深圳市南山區(qū)2016屆高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理)含答案解析

第 1 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 2015年廣東省深圳市南山區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1已知全集 U=Z，集合 A=1， 6， A B=2， 0， 1， 6，那么（ B=（ ） A B 3， 4， 5 C 2， 0 D 1， 6 2已知復(fù)數(shù) z=x+x、 y R），且有 ，則 |z|=（ ） A 5 B C 3 D 3設(shè) a， b R，則 “a b 1”是 “a b （ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 4二項(xiàng)式 的展開(kāi)式中，若常數(shù)項(xiàng)為 60，則 值為（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 5實(shí)數(shù) x、 y 滿(mǎn)足條件 ，則 z=x y 的最小值為（ ） A 1 B 1 C D 2 6表中提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn) A 產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量 x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗 y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)根據(jù)下表提供的數(shù)據(jù)，求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程為 =么表中 t 的值為（ ） x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 3 B 設(shè) 是第二象限角，且 ，則 ） A B C D 8閱讀如下程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則程序運(yùn)行后輸出 i 的結(jié)果為（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 9如圖，在矩形 ， ， ，沿 矩形 疊，連接 得三棱錐 D 正視圖和俯視圖如圖所示，則三棱錐 D 側(cè)視圖的面積為（ ） 第 2 頁(yè)（共 23 頁(yè)） A B C D 10如圖，已知 雙曲線 的下，上焦點(diǎn)，過(guò) 作以圓心， |半徑的圓的切線， P 為切點(diǎn)，若切線段 一條漸近線平分，則雙曲線的離心率為（ ） A 3 B 2 C D 11在 ， A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b， c， a=10， ，且 c=（ ） A 15 B 5 C 3 D 25 12已知橢圓 E： + =1（ a b 0）的右焦點(diǎn)為 F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為 M，直線 l： 3x 4y=0 交橢圓 E 于 A， B 兩點(diǎn)，若 |4，點(diǎn) M 到直線 l 的距離不小于 ，則橢圓E 的離心率的取值范圍是（ ） A（ 0， B（ 0， C ， 1） D ， 1） 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分 13設(shè)隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 N（ 1， 2），且 P（ X 1） =P（ X a 3），則正數(shù)a= 第 3 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 14設(shè) a 0， a 1，則 “函數(shù) f（ x） = R 上是減函數(shù) ”，是 “函數(shù) g（ x） =（ 2 a） 的 條件（在 “充分不必要條件 ”、 “必要不充分 ”、 “充分必要 ”、 “既不充分有不必要 ”中選一個(gè)填寫(xiě)） 15已知數(shù)列 足 ， ， 數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，則 16函數(shù) f（ x） =2x+）（ | ）的圖象向左平移 個(gè)單位后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則當(dāng)函數(shù) f（ x）在 0， 上取得最小值時(shí)， x= 三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟 17已知 一個(gè)單調(diào)遞增的等差數(shù)列，且滿(mǎn)足 是 等比中項(xiàng)， a1+0數(shù)列 足 （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式 （ 2）求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 18某市為了了解本市高中學(xué)生的漢字書(shū)寫(xiě)水平，在全市范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了近千名學(xué)生參加漢字聽(tīng)寫(xiě)考試，將 