一種用Remez函數(shù)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法

摘 要濾波是信號(hào)處理中最基本又極為重要的技術(shù)，利用濾波器技術(shù)可以從復(fù)雜的信號(hào)中提取出所需要的信號(hào)，抑制不需要的信號(hào)。絕大多數(shù)傳感器輸出的信號(hào)，在使用過(guò)程中，都必須進(jìn)行濾波。所以濾波器是具有一定傳輸選擇特性的、對(duì)信號(hào)進(jìn)行加工處理的裝置、它允許輸入信號(hào)中的一些成分通過(guò)，抑制或衰減另一些成分。其功能是將輸入信號(hào)變換為人們所需要的輸入信號(hào)。在這個(gè)極具挑戰(zhàn)的時(shí)代中，把計(jì)算機(jī)充分運(yùn)用到教學(xué)及工程計(jì)算中，顯然具有重要的意義，而隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,計(jì)算機(jī)軟件在工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用越來(lái)越廣。本文介紹了一種用Remez函數(shù)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法，并利用MATLAB強(qiáng)大的功能進(jìn)行仿真。仿真結(jié)果表明，設(shè)計(jì)結(jié)果的各項(xiàng)性能指標(biāo)均達(dá)到較高要求，并且該方法是一種最優(yōu)化的設(shè)計(jì)方法。在同樣的技術(shù)指標(biāo)下，用這種方法得到的濾波器要比窗函數(shù)法、頻率采樣法得到濾波器的長(zhǎng)度均要小，并且克服了窗函數(shù)設(shè)計(jì)法和頻率采樣法的缺點(diǎn)，使最大誤差最小化，并在整個(gè)逼近頻段上均勻分布。關(guān)鍵詞：FIR數(shù)字濾波器；窗函數(shù)設(shè)計(jì)法；頻率采樣法；等波紋最優(yōu)化設(shè)計(jì)法；MATLAB；Remez函數(shù)AbstractFiltering is the most basic and extremely important technology in signal processing . Use Filter technology,and you can extract the signal from the complex signals and suppress unwanted signals. The vast majority of the sensor output signals, in the course, must be filtered.Thus,Filter is a signal processing device with a certain transmission select features,which allows some components of the input signals through,inhibition or attenuation of some other components. Its function is to transform the input signals to the required input signals.In this very challenging times, the computer fully applied to the teaching and engineering calculations,is clearly of great significance.With the development of computer technology, computer software is more widely applied in the field of engineering design.This article describes a Remez function of FIR digital filter design methods, and simulation using MATLABs powerful features. The simulation results show that the design results of the performance indicators to meet the higher requirements, and