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第三章 圓【課標(biāo)要求】(1)認(rèn)識(shí)圓并掌握?qǐng)A的有關(guān)概念和計(jì)算 知道圓由圓心與半徑確定,了解圓的對(duì)稱性. 通過圖形直觀識(shí)別圓的弦、弧、圓心角等基本元素. 利用圓的對(duì)稱性探索弧、弦、圓心角之間的關(guān)系,并會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算和說理. 探索并了解圓周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對(duì)圓周角的特征. 掌握垂徑定理及其推論,并能進(jìn)行計(jì)算和說理. 了解三角形外心、三角形外接圓和圓內(nèi)接三角形的概念. 掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)(2)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 能根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離和半徑的大小關(guān)系確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系. 知道“不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓”并會(huì)作圖.(3)直線與圓的位置關(guān)系 能根據(jù)圓心到直線的距離和半徑的大小關(guān)系確定直線與圓的位置關(guān)系. 了解切線的概念. 能運(yùn)用切線的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算和說理. 掌握切線的識(shí)別方法. 了解三角形內(nèi)心、三角形內(nèi)切圓和圓的外切三角形的概念. 能過圓上一點(diǎn)畫圓的切線并能利用切線長(zhǎng)定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的切線計(jì)算.(4)圓與圓的位置關(guān)系 了解圓與圓的五種位置關(guān)系及相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系. 能根據(jù)兩圓的圓心距與兩圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系判定兩圓的位置關(guān)系. 掌握兩圓公切線的定義并能進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算(5)圓中的計(jì)算問題 掌握弧長(zhǎng)的計(jì)算公式,由弧長(zhǎng)、半徑、圓心角中已知兩個(gè)量求第三個(gè)量. 掌握求扇形面積的兩個(gè)計(jì)算公式,并靈活運(yùn)用. 了解圓錐的高、母線等概念. 結(jié)合生活中的實(shí)例(模型)了解圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖. 會(huì)求圓柱、圓錐的側(cè)面積、全面積,并能結(jié)合實(shí)際問題加以應(yīng)用. 能綜合運(yùn)用基本圖形的面積公式求陰影部分面積.2、基礎(chǔ)知識(shí)(1)掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)和計(jì)算 弧、弦、圓心角之間的關(guān)系:在同圓或等圓中,如果兩條劣?。▋?yōu)弧)、兩條兩個(gè)圓心角中有一組量對(duì)應(yīng)相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也分別對(duì)應(yīng)相等. 垂徑定理: 垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧 垂徑定理的推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧 在同一圓內(nèi),同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于該弧所對(duì)的圓心角的一半. 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì):圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ),并且任何一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角.(2)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 設(shè)點(diǎn)與圓心的距離為,圓的半徑為,則點(diǎn)在圓外; 點(diǎn)在圓上; 點(diǎn)在圓內(nèi) 過不在同一直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)圓. 一個(gè)三角形有且只有一個(gè)外接圓. 三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn).三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.(3)直線與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓心到直線的距離為,圓的半徑為,則直線與圓相離;直線與圓相切;直線與圓相交切線的性質(zhì):與圓只有一個(gè)公共點(diǎn);圓心到切線的距離等于半徑;圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.切線的識(shí)別:如果一條直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn),那么這條直線是圓的切線. 到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.