所得數(shù)據(jù)整理后，繪制出頻率分布直方圖如圖所示，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100 （ ）試估計(jì)全市學(xué)生參加漢字聽(tīng)寫(xiě)考試的平均成績(jī)； （ ）如果從參加本次考試的同學(xué)中隨機(jī)選取 1 名同學(xué)，求這名同學(xué)考試成績(jī)?cè)?80 分以上（含 80 分）的概率； （ ）如果從參加本次考試的同學(xué)中隨機(jī)選取 3 名同學(xué)，這 3 名同學(xué)中考試成績(jī)?cè)?80 分以上（含 80 分）的人數(shù)記為 X，求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望（注：頻率可以視為相應(yīng)的概率） 19如圖所示，已知四棱錐 P ， 平面 面 直角梯形， ， E 是棱 一點(diǎn)，且 （ 1）求證： 平面 （ 2）求二面角 A D 的大小 第 4 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 20如圖，點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 l 經(jīng)過(guò)拋物線 C： x 的焦點(diǎn) F （ ）若點(diǎn) O 到直線 l 的距離為 ，求直線 l 的方程； （ ）設(shè)點(diǎn) A 是直線 l 與拋物線 C 在第一象限的交點(diǎn)點(diǎn) B 是以點(diǎn) F 為圓心， |半徑的圓與 x 軸負(fù)半軸的交點(diǎn)試判斷直線 拋物線 C 的位置關(guān)系，并給出證明 21已知函數(shù) f（ x） =，其中 a 為常數(shù) （ ）若 f（ x）的圖象在 x=1 處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 3， 4），求 a 的值； （ ）若 0 a 1，求證： ； （ ）當(dāng)函數(shù) f（ x）存在三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，求 a 的取 值范圍 請(qǐng)考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答注意：只能做所選定的題目如果多做，則按所做第一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)，請(qǐng)用 2B 鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑 選修4何證明選講 22如圖所示， 圓 O 的切線， A 為切點(diǎn)， 圓 O 于 B， C 兩點(diǎn)， 0， 0， 角平分線與 圓 O 分別交于點(diǎn) D 和 E （ 1）求證： （ 2）求 E 的值 選修 4坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第 5 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 23在直角坐標(biāo)系 ，曲線 參數(shù)方程為 ，（ 為參數(shù)），以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線 極坐標(biāo)方程為 （ ）求曲線 普通方程與曲線 直角坐標(biāo)方程； （ ）設(shè) P 為曲線 的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn) P 到 點(diǎn)的距離的最小值 選修 4等式選講 24設(shè)函數(shù) f（ x） =|2x a| （ 1）當(dāng) a=3 時(shí)，解不等式， f（ x） |x 2| （ 2）若 f（ x） 1 的解集為 0， 1， + =a（ m 0， n 0），求證： m+2n 4 第 6 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 2015年廣東省深圳市南山區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1已知全集 U=Z，集合 A=1， 6， A B=2， 0， 1， 6，那么（ B=（ ） A B 3， 4， 5 C 2， 0 D 1， 6 【考點(diǎn)】 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算 【分析】 直接利用補(bǔ)集和交集的運(yùn)算進(jìn)行求解即可得到答案 【解答】 解：全集 U=Z，集合 A=1， 6， A B=2， 0， 1， 6， 集合 B A B，并且一定有 0， 2， 一定有 0， 2， （ B=0， 2 故選： C 2已知復(fù)數(shù) z=x+x、 y R），且有 ，則 |z|=（ ） A 5 B C 3 D 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)求模 【分析】 利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，通過(guò)復(fù)數(shù)相等求出結(jié)果即可 【解答】 解：復(fù)數(shù) z=x+x、 y R），且有 ， x=1+y+（ y 1） i， 解得 y=1， x=2， |z|=|2+i|= 故選： B 