《論文勢阱中粒子運動狀態(tài)的研究 論文 定稿(定稿)》.doc

論文勢阱中粒子運動狀態(tài)的研究 論文 定稿(定稿) 本科生畢業(yè)論文（設計）題目勢阱中粒子運動狀態(tài)的研究姓名董賢寶指導教師馬堃院系信息工程學院專業(yè)物理學提交日期xx年5月7日目錄中文摘要2外文摘要3引言41一維無限深勢阱42一維半無限深勢阱72.1模型172.2模型2103一維有限深勢阱123.1勢阱外133.2勢阱內133.2.1偶宇稱態(tài)143.2.2奇宇稱態(tài)144總結15參考文獻17致謝18勢阱中粒子運動狀態(tài)的研究06物理董賢寶指導教師馬堃（黃山學院信息工程學院，黃山，安徽245041）摘要本文將對粒子在一維勢阱中的行為進行系統(tǒng)的研究。 具體地，將針對不同位置的一維有限深、無限深勢阱對應薛定諤方程的解法進行探討，并對以上勢阱中的粒子運動行為進行研究，總結出不同勢阱對粒子運動行為的影響。 得知一維無限深勢阱是一維半無限深勢阱的特例，而一維半無限深勢阱是一維有限深勢阱的特例。 所以我們只要掌握了一維有限深勢阱的情況，那么對于一維半無限深勢阱和一維無限深勢阱的情況，就很容易了解了。 關鍵詞勢阱，波函數(shù)，能量Potential wellin thestate ofparticle motionPhysics06Dongxianbao DirectorMa Kun(College ofInformation Engineering,Huangshan University,Anhui,China,245041)Abstract:The behavior of the particle whichin one-dimensional potential well hasbeen studiedin thispaper.Corresponds to the solutionof theSchrodinger equationgave beengiven.Then theinfection ofpotential welltothebehaviorof theparticlebeen summarizedat last.We knowthat onedimensional infinite potentialwell is one-dimensional semi-infinite well ofthespecial caseand one-dimensional semi-infinite one-dimensional potentialwellisa specialcase offinitepotentialwell.Once wehave onlya limitedgrasp ofthe one-dimensional potentialwellofthe situation.Then wecan clearlyunderstand one-dimensional semi-infinite welland theone-dimensional infinitewell case(Wave functionand energylevel formulas).Key Words:Potential well,Wave function,Energy引言量子力學最基本的任務就是求解薛定諤方程，而薛定諤方程的求解的難易主要取決與勢函數(shù)的形式，目前可以精確求解的薛定諤方程很少，這主要是由于具體問題中的勢函數(shù)所帶來的計算困難。 目前，國內外初等量子力學教材中1-3，都普遍地將一維無限深勢阱模型作為可以精確求解的一個例子。 然而，教材中多以單個模型勢阱進行了講解，沒有擴展到一般的情況。 近年，在教學和科研方面，也有不少學者針對這一問題進行了研究4-10，xx年，劉敏等4通過作圖研究了一維無限深勢阱中引入勢壘后的能級變化情況，隨著雙勢阱的壘高不斷增大，相鄰的奇宇稱能級與偶宇稱能級逐漸接近，當勢壘高度趨于無窮大時，二者相等，能級由原來的非簡并變成了簡并；xx年，梁麥林等5對無限深勢阱中自旋為0和1/2的相對論粒子進行了研究，分別計算了坐標、動量以及速度算符的矩陣元；同年，徐建良等利用數(shù)值計算的方法，研究了一維對稱雙勢阱的透射系數(shù)與勢阱的深度、兩勢阱間距以及入射粒子能量之間的變化規(guī)律，并分析產(chǎn)生共振透射的條件；xx年，尹建武6用數(shù)值計算方法求出了一維有限深不對稱方勢阱中束縛粒子的能級和歸一化波函數(shù)及其圖示，所得結果在勢阱深度趨于無窮大時與無限深勢阱的結果一致；xx年，李柏林7使用Matlab軟件求解了一維半無限深勢阱問題，得到相應的能級表達式。 