高中數(shù)學解題思想方法技巧全集4__關(guān)羽開門__刀舉成功.doc

第4 關(guān)羽開門 刀舉成功計名釋義關(guān)羽不同于諸葛. 諸葛是智星，靠著扇子；關(guān)羽是武士，用的大刀. “過關(guān)斬將”用這大刀，“水淹七軍”用這大刀. 數(shù)學上的“分析”、“分解”、“分割”等，講的都是刀工. 關(guān)羽的“切瓜分片”是什么意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再難的數(shù)學題，經(jīng)過這七刀、八刀，最后不就粉碎了嗎！典例示范例1 （2006年四川卷第19題）如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，E、P分別是BC、A1D1的中點，M、N分別是AE、CD1的中點，AD=AA1=a，AB=2a.（）求證：MN面ADD1A1；（）求二面角PAED的大小；（）求三棱錐PDEN的體積.分析 這是個長方體，而“長”正好是“寬”和“高”的2倍，這正是“關(guān)羽開門”的對象：用刀從中一劈，則分成2個相等的正方體. 對于正方體，我們該多么熟悉?。∮嘘P(guān)線段的長度，各線段間的位置關(guān)系，我們都了如指掌.解 取D1C1的中點Q ，過Q和MN作平面QRST. 顯然，M、N都在這平面里.易知QN和SM都平行于平面BCC1B1MNBCC1B1MN面ADD1A1（證畢）.插語 其所以這么簡單，是因為我們對正方體熟悉. 正方體從何而來，感謝關(guān)羽的大刀之功. 以后的（）和（），都可轉(zhuǎn)化到正方體里進行（從略）.【例2】 (04重慶卷題21)設p0是一常數(shù)，過點Q（2p，0）的直線與拋物線y2=2px交于相異兩點A、B，以線段AB為直徑作圓H（H為圓心）.（）試證：拋物線頂點在圓H的圓周上；（）并求圓H的面積最小時直線AB的方程.【分析】 （）AB是圓H的直徑，欲證拋物線的頂點在圓上，有如下各種對策：（1）證|OH|=|AB|.(2)證|OA|2+|OB|2=|AB|2（3）證AOB=90,即OAOB，等.顯然，利用向量知識證=0,當為明智之舉.【解答】 （）當ABx軸時，直線AB的方程為x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=2p,|AB|=|y1-y2|=4p.顯然，滿足|OQ|=|AB|,此時Q、H重合,點Q在H上.如直線AB與x軸不垂直，設直線AB：y=tan(x-2p),x=,代入：y=tan-2ptan.即tany2-2py-4p2tan=0.此方程有不同二實根y1y2,y1+y2=,y1y2=-4p2. =x1x2+y1y2=+y1y2=-4p2=0.,故點O仍在以AB為直徑的圓上.【分析】 ()為使圓面積最小只須圓半徑取到最小值，為此不可避免的要給出直徑AB之長的函數(shù)表達式，直觀上我們已可推測到當ABx軸時，弦AB之長最短(這就是論證方向)，為此又有多種途徑:(1)用直線的點斜式與拋物線方程聯(lián)立，得關(guān)于x（或y）的一元二次方程，利用韋達定理寫出|AB|2的函數(shù)式，再用二次函數(shù)或均值不等式的知識求其最值.(2)用直線的參數(shù)方程與拋物線方程聯(lián)立，得關(guān)于參數(shù)t的一元二次方程，利用韋達定理寫出|AB|2=（t1-t2）2的函數(shù)表達式，再依正、余弦函數(shù)的有界性求其最值.這兩種方法各有優(yōu)長，但都須牽涉到兩個變量x,y,以下我們推薦，利用投影公式得出的|AB|函數(shù)式，只牽涉一個變量.【解答】（）直線AB的傾角為,當=90時，H的半徑為2p,SH=4p2.當90時，不妨設0,)，則綜上，|AB|min=4p,當且僅當=90時，（SH）min=4p2,相應的直線AB的方程為：x=2p.別解：由（1）知恒有AOB=90.|2=| =2x1x2+2p(x1+x2)2x1x2+4p.y1y2=-4p2,x1x2=于是|216p2,| |min=4p.當且僅當x1=x2=2p時，SH=4p2.【點評】 斧子開門，只要你說要進去，直接在墻上打洞最直接了.對應訓練1.已知函數(shù)f(x)=a1x+a2x2+a3x3+anxn,nN+,且a1,a2,，an構(gòu)成一個數(shù)列an,滿足f(1)=n2.(1)求數(shù)列an的通項公式，并求之值.(2)證明0f1.2.矩形ABCD中,AB=6,BC=2,沿對角線BD將ABD向上折起，使點A移到點P,并使點P在平面BCD上的射影O在DC上(如圖所示).(1)求證:PDPC;(2)求二面角PDBC的大小.參考答案1.分析： (1)an的各項是f(x)展開式中各項的系數(shù)，故其各項和Sn=f(1).(2)可以預見:f展開式的各項是系數(shù)成等差，字母成等比的綜合數(shù)列，這種數(shù)列的求和方法是“錯項相減”.(3)f的解析式必含變量n,為判斷其范圍可考慮用求導法判斷其單調(diào)性.解答： (1)f(1)=a1+a2+an=n2,即Sn=n2,an=Sn-Sn-1=2n-1,=；(2)由(1)知an=2n-1.f=1 -:f = = =1-設g(x)=,g(x)=3-x+(x+1)3-xln3 (-1)=.g(x)是R+上的減函數(shù)，從而g(n)是N+上的減函數(shù)，g(n)max=g(1)=,又當n時,g(n)0,從而f.2.分析:圖形經(jīng)過翻折(或平移、旋轉(zhuǎn))，只是位置改變，而有關(guān)線段的長度、角度及原來的平行、垂直等關(guān)系，在位置改變前后都沒有改變，緊扣這一點，就能悟出解題門道.(1)為證PDPC,須先證PD平面PBC,已有PDPB(翻折前為ADAB),還須PDBC.(2)求二面角的要點是找出二面角的平面角，已有PO平面BCD于O,且OCD,只須作OMBD即可.解答: (1)由條件知PO平面BCD于O,且OCD,BCCD,BCPD(三垂線定理),但PDPB,PD面PBC,從而PDPC.(2