3設(shè) a， b R，則 “a b 1”是 “a b （ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 【考點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 根據(jù)不等式的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論 【解答】 解：設(shè)命題 p： a b 1；則 a b 0， 命題 q： a b 簡(jiǎn)得 （ a b） （ a+b）（ a b）， 又 a， b R， pq， q 推不出 p， P 是 q 的充分不必要條件， 即 “a b 1”是 “a b 充分不必要條件， 故選： A 第 7 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 4二項(xiàng)式 的展開(kāi)式中，若常數(shù)項(xiàng)為 60，則 值為（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式 ，求出常數(shù)項(xiàng)的表達(dá)式，即可求出 值 【解答】 解：（ x+ ） 6 的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為： = = nr3r， 令 6 3r=0， 解得 r=2； 所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為： m250， 解得 故選： C 5實(shí)數(shù) x、 y 滿(mǎn)足條件 ，則 z=x y 的最小值為（ ） A 1 B 1 C D 2 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 【分析】 由題意作出其平面區(qū)域，將 z=x y 化為 y=x z， z 相當(dāng)于直線 y=x z 的縱截距，由幾何意義可得 【解答】 解：由題意作出其平面區(qū)域， 將 z=x y 化為 y=x z， z 相當(dāng)于直線 y=x z 的縱截距， 則過(guò)點(diǎn)（ 0， 1）時(shí)， z=x y 取得最小值， 則 z=0 1= 1， 第 8 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 故選 B 6表中提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn) A 產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量 x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗 y（ 噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)根據(jù)下表提供的數(shù)據(jù)，求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程為 =么表中 t 的值為（ ） x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 3 B 考點(diǎn)】 回歸分析的初步應(yīng)用 【分析】 先求出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，樣本中心點(diǎn)是用含有 t 的代數(shù)式表示的，把樣本中心點(diǎn)代入變形的線性回歸方程，得到關(guān)于 t 的一次方程，解方程，得到結(jié)果 【解答】 解： 由回歸方程知 = ， 解得 t=3， 故選 A 7設(shè) 是第二象限角，且 ，則 ） A B C D 【考點(diǎn)】 二倍角的正切 【分析】 根據(jù)題意，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系算出 得 由二倍角的正切公式加以計(jì)算，可得 值 【解答】 解： ， 又 是第二象限角，得 0， ， 由此可得 ，因此 = 故選： D 8閱讀如下程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則程序運(yùn)行后輸出 i 的結(jié)果為（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 【考點(diǎn)】 程序框圖 第 9 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 【分析】 由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量 i 的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案 【解答】 解：第一次執(zhí)行循環(huán)體后 ， S=不滿(mǎn)足退出循環(huán)的條件， i=3； 再次執(zhí)行循環(huán)體后， S= ，不滿(mǎn)足退出循環(huán)的條件， i=5； 再次執(zhí)行循環(huán)體后， S= ，不滿(mǎn)足退出循環(huán)的條件， i=7； 再次執(zhí)行循環(huán)體后， S= ，不滿(mǎn)足退出循環(huán)的條件， i=9； 再次執(zhí)行循環(huán)體后， S= ，滿(mǎn)足退出循環(huán)的條件， 故輸出的 i 值為 9， 故選： C 9如圖，在矩形 ， ， ，沿 矩形 疊，連接 得三棱錐 D 