the method is an optimized design method. Under the same technical specifications of the filter obtained by this method than the window function method, frequency sampling method to get the length of the filter are smaller, and to overcome the shortcomings of the window function design method and frequency sampling method, the maximum error minimize and evenly distributed throughout the approximation band.Key words：FIR digital filter；window function design method；frequency sampling method；MATLAB；Remez function目 錄序 言1第1章FIR數(shù)字濾波器的基本原理及設(shè)計(jì)方法21.1窗函數(shù)設(shè)計(jì)法21.2頻率采樣設(shè)計(jì)法法21.3等波紋最優(yōu)設(shè)計(jì)法2第2章 設(shè)計(jì)步驟4第3章 性能分析比較16第4章 MATLAB的實(shí)現(xiàn)194.1 MATLAB函數(shù)介紹24.2窗函數(shù)設(shè)計(jì)法24.3等波紋法設(shè)計(jì)舉例2第5章 設(shè)計(jì)總結(jié)19參考文獻(xiàn)20致 謝21III序 言數(shù)字濾波器的輸入輸出均為數(shù)字信號(hào)，信號(hào)通過(guò)數(shù)字濾波器后，可以改變頻率成分的相對(duì)比例或?yàn)V除某些頻率成分。數(shù)字濾波器可以分為IIR數(shù)字濾波器和FIR數(shù)字濾波器。文中只介紹FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，可以根據(jù)所給定的頻率特性直接設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器。FIR數(shù)字濾波器在保證幅度特性滿足要求的同時(shí)，能夠做到嚴(yán)格的線性特性。本文分別介紹了窗函數(shù)法、頻率采樣法以及基于remez函數(shù)的最優(yōu)化方法設(shè)計(jì)FIR濾波器，其中詳細(xì)介紹了等波紋最優(yōu)化設(shè)計(jì)法。在文中對(duì)FIR濾波器進(jìn)行了詳細(xì)的理論分析，并且對(duì)應(yīng)于每種方法都給出了設(shè)計(jì)實(shí)例。通過(guò)編寫MATLAB語(yǔ)言程序，運(yùn)行程序，得到幅頻和相頻特性圖。窗函數(shù)法和頻率采樣法都是容易理解和實(shí)現(xiàn)的。然而他們都存在某些缺陷。而等波紋最優(yōu)化設(shè)計(jì)法卻能夠在最大程度上彌補(bǔ)這些缺陷，并且能夠利用計(jì)算機(jī)和MATLAB工具方便的進(jìn)行模擬和仿真，大大提高了工作效率，本文將對(duì)其原理及實(shí)現(xiàn)方法進(jìn)行詳細(xì)的介紹。- 0 -第一章 FIR數(shù)字濾波器的基本原理及設(shè)計(jì)方法有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器（FIRDF，F(xiàn)inite Impulse Response Digital Filter）的最大優(yōu)點(diǎn)是可以實(shí)現(xiàn)線性相位濾波。而IIRDF主要對(duì)幅頻特性進(jìn)行逼近，相頻特性會(huì)存在不同程度非線性。我們知道，無(wú)失真?zhèn)鬏斉c濾波處理的條件是，在信號(hào)的有效頻譜范圍內(nèi)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)為常數(shù)，相頻響應(yīng)具有線性相位。在數(shù)字通信和圖像處理與傳輸?shù)葢?yīng)用場(chǎng)合都要求濾波器具有線性相位特性。另外FIRDF是全零點(diǎn)濾波器，硬件和軟件實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，不用考慮穩(wěn)定性問(wèn)題。