初中數(shù)學(xué)中最短問題的探究.doc

距離最短問題專題探究EA DB CNM2010寧德第25題：如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60得到BN，連接EN、AM、CM. 求證：AMBENB； 當(dāng)M點(diǎn)在何處時，AMCM的值最小；當(dāng)M點(diǎn)在何處時，AMBMCM的值最小，并說明理由；FEA DB CNM 當(dāng)AMBMCM的最小值為時，求正方形的邊長.分析：本題在最短矩離這一問題中，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，綜合考查學(xué)生幾何、代數(shù)知識的運(yùn)用能力。整個過程充分顯示了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知的一般過程：認(rèn)知論證應(yīng)用。本題的難點(diǎn)在距離最小。第一小問設(shè)計由簡單的三角形全等的證明讓學(xué)生得出邊之間的相等關(guān)系，這里隱藏著由旋轉(zhuǎn)角60得出的等邊三角形，從而得出BM=MN；第二小問設(shè)計的是一個探究過程，讓學(xué)生綜合學(xué)習(xí)過的基本數(shù)學(xué)知識進(jìn)行探索，看學(xué)生對“兩點(diǎn)之間，線段最短”的掌握，要求學(xué)生具備轉(zhuǎn)化能力，建模能力等；第三小問的設(shè)計主要是將所探究的結(jié)論進(jìn)行運(yùn)用，拓展，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想理念。整個過程體現(xiàn)了特殊問題中的一般規(guī)律，是數(shù)學(xué)知識和問題解決方法的一種自然回歸。是近幾年中考壓軸題的基本模型?，F(xiàn)在我們將一起探索距離最短這一專題。其實(shí)這一類歸根結(jié)底還是“兩點(diǎn)之間，線段最短”的應(yīng)用。我們要緊緊抓住這一點(diǎn)，以題變解題思維不變來應(yīng)對這一類題型。例一、（）在直線l的異側(cè)有A、B兩點(diǎn)，在直線l求點(diǎn)P，使AP+BP最小。（）在直線l的同側(cè)有A、C兩點(diǎn)，在直線l求點(diǎn)P，使AP+CP最小。分析：要解決這個問題，找出點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連結(jié)交直線于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是到A、B兩村莊的距離之和最短的點(diǎn)的位置。理由 根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知,如果另外任選一點(diǎn)（異于P），連結(jié)在中，即因此，為最短由此可見，軸對稱幫我們找到了符合要求的點(diǎn)的位置。例二、如圖，點(diǎn)P在AOB內(nèi)部，且AOB度數(shù)為45,OP=2cm,在射線OA、OB上找點(diǎn)C、D，使PC+CD+DP之和最小。分析：首先主導(dǎo)思想還是“兩點(diǎn)之間，線段最短”，解決方法可以利用軸對稱找到兩個對稱點(diǎn)，使得三角形的三邊之和最短問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”。思考:你能求得出PC+CD+DP之和最小為多少嗎？例三、（1）如圖1，等腰直角三角形ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點(diǎn)，P是AC邊上的一動點(diǎn)，則PB+PE的最小值為 ；（2）幾何拓展：如圖2, ABC中，AB=2，BAC=30,若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N使BM+MN的值最小，求這個最小值；（3）代數(shù)應(yīng)用：求代數(shù)式（0x4）的最小值.分析：第一步，利用軸對稱，很容易找到B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)B,然后連接BC就可。第二步，利用作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B，過B作BNAB于N，交AC于M.此時BM+MN的值最小. 第三步，構(gòu)造圖形如圖所示其中：AB=4，AC=1，DB=2，AC=x，CAAB于A，DBAB于B.那么PC+PD=所求的最小值就是求PC+PD的最小值.ABCDDOP例四、如圖，AC、BD為正方形ABCD對角線，相交于點(diǎn)O,點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，連長為2cm,在BD上找點(diǎn)P，使DP+CP之和最小。分析： 利用軸對稱性可知A、C為對稱點(diǎn)，連接AD交BD于點(diǎn)，連接PC，易知，AP=PC,則PD+PC=AP+PD=AD.在直角三解形ABD中，AB=2cm,BD=1cm,則AD=cm.例五圓O內(nèi)點(diǎn)P和圓上哪一點(diǎn)的距離最小，理由是什么。分析：過點(diǎn)P作直徑AB,則AP、BP中較短者即為點(diǎn)P到圓的最短距離。理由也是由“兩點(diǎn)之間，線段最短”得出的“三角形中，兩邊之和大于第三邊”推出的。例六例5. 如圖，村莊A、B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸a、b彼此平行，現(xiàn)在要建設(shè)一座與河岸垂直的橋CD，問橋址應(yīng)如何選擇，才能使A村到B村的路程最近？ 作法：設(shè)a、b的距離為r。 把點(diǎn)B豎直向上平移r個單位得到點(diǎn)B； 連接AB，交a于C；過C作CDb于D； 連接AC、BD。 證明：BBCD且BBCD， 四邊形BBCD是平行四邊形，CBBD ACCDDBACCBBBABBB 在a上任取一點(diǎn)C，作CD，連接AC、DB，CB 同理可得ACCDDBACCBBB 而ACCBA BACCDDB最短。本題是研究ACCDDB最短時的C、D的取法，而是定值，所以問題集中在研究ACDB最小上。但AC、DB不能銜接，可將BD平移BC處，則ACDB可轉(zhuǎn)化為ACCB，要使ACCB最短，顯然，A、C、B三點(diǎn)要在同一條直線上。舉一反三：如圖，A、B是直線a同側(cè)的兩定點(diǎn)，定長線段PQ在a上平行移動，問PQ移動到什么位置時，AP+PQ+QB的長最短？還有立體圖形上點(diǎn)點(diǎn)之間的距離最短問題，則可以把問題能過展開圖，把立體