本文將對粒子在一維勢阱中的行為進行系統(tǒng)的研究，具體地將針對不同位置的一維有限深、無限深勢阱對應薛定諤方程的解法進行研究，并對以上勢阱中的粒子運動行為進行研究，總結出不同勢阱對粒子運動行為的影響。 從研究結果發(fā)現(xiàn)，對于無限深勢阱中的粒子是無法越出勢阱的，即粒子在勢阱外的概率為0。 對與半無限深勢阱中粒子也只能越出一邊。 其運動情況具有一定規(guī)律性。 一一維無限深勢阱質量為m的粒子在一維無限深勢阱(如圖1)，其勢能函數(shù)可以表示為00(),xaU xxaxa?= （7）下面我們將分區(qū)間討論在各個區(qū)間內的薛定諤方程的解1在0xa時，薛定諤方程為221022dEUm dx=?+? （8）由于在0xa處，00U=所以有22122dEm dx=? （9）兩邊作變換，得21222mEddx=?令12mEk=? （10）從而可得方程 (9)的通解為0UXa0圖2一維半無限深勢阱20tantansin1tankakkakkaykka=?=+在根據(jù)邊界條件1 (0)0=得 (0)sin0A=即0=則，上式可進一步簡化為1()sinxAkx= （11）2在xa時，0UU=于是有222022dEUm dx=?+? （12）作變換得202222()0dmU?Edx?=令022(m U)E=? （13）則2xBe?=xa （14）由波函數(shù)的連續(xù)性條件，可知()1(lnsin)coslnxx a=x a=kxe?=即cot()kka?= （15）令ka=，a= （16）將 （16）式代入 （15）式得到cot?= （17）同時結合 （10）、 （13）和 （16）式得到和滿足的超越代數(shù)方程組22xx22(m U)EE a+?=? （18）到這里我們知道式 （17）與 （18）是與滿足的超越代數(shù)方程組，可用數(shù)值計算求解，或用圖解法近似的求解。 我們這里采用圖解法來求解根據(jù)式 （15）得到tankak=? （19）為了使圖解法變得簡潔一點我們再次對式 （19）進行變形20tansin1tankakkakka=+ （20）式中002mUk=? （20）式也是超越方程，畫出yk?圖如下圖所示，圖中直線0yk k=與曲線sinyka=在ka的第二和四象限的交點1P，2P，3P，所對應的1k，2k，3k，值，按222kEm=?，即可算出相應的能級E-sinyka=0yk k=4P2P3P1P1k2k3k4k0kk0ya2a3a一維半無限深勢阱模型1能級圖解圖2.2模型2質量為m的粒子在一維半無限深勢阱(如圖3)，其勢能函數(shù)可以表示為0000xUUxaax?= （21）下面我們將分區(qū)間討論在各個區(qū)間內的薛定諤方程的解1在xa （22）令102(m E)U?=? （23）得到11xAe= （24）2在0ax?時，波函數(shù)()x0=，則2 (0)0=，即22sin0cos00AkBk?+?=所以有20B=所以波函數(shù)可寫成22sinAkx= （29）由波函數(shù)的連續(xù)性條件，并求導得到1212sincosaaAeAkaA eAkka?=?= （30）解得cotkka=? （31）令a=，ka= （32）將 （32）式代入 （31）得cot?= （33）同時結合 （23）、 （26）和 （32）式得了和滿足的超越代數(shù)方程組2212022(m E)EU+?= （34）到這里我們發(fā)現(xiàn)模型2情況同模型1是一樣的，下面分析也同模型2。 由 （31）式得tankak=?為了使圖解法變得簡潔一點我們再次對式 （31）進行變形20tansin1tankakkakka=+ （35）式中002mUk=?， （35）式也是超越方程，畫出yk?圖如下圖所示，圖中直線0yk k=與曲線sinyka=在ka的第二和四象限的交點1P，2P，3P，所對應的1k，2k，3k，值，按222kEm=?，即可算出相應的能級E0三一維有限深勢阱質量為m的粒子在一維有限深勢阱(如圖4)，其勢能函數(shù)可以表示為0U0UX2a?2a圖4一維有限深勢阱2P3P1P1k2k3k4k0kkya2a3a一維半無限深勢阱模型2能級圖解圖sinyka=0yk k=4P002()2xaU xUxa?=? （37）其中a為勢阱寬度，0U為勢阱高度。 下面我們將分區(qū)間討論在各個區(qū)間內的薛定諤方程的解3.1在勢阱外，即2xa，定態(tài)波動方程為20222()0dmU?Edx?