所以，F(xiàn)IRDF是一種很重要的濾波器，在數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。當(dāng)幅頻特性指標(biāo)相同時(shí)，F(xiàn)IRDF的階數(shù)比IIRDF高的多，但是同時(shí)考慮幅頻特性指標(biāo)和線性相位要求時(shí)，IIRDF要附加復(fù)雜的相位校正網(wǎng)絡(luò)，而且難以實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格線性相位特性。所以，在要求線性相位濾波的應(yīng)用場(chǎng)合，一般都用FIRDF。FIRDF的設(shè)計(jì)方法主要有兩類：第一類是基于逼近理想濾波器特性的方法，包括窗函數(shù)法，頻率采樣法和等波紋最佳逼近法。第二類是最優(yōu)設(shè)計(jì)法，我們主要討論第一類設(shè)計(jì)法，側(cè)重與濾波器的設(shè)計(jì)方法和相應(yīng)的MATLAB工具箱函數(shù)的介紹。 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法有窗函數(shù)法、頻率采樣法和基于remez函數(shù)的最優(yōu)化方法。MATLAB語(yǔ)言中的數(shù)字信號(hào)處理工具箱，提供了一些濾波器的函數(shù)，使FIR濾波器的運(yùn)算更加方便和快捷。在MATLAB中提供的濾波函數(shù)有fir1,此函數(shù)以經(jīng)典的方法實(shí)現(xiàn)加窗線性相位FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，可以設(shè)計(jì)出低通、高通、帶通和帶阻濾波器；fir2函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR濾波器，其濾波的頻率特性由矢量f和m決定，f和m分別為濾波器的期望幅頻響應(yīng)的頻率相量和幅值相量。firl和remez的基本格式用于設(shè)計(jì)I型和II型線性相位FIR濾波器，I型和II型的區(qū)別是偶函數(shù)還是奇函數(shù)。freqz()用于求數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)。并且提供了各種窗函數(shù)的函數(shù)，比如，hamming()是海明窗函數(shù)，hanning()是漢寧窗函數(shù)，kaiser()是凱澤窗函數(shù)，使在設(shè)計(jì)的過(guò)程中，不用自己重新設(shè)計(jì)窗函數(shù)。1.1 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器設(shè)我們所要設(shè)計(jì)的FIR濾波器的傳輸函數(shù)是(e),(n)是與其對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)，因此 （1-1） （1-2)如果我們能夠在已知的情況下，求出，經(jīng)過(guò)Z變換可得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。通常情況下理想數(shù)字濾波器的單位脈沖相應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng)的，且是非因果序列。獲得有限脈沖響應(yīng)濾波器的一種可能方法是對(duì)截取一段來(lái)近似代替，可是這樣會(huì)改變?cè)瓉?lái)的濾波器指標(biāo)，出現(xiàn)吉布斯效應(yīng)誤差。窗函數(shù)法就是用被稱為窗函數(shù)的有限加權(quán)序列w(n)來(lái)修正式(1)的傅里葉基數(shù)以求得要求的有限脈沖響應(yīng)序列，即 （1-3）w(n)是有限長(zhǎng)序列，當(dāng)nN-1時(shí)，w(n)=0。這種方法的重點(diǎn)在于選擇某種合適的窗函數(shù)。要求窗函數(shù)主瓣寬度盡可能窄，以獲得最小的過(guò)渡帶；旁瓣相對(duì)值盡可能小，以使得通帶波紋小，并且阻帶衰減大。下面介紹幾種常用的窗函數(shù)：1.矩形窗(Rectangle Window) （1-4）2.三角形窗(Bartlett Window) （1-5）3.漢寧(Hanning)窗，又稱升余弦窗 （1-6）4.