偶性:,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,對(duì)于,有f(-x)=f(x)恒成立,則稱f(x)為偶函數(shù);,偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.,函數(shù)y=cosx是偶函數(shù).,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,對(duì)于,有f(-x)=-f(x)恒成立,則稱f(x)為奇函數(shù).,奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.,函數(shù)y=sinx是偶函數(shù).,函數(shù)y=sinx+cosx既非奇函數(shù),又非偶函數(shù).,(4)函數(shù)的周期性:,函數(shù)sinx,cosx的周期是,函數(shù)tanx的周期是,（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.,則稱f(x)為周期函數(shù),l稱為f(x)的周期.,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在一個(gè)正數(shù)l,使得,例10狄利克雷函數(shù),它是一個(gè)周期函數(shù),任何有理數(shù)都是它的周期,但它沒有最小正周期.,3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù),反函數(shù)的定義:,設(shè)函數(shù),是單射,則它存在,若函數(shù)f(x)在D上是單調(diào)函數(shù),則f-1也是f(D)上的單調(diào)函數(shù).,直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線y=x對(duì)稱.,復(fù)合函數(shù),定義:設(shè)函數(shù)y=f(u)的定義域?yàn)镈1,函數(shù)u=g(x)在D上有,稱為由函數(shù)u=g(x)和函數(shù)y=f(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),它的定義域?yàn)镈,變量u稱為中間變量.,函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為,注:1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;,2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.,如:,如:,4.函數(shù)的運(yùn)算,設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域依次為,則可以定義這兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算：,和(差),積,商,例11設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-l,l),證明必存在(-l,l)上的偶函數(shù)g(x)和奇函數(shù)h(x),使得,證先分析如下:假若這樣的g(x)、h(x)存在,使得,(1),且,利用(1)、(2)式,就可作出g(x),h(x).,作,則,證畢.,5.初等函數(shù),基本初等函數(shù),(2)指數(shù)函數(shù),(5)反三角函數(shù)y=arcsinx;y=arccosx;y=arctanx;y=arccotx;y=ar