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1 第一章實數集與函數 第一節(jié)實數 2 一實數及其性質 有理數 為整數 實數也可用有限十進小數或無限十進循環(huán)小數表示無理數 無限十進不循環(huán)小數目的 為了討論需要 將有限小數 包括整數 也表示為無限小數 并作如下規(guī)定 上一頁 下一頁 3 對于正有限小數 包括正整數 表示成無限小數 再將所得無限小數前加負號 1 當時 其中為非負整數 記 2 當為正整數時 記 例如 2 對于負有限小數 包括負數 先將 例如 3 對于 4 二實數的大小比較 定義設 為非負實數 稱有理數 為的位不足近似 而有理數為的位過剩 近似 對于負實數 稱 為的位不足近似 為的位過剩近似 5 注 實數的不足近似當增大不減 即有 而過剩近似當增大時不增 即有 對于非負實數有 均為實數 命題 設 與為實數 則 的等價條件是 存在非負整數 使得 其中表示 的位不足近似 表示的位過剩近似 起證明見附錄 第八節(jié) 6 例1設為實數 證明 存在有理數滿足 證明由于 故存在非負整數 使得 令 則為有理數 且有 即有 說明 任意兩實數間都有有理數 實數的性質 1實數對四則運算的封閉性 2有序性 3傳遞性 4具有阿基米德 性 即對任何 若 則存在正整數 使得 7 實數的稠密性 即任何兩實數之間必有另一實數 且既有有理數 見例 也有無理數 實數與數軸上點一一對應 例 設 證明 若對任何正數 有 則 證明 反證 若 取 有 矛 盾 所以必有 注 為常數 不能為變數 二絕對值與不等式 自看 8 第二節(jié)數集確界原理 定義設 為開區(qū)間 記為 數集 數集 都稱為半開半閉區(qū)間 分別 記為和 以上這幾類區(qū)間統(tǒng)稱為有限區(qū)間 滿足關系式的全體實數的集合記作 這里符號 讀作 無窮大 讀作 正無窮大 類似的地 我們記 一區(qū)間與鄰域 9 其中讀作 負無窮大 以上幾類數集都稱為無限區(qū)間 有限區(qū)間和無限區(qū)間統(tǒng)稱為區(qū)間 設 滿足絕對值不等式的全體實數的集合稱為點的鄰域 記作 或簡單地寫作即有 點的空心鄰域定義為 或簡單地記作 注意 與的差別在于 不包含點 此外 我們還常用到以下幾種鄰域 點的右鄰域簡記為 點的左鄰域簡記為 10 11 12 13

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