漢明(Hamming)窗，又稱改進(jìn)的升余弦窗 （1-7）5.布萊克曼(Blankman)窗，又稱二階升余弦窗 （1-8)6.凱澤(Kaiser)窗 （1-9）其中：是一個(gè)可自由選擇的參數(shù)，I0( x)是第一類修正零階貝塞爾函數(shù).貝塞爾函數(shù)的相關(guān)公式均可在教材中查找。上述窗函數(shù)的基本參數(shù)如下表窗函數(shù)旁瓣峰值幅度/db過(guò)渡帶寬阻帶最小衰減/db矩形窗-134/N-21三角形窗-268/N-25漢寧窗-318/N-44漢明窗-408/N-53布萊克曼窗-5712/N-74凱澤窗-5710/N-80窗函數(shù)法設(shè)計(jì)濾波器的步驟：1）根據(jù)技術(shù)要求確定待求濾波器的單位取樣響應(yīng)。2）根據(jù)對(duì)過(guò)渡帶和阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度N。3）計(jì)算濾波器的單位取樣響應(yīng)h(n)： （3-16)式中,是前面所選擇好的窗函數(shù)。4）檢驗(yàn)技術(shù)指標(biāo)是否滿足要求。根據(jù)下式計(jì)算： (3-17)如果不滿足要求，根據(jù)具體情況重復(fù)步驟(2)(3)(4)步，直到滿足要求為止。本文以一個(gè)FIR濾波器的設(shè)計(jì)為例說(shuō)明如何使用MATLAB設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)實(shí)例：用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位FIR低通數(shù)字濾波器，要求通帶截止頻率Wp=0.4,阻帶截止頻率Ws=0.5, 通帶衰減不大于3db，阻帶衰減不小于40db。程序如下：Wp=0.4*pi;Ws=0.5*pi;Wdel=Ws-Wp;N=ceil(8*pi/Wdel);Wn=(0.4+0.5)*pi/2;window=hanning(N+1);b=fir1(N,Wn/pi,window);freqz(b,1,512)程序執(zhí)行后得幅頻和相頻如下圖所示： 圖1.11.2 頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器這種設(shè)計(jì)方法依據(jù)的是系統(tǒng)函數(shù)能夠從頻率響應(yīng)的樣本中求得這樣一個(gè)事實(shí)。再者，這種設(shè)計(jì)方法非常適合頻率采樣型結(jié)構(gòu)。對(duì)理想濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Hd(z)進(jìn)行頻率采樣以得到系統(tǒng)的理想頻響Hd(ejw)的等間隔采樣值H(k)。H(k)實(shí)際上是所要求的濾波器的單位采樣響應(yīng)(h(n)的離散傅里葉變換（DFT），如下式： (3-18) (3-19)為了減小H（k）的通帶邊緣由于抽樣點(diǎn)的變化而引起的起伏振蕩，可以增加過(guò)渡點(diǎn)，加寬過(guò)渡帶以減小通帶的起伏。每一個(gè)抽樣值產(chǎn)生一個(gè)與sin()/sin()成正比，并位移（2k）/N的頻率響應(yīng)，而H（k）與內(nèi)插函數(shù)的線性組合就是FIR濾波器的頻率響應(yīng)，增加一點(diǎn)過(guò)渡可以使阻帶衰減提高到-4454dB,二點(diǎn)過(guò)渡衰減-6575,三點(diǎn)過(guò)渡衰減-8595dB.如果不能使過(guò)渡帶太寬，同時(shí)要求增大阻帶衰減，可以增加取樣點(diǎn)數(shù)N，但這樣會(huì)增加計(jì)算量、延時(shí)和誤差。頻率取樣型FIR濾波器設(shè)計(jì)步驟：(1)給定理想濾波器頻率響應(yīng)。(2)根據(jù)過(guò)渡帶寬和阻帶衰減確定過(guò)渡點(diǎn)數(shù)和h(n)的長(zhǎng)度N。 (3-20)(3)由IFFT計(jì)算IDFT得到： (3-21)設(shè)計(jì)實(shí)例：用頻率采樣法設(shè)計(jì)一個(gè)帶通濾波器，滿足：低阻帶邊緣：w1s=0.2*;低通帶邊緣：w1p=0.35*;高通帶邊緣：w2p=0.65*;高阻帶邊緣：w2s=0.8*。設(shè)計(jì)過(guò)渡帶中的頻率樣本值為t1和t2，取t1=0.109021,t2=0.59417456。