同濟大學材料力學第六章--彎曲內(nèi)力ppt課件

材料力學 講授 顧志榮 同濟大學航空航天與力學學院顧志榮 第六章彎曲內(nèi)力 材料力學 第六章彎曲內(nèi)力 一平面彎曲的概念及梁的種類二梁的內(nèi)力及其求法三剪力方程與彎矩方程 剪力圖與彎矩圖四彎矩 剪力和分布荷載之間的關(guān)系五平面剛架與曲桿的內(nèi)力圖六關(guān)于內(nèi)力圖的進一步討論 第六章彎曲內(nèi)力 一平面彎曲的概念及梁的種類 1 平面彎曲的概念討論桿的彎曲暫時限制在如下的范圍 1 桿的橫截面至少有一根對稱軸 一個對稱面 第六章彎曲內(nèi)力 一平面彎曲的概念及梁的種類 2 載荷作用在對稱平面內(nèi)所有外力都作用在通過桿件軸線的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi) 受力特點 彎曲后梁的軸線 撓曲線 3 桿件軸線在載荷作用平面內(nèi)彎成一條曲線 變形特點 1 平面彎曲的概念 第六章彎曲內(nèi)力 一平面彎曲的概念及梁的種類 2 凡是以彎曲為主要變形的桿件 通常稱為梁 第六章彎曲內(nèi)力 一平面彎曲的概念及梁的種類 第六章彎曲內(nèi)力 一平面彎曲的概念及梁的種類 q 第六章彎曲內(nèi)力 一平面彎曲的概念及梁的種類 第六章彎曲內(nèi)力 一平面彎曲的概念及梁的種類 第六章彎曲內(nèi)力 一平面彎曲的概念及梁的種類 上海長江大橋第53號至54號橋墩間 將架起 百米長梁 這一箱梁長105米 寬16米 高5米 重2300噸 為世界第一 百米長梁 超越東海大橋 梁式大橋 70米的跨度 實現(xiàn)了橋梁史上的一大突破 上海長江大橋跨江段長10公里 全橋長16 5公里 雙向6車道 設(shè)計時速100公里 整個隧橋工程將在2010年完工 上海長江大橋架起 世界第一梁 3 梁的種類 靜定梁 支座反力可由靜力平衡方程確定的梁 a 簡支梁 b 懸臂梁 c 外伸梁 d 靜定組合梁 第六章彎曲內(nèi)力 一平面彎曲的概念及梁的種類 超靜定梁 支座反力不能由靜力平衡方程完全確定的梁 第六章彎曲內(nèi)力 一平面彎曲的概念及梁的種類 第六章彎曲內(nèi)力 二梁的內(nèi)力及其求法 x 解 1 根據(jù)平衡條件求支座反力 2 截取m m截面左段 A x M 剪力 使截面不產(chǎn)生移動 彎矩M 使截面不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動 得到 o 1 梁的內(nèi)力 剪力與彎矩 得到 第六章彎曲內(nèi)力 二梁的內(nèi)力及其求法 2 剪力 彎矩的正 負號規(guī)定 左上右下 剪力為正 左順右逆 彎矩為正 第六章彎曲內(nèi)力 二梁的內(nèi)力及其求法 第六章彎曲內(nèi)力 二梁的內(nèi)力及其求法 例題一簡支梁受力如圖所示 試求C截面 跨中截面 上的內(nèi)力 解 1 根據(jù)平衡條件求支座反力 3 求指定截面上的剪力和彎矩 第六章彎曲內(nèi)力 二梁的內(nèi)力及其求法 2 求C截面 跨中截面 上的內(nèi)力 得到 剪力的實際方向與假設(shè)方向相反 為負剪力 得到 彎矩M的實際方向與假設(shè)方向相同 為正彎矩 第六章彎曲內(nèi)力 二梁的內(nèi)力及其求法 如以右側(cè)梁作為研究對象 則 第六章彎曲內(nèi)力 二梁的內(nèi)力及其求法 取左段梁為研究對象 取右段梁為研究對象 截面左側(cè) 或右側(cè) 梁上的所有外力向截面形心簡化所得到的主矢 第六章彎曲內(nèi)力 二梁的內(nèi)力及其求法 截面左側(cè) 或右側(cè) 梁上的所有外力 力和力偶 向截面形心簡化所得到的主矩 取左段梁為研究對象 取右段梁為研究對象 第六章彎曲內(nèi)力 