2017_2018版高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.1.2演繹推理學(xué)案【新人教版】.docx

2.1.2演繹推理1理解演繹推理的意義(重點(diǎn)) 2掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理(難點(diǎn)) 3了解合情推理和演繹推理之間的區(qū)別和聯(lián)系(易混點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理演繹推理閱讀教材P30P32的內(nèi)容，完成下列問題1演繹推理(1)含義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理(2)特點(diǎn)：由一般到特殊的推理2三段論一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情況S是M結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷S是P判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)演繹推理一般模式是“三段論”形式()(2)演繹推理的結(jié)論是一定正確的()(3)演繹推理是由特殊到一般再到特殊的推理()【解析】(1)正確演繹推理一般模式是“三段論”形式，即大前提、小前提和結(jié)論(2)錯(cuò)誤在演繹推理中，只有“大前提”“小前提”及推理形式都正確的情況下，其結(jié)論才是正確的(3)錯(cuò)誤演繹推理是由一般到特殊的推理【答案】(1)(2)(3)小組合作型把演繹推理寫成三段論的形式將下列演繹推理寫成三段論的形式(1)一切奇數(shù)都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇數(shù)；(2)三角形的內(nèi)角和為180，RtABC的內(nèi)角和為180；(3)菱形的對角線互相平分；(4)通項(xiàng)公式為an3n2(n2)的數(shù)列an為等差數(shù)列【精彩點(diǎn)撥】首先分析出每個(gè)題的大前提、小前提及結(jié)論，再寫成三段論的形式【自主解答】(1)一切奇數(shù)都不能被2整除(大前提)75不能被2整除(小前提)75是奇數(shù)(結(jié)論)(2)三角形的內(nèi)角和為180.(大前提)RtABC是三角形(小前提)RtABC的內(nèi)角和為180.(結(jié)論)(3)平行四邊形的對角線互相平分(大前提)菱形是平行四邊形(小前提)菱形的對角線互相平分(結(jié)論)(4)數(shù)列an中，如果當(dāng)n2時(shí)，anan1為常數(shù)，則an為等差數(shù)列(大前提)通項(xiàng)公式an3n2，n2時(shí)，anan13n23(n1)23(常數(shù))(小前提)通項(xiàng)公式為an3n2(n2)的數(shù)列an為等差數(shù)列(結(jié)論)1三段論推理的根據(jù)，從集合的觀點(diǎn)來講，若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P.2演繹推理最常用的模式是三段論，在大前提和小前提正確，推理形式也正確時(shí)，其結(jié)論一定是正確的再練一題1把下列推斷寫成三段論的形式(1)三段論：“只有船準(zhǔn)時(shí)起航，才能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港，這艘船是準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港的，這艘船是準(zhǔn)時(shí)起航的”中的“小前提”是()ABCD(2)若兩個(gè)角是對頂角，則這兩個(gè)角相等，所以若1和2是對頂角，則1和2相等【解析】(1) 大前提為，小前提為，結(jié)論為.【答案】D(2)兩個(gè)角是對頂角，則這兩個(gè)角相等，(大前提)1和2是對頂角，(小前提)1和2相等(結(jié)論)演繹推理的應(yīng)用如圖219所示，D、E、F分別是BC、CA、AB邊上的點(diǎn)，BFDA，DEBA，求證：DEAF.寫出“三段論”形式的演繹推理圖219【精彩點(diǎn)撥】用三段論的模式依次證明：(1)DFAE；(2)四邊形AEDF為平行四邊形；(3)DEAF.【自主解答】(1)同位角相等，兩直線平行，(大前提)BFD和A是同位角，且BFDA，(小前提)所以DFAE.(結(jié)論)(2)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，(大前提)DEBA且DFEA，(小前提)所以四邊形AFDE為平行四邊形(結(jié)論)(3)平行四邊形的對邊相等，(大前提)DE和AF為平行四邊形的對邊，(小前提)所以EDAF.(結(jié)論)1應(yīng)用三段論解決問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，但為了敘述的簡潔，如果前提是顯然的，則可以省略2數(shù)學(xué)問題的解決與證明都蘊(yùn)含著演繹推理，即一連串的三段論，關(guān)鍵是找到每一步推理的依據(jù)大前提、小前提，注意前一個(gè)推理的結(jié)論會(huì)作為下一個(gè)三段論的前提再練一題2已知：在如圖2110所示的梯形ABCD中，ADBC，ADDCAB，AC和BD是它的對角線圖2110求證：AC平分BCD，BD平分CBA.【證明】大前提：等腰三角形的兩底角相等；小前提：ADC是等腰三角形，DA，DC是兩腰；結(jié)論：12.