設(shè)計(jì)程序如下：M=40;al=(M-1)/2;l=0:M-1;t1=0.109021;t2=0.59417456;Hrs=zeros(1,5),t1,t2,ones(1,7),t2,t1,zeros(1,9),t1,t2,ones(1,7),t2,t1,zeros(1,4);k1=0:floor(M-1)/2);k2=floor(M-1)/2)+1:M-1;angh=-al*(2*pi)/M*k1,al*(2*pi)/M*(M-k2);H=Hrs.*exp(j*angh);h=real(ifft(H,M);freqz(h,1,512,1000)實(shí)驗(yàn)得幅頻相頻特性如下圖所示： 圖1.21.3等波紋最優(yōu)化方法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器在數(shù)字信號(hào)處理中, 利用數(shù)字濾波器可改變信號(hào)中所含頻率分量的相對(duì)比例或?yàn)V除某些頻率分量, 使其達(dá)到所需要的效果. 其中數(shù)字FIR 濾波器由于具有精確的線性相位, 且系統(tǒng)穩(wěn)定, 所以廣泛應(yīng)用于通信、數(shù)字圖象處理、語(yǔ)音信號(hào)處理、自適應(yīng)處理、雷達(dá)/ 聲納系統(tǒng)等方面. 目前, FIR 濾波器的設(shè)計(jì)方法主要有窗函數(shù)設(shè)計(jì)法和頻率采樣設(shè)計(jì)法. 但是, 這2種方法都不易精確控制通帶邊界頻率p與阻帶邊界頻率s ,所以, 在實(shí)際應(yīng)用中具有一定的局限性.與窗函數(shù)和頻率采樣法比較，由于這種設(shè)計(jì)法使最大誤差均勻化，所以設(shè)計(jì)的濾波器性能價(jià)格比最高。階數(shù)相同時(shí)，這種設(shè)計(jì)法使濾波器的最大逼近誤差最小，即通帶最大衰減最小，阻帶最小衰減最大；指標(biāo)相同時(shí)，這種設(shè)計(jì)法使階數(shù)最低。第二章 設(shè)計(jì)步驟等波紋濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法主要有2 種,第 1 種是離散最小二乘法. 它的思路是在給定的一些離散點(diǎn)上,使實(shí)際的幅頻特性和理想幅頻特性之間的誤差的平方和為最小. 第 2 種是最優(yōu)化等波紋設(shè)計(jì)法,也稱為雷米茲法或切比雪夫逼近法. 該類型濾波器幅頻特性在通帶和阻帶上的誤差峰值是均勻分布的,其誤差具有等波紋特性,因而把波紋的幅度控制到最小, 或在同等指標(biāo)下減小它的階次. 第 1 種方法是連續(xù)最小的平方法的推廣, 容易理解,但它的指標(biāo)與濾波器沒(méi)有直接關(guān)聯(lián),誤差平方小的濾波器不能保證沒(méi)有窄而大的波紋出現(xiàn),像吉布斯效應(yīng) 那樣. 第 2 種方法直接控制通帶波動(dòng)和阻帶衰減, 最具針對(duì)性,是濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法. 因此,采用 MATLAB信號(hào)處理工具箱提供的函數(shù),運(yùn)用最優(yōu)化等波紋設(shè)計(jì)法實(shí)現(xiàn)數(shù)字FIR濾波器的設(shè)計(jì)和仿真.。下面首先構(gòu)造一種最大值最小的最優(yōu)FIR濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題，并討論在線性相位FIR濾波器的振幅響應(yīng)中能夠得到的最大值和最小值的總數(shù)。利用這個(gè)然后討論一般等波紋FIR濾波器設(shè)計(jì)算法，這種算法對(duì)其解利用多項(xiàng)式內(nèi)插，該算法即是Parks-McClellan算法。最大值最小問(wèn)題的確立 對(duì)于線性相位FIR數(shù)字濾波器的4種情況，其加權(quán)誤差表示為E()=W()Hd()-P()，在S內(nèi)?？梢宰C明，切比雪夫近似問(wèn)題能定義為：確定一組系數(shù)a(n),使在通帶和阻帶內(nèi)E（）的最大絕對(duì)值最小，即minmax丨E()丨現(xiàn)在已經(jīng)成功的給定了準(zhǔn)確的p, s, 1, 2;另外，誤差在通帶和阻帶內(nèi)都能均勻分布了。極值數(shù)目的限制對(duì)于一個(gè)給定的M點(diǎn)濾波器來(lái)說(shuō)，在誤差函數(shù)E()內(nèi)存在多少局部最大值和最小值？