二梁的內(nèi)力及其求法 截面左側(cè) 或右側(cè) 梁上的所有外力向截面形心簡化所得到的主矢 截面左側(cè) 或右側(cè) 梁上的所有外力 力和力偶 向截面形心簡化所得到的主矩 第六章彎曲內(nèi)力 二梁的內(nèi)力及其求法 解 1 根據(jù)平衡條件求支座反力 例題一外伸梁受力如圖所示 試求D B截面上的內(nèi)力 A B 1m 1m 1m 1m 2m P 2KN D C 2 求B D截面上的內(nèi)力 第六章彎曲內(nèi)力 二梁的內(nèi)力及其求法 解 1 根據(jù)平衡條件已求出支座反力 例題一外伸梁受力如圖所示 試求D左 D右 B左 B右截面上的內(nèi)力 A B 1m 1m 1m 1m 2m P 2KN D C 2 求D左 D右 B左 B右截面上的內(nèi)力 第六章彎曲內(nèi)力 二梁的內(nèi)力及其求法 A B 1m 1m 1m 1m 2m P 2KN D C 截面 第六章彎曲內(nèi)力 二梁的內(nèi)力及其求法 A B 1m 1m 1m 1m 2m P 2KN D C 截面 第六章彎曲內(nèi)力 二梁的內(nèi)力及其求法 截面 A B 1m 1m 1m 1m 2m P 2KN D C 第六章彎曲內(nèi)力 二梁的內(nèi)力及其求法 截面 與截面相比 該截面的內(nèi)力只增加了約束反力 故有 亦可取梁的右側(cè)的外力簡化 但必須注意外力的符號變化 A B 1m 1m 1m 1m 2m P 2KN D C 第六章彎曲內(nèi)力 二梁的內(nèi)力及其求法 4 小結(jié) 基本規(guī)律 1 求指定截面上的內(nèi)力時 既可取梁的左段為脫離體 也可取右段為脫離體 兩者計算結(jié)果一致 方向 轉(zhuǎn)向相反 一般取外力比較簡單的一段進行分析 2 在解題時 一般在需要內(nèi)力的截面上把內(nèi)力 FQ M 假設(shè)為正號 最后計算結(jié)果是正 則表示假設(shè)的內(nèi)力方向 轉(zhuǎn)向 是正確的 解得的FQ M即為正的剪力和彎矩 若計算結(jié)果為負 則表示該截面上的剪力和彎矩均是負的 其方向 轉(zhuǎn)向 應(yīng)與所假設(shè)的相反 但不必再把脫離體圖上假設(shè)的內(nèi)力方向改過來 第六章彎曲內(nèi)力 二梁的內(nèi)力及其求法 3 梁內(nèi)任一截面上的剪力FQ的大小 等于這截面左邊 或右邊 所有與截面平行的各外力的代數(shù)和 若考慮左段為脫離體時 在此段梁上所有向上的外力會使該截面上產(chǎn)生正號的剪力 而所有向下的外力會使該截面上產(chǎn)生負號的剪力 4 梁內(nèi)任一截面上的彎矩的大小 等于這截面左邊 或右邊 所有外力 包括力偶 對于這個截面形心的力矩的代數(shù)和 第六章彎曲內(nèi)力 二梁的內(nèi)力及其求法 若考慮左段為脫離體時 在此段梁上所有向上的力使該截面上產(chǎn)生正號的彎矩 而所有向下的力會使該截面上產(chǎn)生負號的彎矩 在此段梁上所有順時針轉(zhuǎn)向的外力偶會使該截面上產(chǎn)生正號的彎矩 而所有逆時針轉(zhuǎn)向的外力偶會使該截面上產(chǎn)生負號的彎矩 5 集中力作用的截面上剪力有 跳躍 突變 其跳躍的值就是這個集中力的大小 集中力偶作用的截面上彎矩有 跳躍 其跳躍的值就是這個集中力偶的大小 第六章彎曲內(nèi)力 二梁的內(nèi)力及其求法 第六章彎曲內(nèi)力 三剪力方程與彎矩方程 剪力圖與彎矩圖 在一般情況下 梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面的位置而變化 因此 剪力和彎矩均可表示為截面位置x的函數(shù) 即 稱為剪力方程和彎矩方程 