大前提：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等；小前提：1和3是平行線AD，BC被AC截得的內(nèi)錯(cuò)角；結(jié)論：13.大前提：等于同一個(gè)量的兩個(gè)量相等；小前提：2和3都等于1；結(jié)論：23，即AC平分BCD.同理可證BD平分ABC.探究共研型合情推理與演繹推理的綜合應(yīng)用探究1我們已經(jīng)學(xué)過了等比數(shù)列，你有沒有想到是否也有等積數(shù)列呢？類比“等比數(shù)列”，請你給出“等積數(shù)列”的定義【提示】如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的乘積是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，其中，這個(gè)常數(shù)叫做公積探究2若an是等積數(shù)列，且首項(xiàng)a12，公積為6，試寫出an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式【提示】由于an是等積數(shù)列，且首項(xiàng)a12，公積為6，所以a23，a32，a43，a52，a63，即an的所有奇數(shù)項(xiàng)都等于2，所有偶數(shù)項(xiàng)都等于3，因此an的通項(xiàng)公式為an其前n項(xiàng)和公式Sn探究3設(shè)f(x)，先分別求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后歸納出一個(gè)一般結(jié)論，并給出證明【提示】f(0)f(1).同理f(1)f(2)，f(2)f(3).由此猜想：當(dāng)x1x21時(shí)，f(x1)f(x2).證明：設(shè)x1x21，則f(x1)f(x2).故猜想成立如圖2111所示，三棱錐ABCD的三條側(cè)棱AB，AC，AD兩兩互相垂直，O為點(diǎn)A在底面BCD上的射影(1)求證：O為BCD的垂心；(2)類比平面幾何的勾股定理，猜想此三棱錐側(cè)面與底面間的一個(gè)關(guān)系，并給出證明圖2111【精彩點(diǎn)撥】(1)利用線面垂直與線線垂直的轉(zhuǎn)化證明O為BCD的重心(2)先利用類比推理猜想出一個(gè)結(jié)論，再用演繹推理給出證明【自主解答】(1)證明：ABAD，ACAD，AD平面ABC，ADBC，又AO平面BCD，AOBC，ADAOA，BC平面AOD，BCDO，同理可證CDBO，O為BCD的垂心(2)猜想：SSSS.證明：連接DO并延長交BC于E，連接AE，BO，CO，由(1)知AD平面ABC，AE平面ABC，ADAE，又AOED，AE2EOED，2，即SSBOCSBCD.同理可證：SSCODSBCD，SSBODSBCD.SSSABDSBCD(SBOCSCODSBOD)SBCDSBCDS.合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定真.但合情推理常常幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，為我們提供證明的思路和方法，而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下).再練一題3已知命題：“若數(shù)列an是等比數(shù)列，且an0，則數(shù)列bn(nN*)也是等比數(shù)列”類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè)什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：81092016】【解】類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)是：若數(shù)列an是等差數(shù)列，則數(shù)列bn也是等差數(shù)列證明如下：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則bna1(n1)，所以數(shù)列bn是以a1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列1演繹推理中的“一般性原理”包括()已有的事實(shí)；定義、定理、公理等；個(gè)人積累的經(jīng)驗(yàn)ABCD【解析】演繹推理中的“一般性原理”包括“已有的事實(shí)”“定義、定理、公理等”【答案】A2下面幾種推理過程是演繹推理的是()A兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果A與B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則AB180B某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班級(jí)中的人數(shù)都超過50人C由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)D在數(shù)列an中，a11，an(n2)，通過計(jì)算a2，a3，a4猜想出an的通項(xiàng)公式【解析】A是演繹推理，B，D是歸納推理，C是類比推理【答案】A3用三段論證明命題：“任何實(shí)數(shù)的平方大于0，因?yàn)閍是實(shí)數(shù)，所以a20”，你認(rèn)為這個(gè)推理()A大前提錯(cuò)誤B小前提錯(cuò)誤C推理形式錯(cuò)誤D是正確的【解析】這個(gè)三段論推理的大前提是“任何實(shí)數(shù)的平方大于0”，小前提是“a是實(shí)數(shù)”，結(jié)論是“a20”顯然結(jié)論錯(cuò)誤，原因是大前提錯(cuò)誤【答案】A4函數(shù)y2x5的圖象是一條直線，用三段論表示為：大前提：_；小前提：_；結(jié)論：_.