這一信息被Parks-McClellan算法用來(lái)得到多項(xiàng)式內(nèi)插。由P()的多項(xiàng)式特性，我們得到E()在S內(nèi)至多有L+3個(gè)極值。另，由交錯(cuò)點(diǎn)定理，最優(yōu)等波紋濾波器在S內(nèi)的誤差函數(shù)不是有(L+2)個(gè)就是(L+3)個(gè)交錯(cuò)點(diǎn)。其中，大多數(shù)等波紋濾波器有(L+2)個(gè)交錯(cuò)點(diǎn)。然而對(duì)于某些p和s的組合，能夠得到(L+3)個(gè)交錯(cuò)點(diǎn)。Parks-McClellan算法交錯(cuò)點(diǎn)定理確保最大值最小近似問(wèn)題的解存在且是唯一的，但是它并沒(méi)有告訴我們?nèi)绾吻筮@個(gè)解。我們既不知道長(zhǎng)度M，也不知道極值頻率i，也不知道參數(shù)(n)，也不知道最大誤差。該算法利用Remez交換算法提供了一種迭代解。它假定濾波器長(zhǎng)度M和比值2/1已知，如已選取加權(quán)函數(shù)，并正確的選取了階數(shù)M，那么得到解時(shí)=2。顯然，和M是相互關(guān)聯(lián)的；M越大，越小。在濾波器設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)中，p，s，1，2是已知的，因此，M需先假定知道。所幸，由凱斯公式Parks 和McClellan 算法首先猜設(shè)( L + 2)個(gè)極值頻率i，估計(jì)極值頻率上的最大誤差及其i，由這些新的頻率點(diǎn)擬合出一個(gè)新的L 階多項(xiàng)式，重復(fù)以上過(guò)程，直到找出最優(yōu)集i和全局最大波紋系數(shù)為止. 迭代結(jié)果得到多項(xiàng)式系數(shù)(n) ,最后算出濾波器脈沖響應(yīng) h(n) .由于M是近似的, 可能不等于2 . 若2 ,則增加M，若2 ,則減小M,然后再次用Remez 算法確定一個(gè)新的.重復(fù)此過(guò)程, 直至2,這樣就可得到等波紋濾波器.第三章性能分析比較分別采用窗口法、頻率取樣法和等波紋最優(yōu)化設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字FIR低通濾波器，其指標(biāo)要求為： p=0.2，Rp=0.25dB；s=0.3，As=50dB 選取Hamming窗函數(shù)，它給出比較小的過(guò)渡帶，因此階數(shù)較低。MATLAB腳本省略。其幅頻響應(yīng)如下： 圖3.1頻率采樣法所得幅頻響應(yīng)圖像如下： 圖3.2 采用等波紋最優(yōu)化設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)該低通濾波器，其幅頻響應(yīng)如下： 圖1.5比較以上三種濾波器的設(shè)計(jì)方法，在同樣的階數(shù)下，優(yōu)化設(shè)計(jì)可以獲得最佳的頻率特性和衰耗特性，具有通帶和阻帶平坦，過(guò)渡帶窄等優(yōu)點(diǎn)。頻率取樣法設(shè)計(jì)過(guò)程簡(jiǎn)單，但阻帶衰減明顯，若適當(dāng)選取過(guò)渡帶樣點(diǎn)值，會(huì)取得較窗口法略好的衰耗特性。窗口設(shè)計(jì)法在階數(shù)較低時(shí)，阻帶特性不滿足設(shè)計(jì)要求，只有當(dāng)濾波器階數(shù)較高時(shí)，使用哈明窗和凱塞窗基本可以達(dá)到阻帶衰耗要求。FIR 濾波器以其穩(wěn)定和容易實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格的線性相位，使信號(hào)處理后不產(chǎn)生相位畸變，而在實(shí)際中獲得廣泛的應(yīng)用。第四章MATLAB的實(shí)現(xiàn)4.1MATLAB函數(shù)介紹1 Remez函數(shù)采用remez算法實(shí)現(xiàn)線性相位FIR數(shù)字濾波器的等波紋最優(yōu)化設(shè)計(jì)。其調(diào)用格式為：hn=remez(M，f，m，w)返回單位脈沖響應(yīng)響亮hn。調(diào)用參數(shù)含義如下：M：FIRDF階數(shù)，hn長(zhǎng)度為N=M+1。f和m：給出希望逼近的幅度特性。