1剪力方程與彎矩方程 第六章彎曲內(nèi)力 三剪力方程與彎矩方程 剪力圖與彎矩圖 2內(nèi)力與外力的相依關(guān)系 某一截面上的內(nèi)力與作用在該截面一側(cè)局部桿件上的外力相平衡 在載荷無突變的一段桿的各截面上內(nèi)力按相同的規(guī)律變化 第六章彎曲內(nèi)力 三剪力方程與彎矩方程 剪力圖與彎矩圖 因此 必須分段列出梁的剪力方程和彎矩方程 各段的分界點為各段梁的控制截面 所謂控制截面 即外力規(guī)律發(fā)生變化的截面 集中力 集中力偶作用點 分布載荷的起點和終點處的橫截面 3控制截面的概念 第六章彎曲內(nèi)力 三剪力方程與彎矩方程 剪力圖與彎矩圖 x x 剪力圖和彎矩圖 用圖示方法形象地表示剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況 注意 必須標明控制截面上的內(nèi)力值 4剪力圖和彎矩圖 第六章彎曲內(nèi)力 三剪力方程與彎矩方程 剪力圖與彎矩圖 例題懸臂梁受力如圖所示 試列出梁的剪力方程和彎矩方程 作出梁的剪力圖和彎矩圖 并求出梁的和及其所在截面位置 取參考坐標系A(chǔ)xy 解 1 列出梁的剪力方程和彎矩方程 AB段 第六章彎曲內(nèi)力 三剪力方程與彎矩方程 剪力圖與彎矩圖 BC段 2 作梁的剪力圖和彎矩圖 P Pa 3 求和 在BC段的各截面 在AB段的各截面 第六章彎曲內(nèi)力 三剪力方程與彎矩方程 剪力圖與彎矩圖 注意 1 在列梁的剪力方程和彎矩方程時 參數(shù)x可以從坐標原點算起 也可從另外的點算起 僅需要寫清楚方程的適用范圍 x的區(qū)間 即可 2 剪力 彎矩方程的適用范圍 在集中力 包括支座反力 作用處 應(yīng)為開區(qū)間 因在該處剪力圖有突變 而在集中力偶作用處 M x 應(yīng)為開區(qū)間 因在該處彎矩圖有突變 3 若所得方程為x的二次或二次以上方程時 則在作圖時除計算控制截面的值外 應(yīng)注意曲線的凹凸向及其極值 第六章彎曲內(nèi)力 三剪力方程與彎矩方程 剪力圖與彎矩圖 例題外伸簡支梁受力如圖所示 試列出梁的剪力方程和彎矩方程 作出梁的剪力圖和彎矩圖 解 1 取參考坐標系Cxy 根據(jù)平衡條件求支座反力 第六章彎曲內(nèi)力 三剪力方程與彎矩方程 剪力圖與彎矩圖 2 列出梁的剪力方程和彎矩方程 CA段 AB段 x 第六章彎曲內(nèi)力 三剪力方程與彎矩方程 剪力圖與彎矩圖 3 作梁的剪力圖和彎矩圖 qa E 第六章彎曲內(nèi)力 三剪力方程與彎矩方程 剪力圖與彎矩圖 例1 簡支梁AB受力如圖 試作該梁的剪力圖和彎矩圖 例2 簡支梁AB受力如圖 試作該梁的剪力圖和彎矩圖 例3 復合靜定梁 試作剪力圖和彎矩圖 特點 中間鉸不能傳遞彎矩 只能傳遞力的作用 求解時先由中間鉸處拆開 化為兩個單跨梁 AD DC和CB三段剪力方程和彎矩方程如下 1 支座反力 RC由AC跨的平衡條件求得 AD DC CB 第六章彎曲內(nèi)力 四彎矩 剪力和分布荷載之間的關(guān)系 考察受任意載荷作用的梁 建立xy坐標系 規(guī)定向上的q x 為正 第六章彎曲內(nèi)力 四彎矩 剪力和分布荷載之間的關(guān)系 考察dx微段的受力與平衡 第六章彎曲內(nèi)力 四彎矩 剪力和分布荷載之間的關(guān)系 上式的物理意義 梁上任一橫截面上的剪力對x的一階導數(shù) 等于該截面處作用在梁上的分布荷載集度 上式的幾何意義 任一橫截面上的分布荷載集度 就是剪力圖上相關(guān)點處的斜率 第六章彎曲內(nèi)力 四彎矩 剪力和分布荷載之間的關(guān)系 由此式知 剪力圖曲線上一點處的斜率等于梁上相應(yīng)點處的載荷集度q 第六章彎曲內(nèi)力 四彎矩 剪力和分布荷載之間的關(guān)系 