經(jīng)過半徑的外端且垂直與這條半徑的直線是圓的切線. 三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn).三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等. 切線長(zhǎng):圓的切線上某一點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng). 切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等.這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.(4)圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系有五種:外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含. 設(shè)兩圓心的距離為,兩圓的半徑為,則兩圓外離 兩圓外切 兩圓相交 兩圓內(nèi)切 兩圓內(nèi)含 兩個(gè)圓構(gòu)成軸對(duì)稱圖形,連心線(經(jīng)過兩圓圓心的直線)是對(duì)稱軸.由對(duì)稱性知:兩圓相切,連心線經(jīng)過切點(diǎn). 兩圓相交,連心線垂直平分公共弦. 兩圓公切線的定義:和兩個(gè)圓都相切的直線叫做兩圓的公切線.兩個(gè)圓在公切線同旁時(shí),這樣的公切線叫做外公切線.兩個(gè)圓在公切線兩旁時(shí),這樣的公切線叫做內(nèi)公切線. 公切線上兩個(gè)切點(diǎn)的距離叫做公切線的長(zhǎng). (5)與圓有關(guān)的計(jì)算 弧長(zhǎng)公式: 扇形面積公式:(其中為圓心角的度數(shù),為半徑) 圓柱的側(cè)面展開圖是矩形圓柱體也可以看成是一個(gè)矩形以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)而形成的幾何體圓柱的側(cè)面積底面周長(zhǎng)高 圓柱的全面積側(cè)面積底面積 圓錐的側(cè)面展開圖是扇形,這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng),扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)圓錐體可以看成是由一個(gè)直角三角形以一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體 圓錐的側(cè)面積底面周長(zhǎng)母線;圓錐的全面積側(cè)面積底面積3、能力要求例1 如圖,AC為O 的直徑,B、D、E都是O上的點(diǎn),求A+B +C的度數(shù).【分析】由AC為直徑,可以得出它所對(duì)的圓周角是直角,所以連結(jié)AE,這樣將CAD(A)、C放在了AEC中,而B與EAD是同弧所對(duì)的圓周角相等,這樣問題迎刃而解【解】連結(jié)AEAC是O的直徑AEC=90O CAD +EAD+C =90O B=EADCAD +B+C =90O【說明】這里通過將B轉(zhuǎn)化為EAD,從而使原本沒有聯(lián)系的A、B 、C都在 AEC中,又利用“直徑對(duì)直角”得到它們的和是90O解題中一方面注意到了隱含條件“同弧所對(duì)的圓周角相等”,另一方面也注意到了將“特殊的弦”(直徑)轉(zhuǎn)化為“特殊的角”(直角),很好地體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”的思想方法練習(xí)二一、知識(shí)點(diǎn):、確定圓的條件1過已知兩點(diǎn)的圓的圓心組成的圖形是_,_確定一個(gè)圓2.三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓,這個(gè)圓叫做三角形的_,它的圓心叫做三角形的_,它是三角形_的交點(diǎn);這個(gè)三角形叫做圓的_-3三角形外心的位置:銳角三角形的外心在_;直角三角形的外心是_;鈍角三角形的外心在_直線和圓的位置關(guān)系1直線和圓的位置關(guān)系有三種:(1)_;(2)_;(3)_2當(dāng)直線和圓 _公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相交,此時(shí)圓心到直線的距離_半徑;當(dāng)直線和圓 _公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相切,此時(shí)圓心到直線的距離_半徑;當(dāng)直線和圓 _公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相離,此時(shí)圓心到直線的距離_半徑;PAO3切線的性質(zhì):圓的切線_如圖可表述為: 或:PA切O于點(diǎn)A_4判定直線為圓的切線:經(jīng)過_,并且垂直于_的直線是圓的切線。如圖可表述為:5和三角形各邊_的圓叫做三角形的_,它的圓心叫做三角形的_,是三角形_的交點(diǎn); 這個(gè)三角形叫做圓的_-6.過圓外一點(diǎn)可引圓的_條切線,這個(gè)點(diǎn)到各個(gè)切點(diǎn)的距離_。 二、一些常見關(guān)系及輔助線作法:7.已知O中,直徑CDAB于點(diǎn)E,若ar,則AOB_,d_(用含r的代數(shù)式表示)若ar,則AOB_,d_(用含r的代數(shù)式表示)若ar,則AOB_,d_(用含r的代數(shù)式表示)8. 已知ABC是O的內(nèi)接三角形,I的外切三角形。設(shè)O的半徑為R,I的半徑為r。若ABC的周長(zhǎng)為s,則ABC的面積與s,r的關(guān)系為_若ABC是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形,則R_,r_(用含a的代數(shù)式表示)若ABC是直角邊長(zhǎng)為a, b,斜邊長(zhǎng)為c的直角三角形,則R_,r_(用含a, b, c的代數(shù)式表示)若ABC是直角邊長(zhǎng)為a的等腰直角三角形,則R_,r_(用含a的代數(shù)式表示)若ABC是腰長(zhǎng)為a,頂角為120的等腰三角形,則R_(用含a的代數(shù)式表示)9.