正視圖和俯視圖如圖所示，則三棱錐 D 側(cè)視圖的面積為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖 【分析】 由題意知平面 平面 棱錐 A 視圖為等腰直角三角形，兩條直角邊分別是過(guò) B 和 D 向 做的垂線，求出直角邊的長(zhǎng)度，即可得側(cè)視圖的面積 【解答】 解：由正視圖和俯視圖可知平面 平面 三棱錐 A 視圖為等腰直角三角形，兩條直角邊分別是過(guò) A 和 C 向 做的垂線， 第 10 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 由面積相等可得直角邊長(zhǎng)為 = ， 側(cè)視圖面積為 S = = 故選： C 10如圖，已知 雙曲線 的下，上焦點(diǎn)，過(guò) 作以圓心， |半徑的圓的切線， P 為切點(diǎn)，若切線段 一條漸近線平分，則 雙曲線的離心率為（ ） A 3 B 2 C D 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 由已知 0， c），直線 y c= ，過(guò) 作以 圓心， |半徑的圓的方程為 y+c） 2=立 ，求出 P，從 而求出 M，由此能求出雙曲線的離心率 【解答】 解： 雙曲線 的下，上焦點(diǎn)，過(guò) 作以圓心， |半徑的圓的切線， P 為切點(diǎn)，若切線段 一條漸近線平分， 0， c）， |2c， |c， 直線 斜率 k= ， 第 11 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 直線 y c= ，過(guò) 作以 圓心， |半徑的圓的方程為 y+c）2= 聯(lián)立 ，得 P（ ， c）， M（ ， ）， 切線段 一條漸近線平分， M（ ， ）在漸近線 y= 上， ， b= ， c2=a2+c=2a， 雙曲線的離心率為 e= 故選： B 11在 ， A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b， c， a=10， ，且 c=（ ） A 15 B 5 C 3 D 25 【考點(diǎn)】 余弦定理的應(yīng)用；三角形中的幾何計(jì)算 【分析】 先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，以及正弦定理和兩角和的正弦公式求出 B=60，再根據(jù)余弦定理即可求出 c 的值 【解答】 解、 等差數(shù)列， 2 由正弦定理 = = ， 2 即 2A+C） = A， B， C 為 內(nèi)角， 0， ， B=60， 由余弦定理，可得 b2=a2+2a=10， ， 10c 15=0， 解得 c=15， 故選： A 12已知橢圓 E： + =1（ a b 0）的右焦點(diǎn)為 F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為 M，直線 l： 3x 4y=0 交橢圓 E 于 A， B 兩點(diǎn)，若 |4，點(diǎn) M 到直線 l 的距離不小于 ，則橢圓E 的離心率的取值范圍是（ ） 第 12 頁(yè)（共 23 頁(yè)） A（ 0， B（ 0， C ， 1） D ， 1） 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的關(guān)系 【分析】 如圖所示，設(shè) F為橢圓的左焦點(diǎn)，連接 則四邊形 平行四邊形，可得 4=|+|2a取 M（ 0， b），由點(diǎn) M 到直線 l 的距離不小于 ，可得 ，解得 b 1再利用離心率計(jì)算公式 e= = 即可得出 【解答】 解：如圖所示，設(shè) F為橢圓的左焦點(diǎn)，連接 則四邊形 平行四邊形， 4=|+|2a， a=2 取 M（ 0， b）， 點(diǎn) M 到直線 l 的距離不小于 ， ，解得 b 1 e= = = 橢圓 E 的離心率的取值范圍是 故選： A 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分 13設(shè)隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 N（ 1， 2），且 P（ X 1） =P（ X a 3），則正數(shù) a= 3 或 2 【考點(diǎn)】 正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義 【分析】 根據(jù)正態(tài)曲線關(guān)于 x=1 對(duì)稱(chēng)，得到兩個(gè)概率相等的區(qū)間關(guān)于 x=1 對(duì)稱(chēng)，得到關(guān)于 方程即可 【解答】 解： 隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 N（ 1， 2），且 P（ X 1） =P（ X a 3）， 1+a 3=2， a= 3 或 2， 故答案為： 3 或 2 14設(shè) a 0， a 1，則 “函數(shù) f（ x） = R 上是減函數(shù) ”，是 “函數(shù) g（ x） =（ 2 a） 的 充分不必要 條件（在 “充分不必要條件 ”、 “必要不充分 ”、 “充分必要 ”、 “既不 充分有不必要 ”中選一個(gè)填寫(xiě)） 【考點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 第 13 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 【分析】 