略去二階微量 得 上式的物理意義 梁上任一橫截面上的彎矩對x的一階導數(shù) 等于該截面上的剪力 上式的幾何意義 任一橫截面處的剪力 就是彎矩圖上相關(guān)點處的斜率 第六章彎曲內(nèi)力 四彎矩 剪力和分布荷載之間的關(guān)系 由此式知 彎矩圖曲線上一點的斜率等于梁上相應(yīng)截面處的剪力FQ 第六章彎曲內(nèi)力 四彎矩 剪力和分布荷載之間的關(guān)系 上式的物理意義 梁上任一橫截面上的彎矩對x的二階導數(shù) 等于同一截面處作用在梁上的分布荷載集度數(shù)學上 二階導數(shù)可用來判定曲線的凹向 因此 上式的幾何意義 可以根據(jù)對x的二階導數(shù)的正 負來定出圖的凹向 第六章彎曲內(nèi)力 四彎矩 剪力和分布荷載之間的關(guān)系 內(nèi)力FQ M的變化規(guī)律 歸納如下 載荷 水平直線 or or 上斜直線 上凸拋物線 下凸拋物線 下斜直線 剪力圖無突變 F處有尖角 斜直線 第六章彎曲內(nèi)力 四彎矩 剪力和分布荷載之間的關(guān)系 1 當梁上某段q 0時 該段剪力為常數(shù) 故剪力圖為水平直線 相應(yīng)的彎矩為x的一次函數(shù) 彎矩圖為斜直線 當FQ 0時 彎矩圖為上升斜直線 FQ 0時 彎矩圖為下降斜直線 2 當梁上某段q 常數(shù)時 該段剪力為x的一次函數(shù) 剪力圖為斜直線 相應(yīng)的彎矩為x的二次函數(shù) 彎矩圖為二次拋物線 若q 0 則剪力圖為上升斜直線 彎矩圖為凹口向上的曲線 凹孤 若q 0 則剪力圖為下降斜直線 彎矩圖為凹口向下的曲線 凸孤 3 在集中力作用處 包括支承處 剪力圖將發(fā)生突變 其突變值等于該處集中力之大小 當集中力向上時 剪力圖向上突變 沿x正向 反之 向下突變 而彎矩圖將因該處兩側(cè)斜率不等出現(xiàn)拐點 例題一外伸梁受力如圖所示 試作梁的剪力圖 彎矩圖 解 1 根據(jù)平衡條件求支座反力 第六章彎曲內(nèi)力 四彎矩 剪力和分布荷載之間的關(guān)系 2 由微分關(guān)系判斷各段的形狀 載荷 CA DB AD 斜直線 斜直線 第六章彎曲內(nèi)力 四彎矩 剪力和分布荷載之間的關(guān)系 A B 1m 1m 4m F 3KN C D 3 作 圖 4 作M 圖 CA段 DA段 3KN 4 2KN 3 8KN DB段 3KN m E x 2 2KN m 3 8KN m 第六章彎曲內(nèi)力 四彎矩 剪力和分布荷載之間的關(guān)系 例題 外伸梁 受力如圖 試畫剪力圖和彎矩圖 第六章彎曲內(nèi)力 四彎矩 剪力和分布荷載之間的關(guān)系 例題 外伸梁 受力如圖 試畫剪力圖和彎矩圖 第六章彎曲內(nèi)力 四彎矩 剪力和分布荷載之間的關(guān)系 第六章彎曲內(nèi)力 四彎矩 剪力和分布荷載之間的關(guān)系 例題 第六章彎曲內(nèi)力 四彎矩 剪力和分布荷載之間的關(guān)系 例題 第六章彎曲內(nèi)力 五平面剛架與曲桿的內(nèi)力圖 剛架 由兩根或兩根以上的桿件組成的并在連接處采用剛性連接的結(jié)構(gòu) 橫梁 立柱 當桿件變形時 兩桿連接處保持剛性 即角度 一般為直角 保持不變 在平面載荷作用下 組成剛架的桿件橫截面上一般存在軸力 剪力和彎矩三個內(nèi)力分量 第六章彎曲內(nèi)力 五平面剛架與曲桿的內(nèi)力圖 第六章彎曲內(nèi)力 五平面剛架與曲桿的內(nèi)力圖 求做圖示剛架的內(nèi)力圖 qL qL 2 qL 2 求做圖示剛架的內(nèi)力圖 2kN 8kN 24kNm 等截面折桿ABC的A端固定在墻上 自由端承受集中力F 20kN 設(shè)L1 2m L2 1m 1 450 2 900 試作折桿的剪力和彎矩圖 圖示桿AB