生活中的優(yōu)化問題舉例

3 4生活中的優(yōu)化問題舉例 生活中經(jīng)常遇到求利潤最大 用料最省 效率最高等問題 這些問題稱為優(yōu)化問題 優(yōu)化問題有時(shí)也稱為最值問題 解決這些問題具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義 一般地 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 在某個(gè)區(qū)間 a b 內(nèi) 如果 那么函數(shù)y f x 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增 如果 那么函數(shù)y f x 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減 知識(shí)回顧 2 一般地 求函數(shù)y f x 的極值的方法是 解方程 當(dāng)時(shí) 1 如果在附近的左側(cè)f x 0 右側(cè)f x 0 那么是極大值 口訣 左負(fù)右正為極小 左正右負(fù)為極大 1 導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性 重點(diǎn) 能從實(shí)際問題的不同情景出發(fā) 建立與之相對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系 難點(diǎn) 對問題深入細(xì)致的分析 完成數(shù)模轉(zhuǎn)換 教學(xué)重 難點(diǎn) 學(xué)?；虬嗉?jí)舉行活動(dòng) 通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳 現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼的海報(bào) 要求版心面積為128dm2 上下兩邊各空2dm 左 右兩邊各空1dm 如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸 才能使四周空白面積最小 例1 海報(bào)版面設(shè)計(jì) 解 設(shè)版心的高為xdm 則版心的寬為dm 此時(shí)四周空白面積為 求導(dǎo)數(shù) 得 當(dāng)x 0 16 時(shí) 當(dāng)x 16 時(shí) 因此 x 16是函數(shù)S x 的極小值點(diǎn) 也是最小值點(diǎn) 所以 當(dāng)版心高為16dm 寬為8dm時(shí) 能使四周空白面積最小 令解得x 16 x 16舍去 于是寬為 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料 瓶子的制造成本是分 其中r 單位 cm 是瓶子的半徑 已知每售出1mL的飲料 制造商可獲利0 2分 且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm 那么瓶子半徑多大時(shí) 能使每瓶飲料的利潤最大和最小 例2 飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響 解 由于瓶子的半徑為r 所以每瓶飲料的利潤是 令 我們不用導(dǎo)數(shù)工具 直接從函數(shù)的圖象上觀察 你能發(fā)現(xiàn)什么 從圖象上容易看出 當(dāng)r 3時(shí) f 3 0 即瓶子的半徑是3cm時(shí) 飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等 當(dāng)r 3時(shí) 利潤才為正值 這是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)建模過程 利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路 建立數(shù)學(xué)模型 解決數(shù)學(xué)模型 作答 溫馨提示 用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題 要特別注意在實(shí)際問題中變量的取值范圍 解決優(yōu)化問題的一般步驟 1 審題 2 建模 3 解模 4 回歸 課堂小結(jié) 實(shí)際問題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)模型 求解數(shù)學(xué)問題 數(shù)學(xué)結(jié)果還原到實(shí)際問題之中 解決優(yōu)化問題的步驟 課堂練習(xí) 從長8cm 寬5cm的矩形薄鐵板的四角剪去相等的正方形 做一個(gè)無蓋的箱子 問剪去的正方形邊長為多少時(shí) 箱子容積最大 最大容積是多少 8cm 5cm x 解 設(shè)剪去的正方形的邊長為xcm 則箱子容積為 令 得 舍