根據(jù)函數(shù) f（ x） = R 上是減函數(shù)求出 a 的范圍，代入函數(shù) g（ x） =（ 2 a） 析函數(shù)的增減性，然后根據(jù)函數(shù) g（ x） =（ 2 a） R 上是增函數(shù)，求出 a 的范圍，判斷函數(shù) f（ x） = R 上是否為減函數(shù) 【解答】 解：由函數(shù) f（ x） = R 上是減函數(shù)，知 0 a 1，此時(shí) 2 a 0，所以函數(shù) g（ x） =（ 2 a） R 上是增函數(shù)， 反之由 g（ x） =（ 2 a） R 上是增函數(shù)，則 2 a 0，所以 a 2，此時(shí)函數(shù) f（ x） = 上可能是減函數(shù)，也可能是增函數(shù)， 故 “函數(shù) f（ x） = R 上是減函數(shù) ”是 “函數(shù) g（ x） =（ 2 a） R 上是增函數(shù) ”的充分不必要的條件 故答案為充分不必要 15已知數(shù)列 足 ， ， 數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，則 1 【考點(diǎn)】 數(shù)列遞推式 【分析】 由數(shù)列 足 ， ，可得 3=1， 2= 1， 1= 1， ， k N*即可得出 【解答】 解： 數(shù)列 足 ， ， 1， 1， ， ， 3=1， 2= 1， 1= 1， ， k N*即數(shù)列各項(xiàng)的值呈周期性出現(xiàn) 03 （ 1 1 1+1） +（ 1 1 1） = 1 故答案為： 1 16函數(shù) f（ x） =2x+）（ | ）的圖象向左平移 個(gè)單位后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則當(dāng)函數(shù) f（ x）在 0， 上取得最小值時(shí)， x= 【考點(diǎn)】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 【分析】 由條件根據(jù)函數(shù) y=x+）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性可得+=， k z，由此 根據(jù) | 求得 的值得到函數(shù)解析式即可得解 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =2x+）（ | ）的圖象向左平移 個(gè)單位后得到的函數(shù)解析式是： y=（ x+ ） +=2x+ +）， 函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)， 可 得 +=， k z， | ， 可解得： = ，即有： f（ x） =2x+ ） 第 14 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 由題意 x 0， ，得 2x+ ， ， 2x+ ） 1， ，即有當(dāng) 2x+ = 即 x= 時(shí)，函數(shù) f（ x） =2x+ ）在區(qū)間 0， 的取最小值為 1 故答案為： 三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟 17已知 一個(gè)單調(diào)遞增的等差數(shù)列，且滿(mǎn)足 是 等比中項(xiàng)， a1+0數(shù)列 足 （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式 （ 2）求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 【考點(diǎn)】 數(shù)列的 求和 【分析】 （ 1）設(shè)等差數(shù)列 公差為 d，運(yùn)用等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出； （ 2）利用數(shù)列的求和方法： “錯(cuò)位相減法 ”與等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式即可得出 【解答】 解：（ 1）設(shè)等差數(shù)列 公差為 d，則依題知 d 0 由 2a3=a1+0，又可得 由 是 等比中項(xiàng)，可得 1， 得（ 5 d）（ 5+d） =21，可得 d=2 a1=2d=1可得 n 1（ n N*）； （ 2）由（ 1）得 =（ 2n 1） （ ） n， +3 +5 +（ 2n 1） （ ） n， +3 +5 +（ 2n 1） （ ） n+1， 得， +2（ + +（ ） n）（ 2n 1） （ ） n+1 = +2 （ 2n 1） （ ） n+1， 18某市為了了解本市高中學(xué)生的漢字書(shū)寫(xiě)水平，在全市范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了近千名學(xué)生參加漢字 聽(tīng)寫(xiě)考試，將所得數(shù)據(jù)整理后，繪制出頻率分布直方圖如圖所示，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100 第 15 頁(yè)（共 23 頁(yè)） （ ）試估計(jì)全市學(xué)生參加漢字聽(tīng)寫(xiě)考試的平均成績(jī)； （ ）如果從參加本次考試的同學(xué)中隨機(jī)選取 1 名同學(xué)，求這名同學(xué)考試成績(jī)?cè)?80 分以上（含 80 分）的概率； （ ）如果從參加本次考試的同學(xué)中隨機(jī)選取 