f為邊界頻率向量，0f1，要求為f為單調(diào)增向量（即f(k)f（k+1），而且從0開始，以1結(jié)束，1對(duì)應(yīng)數(shù)字頻率=（或模擬頻率Fs2，F(xiàn)s表示時(shí)域采樣頻率）。m是與f對(duì)應(yīng)的幅度向量，m與f長(zhǎng)度相等，m（k）表示頻點(diǎn)f(k)的頻響應(yīng)值。如果用命令Plot（f,m）畫出幅頻響應(yīng)曲線，則k為奇數(shù)時(shí)，頻段f(k),f(k+1)上的幅頻響應(yīng)就是期望逼近的幅頻響應(yīng)值，頻段f（k+1），f（k+2）為無(wú)關(guān)區(qū)。簡(jiǎn)言之，Plot（f，m）命令畫出的幅頻響應(yīng)就是期望逼近的幅頻響應(yīng)值，頻段f（k+1），f（k+2）為無(wú)關(guān)區(qū)。簡(jiǎn)言之，Plot(f,m)命令畫出的幅頻響應(yīng)曲線中，起始頻段為第一段，奇數(shù)頻段為逼近區(qū)，偶數(shù)頻段為無(wú)關(guān)區(qū)。除了設(shè)計(jì)選頻FIRDF，remez函數(shù)還可以設(shè)計(jì)兩種特殊濾波器，調(diào)用格式如下。設(shè)計(jì)希爾伯特變換器的調(diào)用格式為：hn=remez（M，f，m，w，hilbert）hn具有奇對(duì)稱特性：hn(n)= -hn（M+1-n）。在邊界頻率向量f給定的通帶上希望幅度逼近常數(shù)1.一般f=a,b，m=1,1,且f中第一個(gè)邊界頻率a不能為0，必須滿足0ab1.這是因?yàn)橄柌刈儞Q器屬于第二類線性相位濾波器，且濾波器長(zhǎng)度N為奇數(shù)，所以只能實(shí)現(xiàn)帶通濾波器。設(shè)計(jì)數(shù)字微分器調(diào)用格式為：hn=remez（M,f,m,w,defferentiator）Remez函數(shù)的調(diào)用參數(shù)（M，f，m，w），一般都是調(diào)用remezord函數(shù)來(lái)計(jì)算。2.remezord功能：根據(jù)逼近指標(biāo)估算等波紋最佳逼近FIRDF的最低階數(shù)m、誤差加權(quán)向量M和歸一化邊界頻率向量f，從而是濾波器在滿足指標(biāo)的前提下造價(jià)最低。其返回參數(shù)作為remez函數(shù)的調(diào)用參數(shù)。其調(diào)用格式為： M，fo，mo，w=remezord（f，m，rip，F(xiàn)s） 參數(shù)說(shuō)明如下。 返回參數(shù)作為remez函數(shù)的調(diào)用參數(shù)，設(shè)計(jì)的濾波器可以滿足由參數(shù)f，m，rip和Fs滿足的指標(biāo)。f與remez中類似，這里f可以是模擬頻率（Hz）或歸一化數(shù)字頻率，但必須以0開始，以Fs2（用歸一化頻率時(shí)對(duì)應(yīng)1）結(jié)束，而且其中省略了0和Fs2兩個(gè)頻點(diǎn)。Fs為采樣頻率，缺省時(shí)默認(rèn)Fs=2Hz。但是這里f的長(zhǎng)度（包括省略的0和Fs2兩個(gè)頻點(diǎn)）是m的兩倍，即m中的每個(gè)元素表示f給定的一個(gè)逼近頻段上希望逼近的幅度。 注意：省略Fs時(shí)，f中必須為歸一化頻率。有時(shí)估算的階數(shù)M略小，使設(shè)計(jì)結(jié)果達(dá)不到指標(biāo)要求，這時(shí)要取M+1或M+2（必須注意對(duì)濾波器長(zhǎng)度N=M+1的奇偶性要求）。所以必須檢驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果。如果無(wú)關(guān)區(qū)（過(guò)渡帶）太窄，或截止頻率接近零頻率和FS2時(shí)，設(shè)計(jì)結(jié)果不正確。 rip表示f和m描述的各逼近頻段允許的波紋振幅（幅頻響應(yīng)最大偏差），f的長(zhǎng)度是rip的兩倍。 一般以N,fo,mo,w=remezord（f,m,rip,Fs）返回的參數(shù)作為remez的調(diào)用參數(shù)，計(jì)算單位脈沖響應(yīng)：hn=remez（N，fo,mo,w），對(duì)比前面介紹的remez調(diào)用參數(shù)，可清楚地看出remezord返回參數(shù)N，fo,mo和w的含義。 