= （38）令02(m U)E=? （39）則方程 (34)有如下指數(shù)形式的解xe?考慮到束縛邊界條件0x處，()x0于是波函數(shù)應取如下形式2()x2xxAexaBexa?=? （40）上式中常數(shù)A和B待定，當0U（無限深勢阱），即則上式0=3.2在勢阱內，即2xa，薛定諤方程為22220dmEdx+=? （41）令2kmE=? （42）則方程 (40)有如下形式的解sinkx，coskx或ikxe但考慮到勢阱具有空間的反射不變性()()UxU x?=，則必有確定的宇稱，因此只能取sinkx或coskx形式。 下面作如下的討論3.2.1偶宇稱態(tài)()xcoskx?，2xa （43）則由連續(xù)性可有()()22lncoslnxx a=x a=kxe?= （44）解得sincosxxkxekkxe?=? （45）顯然有()tan2kka= （46）令2ka=，2a= （47）tan= （48）此外按照 （39）、 （42）與 （47），得到與滿足的超越代數(shù)方程組有222022mU a+=? （49）3.2.1奇宇稱態(tài)()sinxkx?，()2xa （50）與偶宇稱類似，利用()ln的連續(xù)條件有()()22lnsinlnxx a=x a=kxe?= （51）可求得()cot2kka?= （52）同理令2ka=，2a= （53）代入上 （52）式有cot?= （54）將 （54）聯(lián)立 （49），可確定參數(shù)和，從而確定能量本征值。 在一維有限深勢阱下，無論20U a的值多小，方程 （48）和 （49）至少有一個根，換言之至少存在一個束縛態(tài)（基態(tài)），其宇稱為偶，當20U a增大，使2222022mU a+=?時， （55）則將出現(xiàn)偶宇稱第一激發(fā)態(tài)。 當20U a繼續(xù)增大，還將一次出現(xiàn)更高的激發(fā)能級。 但奇宇稱與上述情況不一樣。 只當22220224mU a+=? （56）即22202U am? （57）只在上述情況下才可能出現(xiàn)最低的奇宇稱能級。 四總結以上對一維無限深勢阱、一維半無限深勢阱和一維有限深勢阱中粒子運動狀態(tài)進行了簡單的探討。 得到如下結論 1、在無限深勢阱中，粒子被“束縛”在勢阱內，無法越出勢阱，即勢阱外波函數(shù)為零。 粒子在一維無限深勢阱中的能量為22222nEnma=?，1,2,3n=?并且能量是分立取的； 2、在一維半無限深勢阱中，我們分了模型1和模型2來分析的。 通過分析可知我們所采用的模型1和模型2其量子行為是相同的。 3、從一維半無限深勢阱能級圖解圖中，我們發(fā)現(xiàn)當k，即0U時，一維半無限深勢阱就會變成一維無限深勢阱，且1P，2P，3P，分別與a重合，相應的，2，a3，重合，從而可得到更加一般性的結論，即anP與nannka=，22222nEnma=?，1,2,3n=?，由于在結論2中勢阱寬度為a，將a換成2a。 即一維無限深勢阱的勢阱寬度相同。 則能級公式變?yōu)?2228nnEma=?，1,2,3n=?。 從而可以看出，一維半無限深勢阱便自然過渡到一維無限深勢阱能級公式。 說明一維無限深勢阱是一維半無限深勢阱在兩邊勢壁無限高無限高，阱寬相同的特例。 4、一維有限深勢阱的波函數(shù)4.1在勢阱外2()x2xxAexaBexa?=?一維有限深勢阱兩邊勢阱高度都為0U，式中常數(shù)A和B待定，當一邊0U，即則上式有一個0=。 4.2在勢阱內()xsinkx?或()xcoskx? 5、一維半無限深勢阱的波函數(shù)5.1在勢阱外模型1xBe?=模型2xAe=5.2在勢阱內模型1和模型2sinAkx=從以上分析可知，一維半無限深勢阱只是一維有限深勢阱的特例；上面我們總結了一維無限深勢阱勢是一維半無限深勢阱的特例。 所以我們只要掌握了一維有限深勢阱的情況。 那么對于一維半無限深勢阱和一維無限深勢阱的情況（波函數(shù)和能級公式），就很容易了。 參考文獻1曾謹言.量子力學導論(第二版)M.北京:北京大學出版社,1998,57-60.2汪德新.量子力學M.武漢:湖北科學技術出版社,2000,187-1913蘇汝鏗.量子力學M,上海:復旦大學出版社,1997,37-404劉敏,韓廣兵,孫艷等.雙阱勢能級研究J.原子與分子物理學報.xx,23 (6):1159-11615梁麥林,張福林,袁兵.無窮深勢阱中相對論粒子的矩陣元及其經(jīng)典近