【答案】一次函數(shù)的圖象是一條直線函數(shù)y2x5是一次函數(shù)函數(shù)y2x5的圖象是一條直線5用三段論的形式寫出下列演繹推理(1)矩形的對角線相等，正方形是矩形，所以正方形的對角線相等；(2)ycos x(xR)是周期函數(shù)【解】(1)因?yàn)榫匦蔚膶蔷€相等，(大前提)而正方形是矩形，(小前提)所以正方形的對角線相等(結(jié)論)(3)因?yàn)槿呛瘮?shù)是周期函數(shù)，(大前提)而ycos x(xR)是三角函數(shù)，(小前提)所以ycos x(xR)是周期函數(shù)(結(jié)論)學(xué)業(yè)分層測評(píng)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1下面幾種推理中是演繹推理的為()A由金、銀、銅、鐵可導(dǎo)電，猜想：金屬都可導(dǎo)電B猜想數(shù)列，的通項(xiàng)公式為an(nN)C半徑為r的圓的面積Sr2，則單位圓的面積SD由平面直角坐標(biāo)系中圓的方程為(xa)2(yb)2r2，推測空間直角坐標(biāo)系中球的方程為(xa)2(yb)2(zc)2r2【解析】A，B為歸納推理，D為類比推理，C為演繹推理【答案】C2已知ABC中，A30，B60，求證：ab.證明：A30，B60，AB，ab，畫線部分是演繹推理的()A大前提B小前提C結(jié)論D三段論【解析】結(jié)合三段論的特征可知，該證明過程省略了大前提“在同一個(gè)三角形中大角對大邊”，因此畫線部分是演繹推理的小前提【答案】B3“因?yàn)閷?shù)函數(shù)ylogax是增函數(shù)(大前提)，而yx是對數(shù)函數(shù)(小前提)，所以yx是增函數(shù)(結(jié)論)”上面推理錯(cuò)誤的是()A大前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)B小前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)C推理形式錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)D大前提和小前提都錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)【解析】大前提ylogax是增函數(shù)錯(cuò)誤，當(dāng)0aBC，CD是AB邊上的高，求證：ACDBCD”圖2112證明：在ABC中，因?yàn)镃DAB，ACBC，所以ADBD，于是ACDBCD則在上面證明的過程中錯(cuò)誤的是_(填序號(hào))【解析】由ADBD，得到ACDBCD的推理的大前提應(yīng)是“在同一三角形中，大邊對大角”，小前提是“ADBD”，而AD與BD不在同一三角形中，故錯(cuò)誤【答案】三、解答題9用三段論證明通項(xiàng)公式為ancqn(c，q為常數(shù)，且cq0)的數(shù)列an是等比數(shù)列【證明】設(shè)an1，an是數(shù)列中任意相鄰兩項(xiàng)，則從第二項(xiàng)起，后項(xiàng)與前項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列叫等比數(shù)列(大前提)，因?yàn)閝(常數(shù))(小前提)，所以an是等比數(shù)列(結(jié)論)10已知a0且函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，求a的值【解】由于f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)對xR恒成立，即，所以a2x，整理得(2x2x)0，必有a0.又因?yàn)閍0，所以a1.能力提升1下面是一段“三段論”推理過程：若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，則在(a，b)內(nèi)，f(x)0恒成立因?yàn)閒(x)x3在(1,1)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，所以在(1,1)內(nèi)，f(x)3x20恒成立以上推理中()A大前提錯(cuò)誤B小前提錯(cuò)誤C結(jié)論正確D推理形式錯(cuò)誤【解析】f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，則在(a，b)內(nèi)，f(x)0恒成立，故大前提錯(cuò)誤，選A.【答案】A2設(shè)是R內(nèi)的一個(gè)運(yùn)算，A是R的非空子集若對于任意a，bA，有abA，則稱A對運(yùn)算封閉下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉的是()A自然數(shù)集B整數(shù)集C有理數(shù)集D無理數(shù)集【解析】A錯(cuò)，因?yàn)樽匀粩?shù)集對減法不封閉；B錯(cuò)，因?yàn)檎麛?shù)集對除法不封閉；C對，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)有理數(shù)的和、差、積、商都是有理數(shù)，故有理數(shù)集對加、減、乘、除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉；D錯(cuò)，因?yàn)闊o理數(shù)集對加、減、乘、除法都不封閉【答案】C3若f(ab)f(a)f(b)(a，bN*)，且f(1)2，則_.【解析】f(ab)f(a)f(b)(a，bN*)(大前提)令b1，則f(1)