綜上所述，調(diào)用remez和remezord函數(shù)設(shè)計(jì)線性相位FIRDF，關(guān)鍵是根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)求出remezord函數(shù)的調(diào)用參數(shù)f,m,rip和Fs，其中Fs一般是題目給定的，或根據(jù)實(shí)際信號(hào)處理要求（按照采樣定理）確定。 下面給出由給定的各種濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)確定remezord調(diào)用參數(shù)f,m,和rip的公式，編程時(shí)直接套用即可。 低通濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)逼近通帶：0，p，通帶最大衰減：pdB；逼近阻帶：s，阻帶最小衰減：sdB。remezord調(diào)用參數(shù)：f=p，s，m= 1，0，rip= 1，2其中，f向量省去了起點(diǎn)頻率0和終點(diǎn)頻率1，1和2分別為通帶和阻帶波紋幅度，由通帶波紋及阻帶衰減的相應(yīng)公式均可換算得到，下面相同。 高通濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)逼近通帶：p，通帶最大衰減：pdB；逼近阻帶：0，s，阻帶最小衰減：sdB。remezord調(diào)用參數(shù)： f= s，p，m= 0，1，rip= 2，1 帶通濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)逼近通帶：p1，pu，通帶最大衰減：pdB；逼近阻帶：0，s1，su，阻帶最小衰減：sdB。remezord調(diào)用參數(shù)： f= s1，p1，pu，us，m= 0，1，0，rip= 2，1，2。 帶阻濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)逼近阻帶：s1，su，阻帶最大衰減：sdB；逼近阻帶：0，p1，pu,，通帶最小衰減：pdB。remezord調(diào)用參數(shù)： f= p1，s1，su，pu，m= 1，0，1，rip= 1，2，1。4.2設(shè)計(jì)舉例利用等波紋最優(yōu)化設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)FIR帶通濾波器，其指標(biāo)如下：阻帶下截止頻率s=0.2，通帶下截止頻率p=0.35，通帶上截止頻率p=0.65, 阻帶上截止頻率s=0.8,通帶最大衰減p=1dB,阻帶最小衰減s=60dB。解：調(diào)用remezord和remez函數(shù)求解。由調(diào)用格式知道，首先要根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)確定remezord函數(shù)的調(diào)用參數(shù)，在直接編寫程序調(diào)用remezord和remez函數(shù)設(shè)計(jì)得到h(n)。將設(shè)計(jì)指標(biāo)帶入響應(yīng)公式得到remezord函數(shù)的調(diào)用參數(shù)。其MATLAB程序較為繁瑣，省略不寫，時(shí)域及頻域圖如下：圖4.1程序運(yùn)行結(jié)果：M=28.即h(n)的長(zhǎng)度N=29。h(n)及其耗損函數(shù)曲線如圖7.4.5所示。而用窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR濾波器的階數(shù)為80，由此例可見(jiàn)，等波紋最佳逼近法可以使濾波器的階數(shù)大大降低。FIR希爾伯特變換器在頻帶0.050.95內(nèi)設(shè)計(jì)一個(gè)希爾伯特變換器。解：因?yàn)檫@是一個(gè)寬帶希爾伯特變換器，要為該濾波器選取一個(gè)奇數(shù)長(zhǎng)度，現(xiàn)選取M=51。其MATLAB程序如下：f=0.05,0.95;m=1,1;h=remez(50,f,mhilbert);db,mag,pha,grd,w=freqz_m(h,1);subplot(2,1,1);stem(0:50,h);title(Impulse Response);xlabel(n);ylabel(h(n);axis(0,50,-0.8,0.8);set(gca,XTickMode,manual,XTick,0,50)set(gca,YTickMode,manual,YTick,-0.8:0.2:0.8);subplot(2,1,2);plot(w/pi,mag);title(Magnitude Respo