已知直線是圓的切線,常作的輔助線是連接_得_10.證明一條直線是圓的切線方法:證明直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)(不常用)已知直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)所作的輔助線為_,證明_已知中沒有說明直線和圓的公共點(diǎn)時(shí)所作的輔助線為_,證明_11. 作ABC的外接圓的方法:分別作兩邊的_,使這兩條直線交于點(diǎn)O,以為圓心,OA為半徑作圓。所作的圓就是ABC的外接圓。12作ABC的內(nèi)切圓的方法:分別作兩內(nèi)角的_,使這兩條線段交于點(diǎn)I;過I作IEBC于E;以I為圓心,IE為半徑作圓。所作的圓就是ABC的內(nèi)切圓。三、課堂練習(xí)題:13下列命題中,真命題的個(gè)數(shù)是 ( )經(jīng)過三點(diǎn)一定可以作圓;任意一個(gè)圓一定有一個(gè)內(nèi)接三角形,并且只有一個(gè)內(nèi)接三角形。任意一個(gè)三角形一定有一個(gè)外接圓,并且只有一個(gè)外接圓,三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等。A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)14如圖,直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)A、B、C,其中B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,4),則該圓弧所在的圓的圓心的坐標(biāo) 。 第14題 第15題 第16題15. 圖中ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是 16. 如圖,方格紙上一圓經(jīng)過(2,5),(2,3)兩點(diǎn),則該圓圓心的坐標(biāo)為 17. 一只貓觀察到一老鼠洞的全部三個(gè)出口,它們不在一條直線上,這只貓應(yīng)蹲在_地方,才能最省力地顧及到三個(gè)洞口。18.圓外切平行四邊形是_形,圓內(nèi)接平行四邊形是_形。19已知直線a:yx3和點(diǎn)A(0,3),B(3,0).設(shè)P為a上一點(diǎn),試判斷P、A、B是否在同一個(gè)圓上。20.如圖,已知圓的內(nèi)接三角形ABC中,ABAC,D是BC邊上的一點(diǎn),E是直線AD的延長(zhǎng)線與ABC外接圓的交點(diǎn)。(1)求證:AB2ADAE(2)當(dāng)D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)時(shí),第(1)問的結(jié)論成立嗎?如果成立,請(qǐng)證明,如果不成立,請(qǐng)說明理由。 21.直線AB經(jīng)過O上一點(diǎn)C,且OAOB,CACB,求證直線AB是O的切線。ADEBC22.直角梯形ABCD中,AB90,ADBC,E為AB上一點(diǎn),DE平分ADC,CE平分BCD,則以AB為直徑的圓與邊CD有怎樣的位置關(guān)系?四、課后練習(xí)題:1. RtABC中,C90,BC5 ,AC12 則其外接圓半徑為 2. 若直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為6,8,則這個(gè)三角形的外接圓直徑是 3. 等腰三角形ABC內(nèi)接于半徑為5cm的O中,若底邊BC8cm,則ABC的面積是 4. 在RtABC中,如果兩條直角邊的長(zhǎng)分別為3、4,那么RtABC的外接圓的面積為 5. 等邊三角形的邊長(zhǎng)為4,則此三角形外接圓的半徑為6邊長(zhǎng)為6的正三角形的內(nèi)切圓的半徑是( )A. B. 2 C. D. 2 7ABC中A90,ABAC,以A為圓心的圓切BC于,若BC12CM,則A的半徑d為cm8. 如圖,AB是的直徑,CAB30,過C作的切線交AB的延長(zhǎng)線于D,OD15cm, 則AB cm 第8題 第13題 第15題9. 已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,那么這個(gè)三角形的內(nèi)切圓的半徑為 。10. Rt ABC中,C90,AB10,AC6,以C為圓心作C 與AB相切,則C的半徑為 。11. 已知O的直徑為6,P為直線l上一點(diǎn),OP3,那么直線l與O的位置關(guān)系是 12. 若一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為10,其內(nèi)切圓半徑為2,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是 。13. 如圖,PA切于點(diǎn)A,PO交于點(diǎn),若PA,BP4,則的半徑為() A. B. C.2 D.514. 以三角形的一邊為直徑的圓恰好與另一邊相切,則此三角形是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.鈍角三角形15如圖,是一塊殘破的圓輪片,A、B、C是圓弧上的三點(diǎn)作出弧ACB所在的O(不寫作法,保留作圖痕跡)如果ACBC60cm,ACB120,求該殘破圓輪片的半徑。 16已知圓的直經(jīng)為13cm,如果直線和圓心的距離為4.5cm,那么直線和圓有 公共點(diǎn)。 17. 在RtABC中,ACB90,AB5cm, AC3cm,以點(diǎn)C為圓心,r為半徑的圓與AB有何位置關(guān)系?為什么?18如圖,AB是O的直徑,C為O上一點(diǎn),ADCD,( 點(diǎn)D在O外)AC平分BAD (1)求證:CD是O的切線(2)若DC、AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,且DE12,
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