3 名同學(xué)，這 3 名同學(xué)中考試成績(jī)?cè)?80 分以上（含 80 分）的人數(shù)記為 X，求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望（注：頻率可以視為相應(yīng)的概率） 【考點(diǎn)】 頻率分布直方圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的期望與方差 【分析】 （ ）根據(jù)頻率分布直方圖，計(jì)算數(shù)據(jù)的平均數(shù)即可； （ ）計(jì)算被抽到的同學(xué)考試成績(jī)?cè)?80（分）以上的概率； （ ）得出 X 可能的取值，求出 X 的分布列與期望 E（ X） 【解答】 解：（ ）估計(jì)全市學(xué)生參加漢字聽(tīng)寫(xiě)考試的平均成績(jī)?yōu)椋?55+65+75+85+95= （ ）設(shè)被抽到的這名同學(xué)考試成績(jī)?cè)?80（分）以上為事件 A P（ A） =10+10= 被抽到的這名同學(xué)考試成績(jī)?cè)?80（分）以上的概率為 （ ）從參加考試的同學(xué)中隨機(jī)抽取 1 名同學(xué)的成績(jī)?cè)?80（分）以上的概率為 P= ； X 可能的取值是 0， 1， 2， 3； P（ X=0） = = ； P（ X=1） = = ； P（ X=2） = = ； P（ X=3） = = ； X 的分布列為： X 0 1 2 3 P 所以 E（ X） =0 +1 +2 +3 = ； （或 X B（ 3， ）， 第 16 頁(yè)（共 23 頁(yè)） E（ X） = = 19如圖所示，已知四棱錐 P ， 平面 面 直角梯形， ， E 是棱 一點(diǎn)，且 （ 1）求證： 平面 （ 2）求二面角 A D 的大小 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定 【分析】 （ 1）先證 平面 得 用勾股定理的逆定理證 此能證明 平面 （ 2）設(shè) 點(diǎn)為 O， 點(diǎn)為 M，連 三垂線逆定理知 二面角 A D 的平面角，由此能求出二面角 A D 的大小 【解答】 證明：（ 1） 平面 面 底面 直角梯形， ， C= = ， A=A， 平面 = ， E 是棱 一點(diǎn)，且 ， ， C=C， 平面 解：（ 2）設(shè) 點(diǎn)為 O， 點(diǎn)為 M，連 則 平面 （ 1）知 由三垂線逆定理知 二面角 A D 的平面角， ， ， 0， 二面角 A D 的大小 60 第 17 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 20如圖，點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 l 經(jīng)過(guò)拋物線 C： x 的焦點(diǎn) F （ ）若點(diǎn) O 到直線 l 的距離 為 ，求直線 l 的方程； （ ）設(shè)點(diǎn) A 是直線 l 與拋物線 C 在第一象限的交點(diǎn)點(diǎn) B 是以點(diǎn) F 為圓心， |半徑的圓與 x 軸負(fù)半軸的交點(diǎn)試判斷直線 拋物線 C 的位置關(guān)系，并給出證明 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的關(guān)系；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 【分析】 法一：（ ）拋物線的焦點(diǎn) F（ 1， 0），當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí)，即 x=1 不符合題意當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 l 的方程為： y=k（ x 1），所以 ，由此能求出直線 l 的方程 （ ）直線 拋物線相切設(shè) A（ 則 因?yàn)?|，所以B（ 0），由此能夠證明直線 拋物線相切 法二：（ ）同解法一 （ ）直線 拋物線相切，設(shè) A（ 則 設(shè)圓的方程為：由此能夠證明直線 拋物線相切 【解答】 解法一：（ ）拋物線的焦點(diǎn) F（ 1， 0）， 當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí)，即 x=1 不符合題意 當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)， 設(shè)直線 l 的方程為： y=k（ x 1），即 y k=0 所以， ，解得： 故直線 l 的方程為： ，即 （ ）直線 拋物線相切，證明如下： （法一）：設(shè) A（ 則 因?yàn)?|，所以 B（ 0） 所以直線 方程為： ， 第 18 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 整理得： （ 1） 把方程（ 1）代入 x 得： ， ， 所以直線 拋物線相切 解法二：（ ）同解法一 （ ）直線 拋物線相切，證明如下： 設(shè) A（ 則 設(shè)圓的方程為： ， 當(dāng) y=0 時(shí)，得 x=1 （ ）， 因?yàn)辄c(diǎn) B 在 x 軸負(fù)半軸，所以 B（ 0） 所以直線 方程為 ， 整理得： （ 1） 把方程（ 1）代入 x 得： ， ， 所以直線 拋物線相切 21已知函數(shù) f（ x） =，其中 a 為常數(shù) （ ）若 f（ x）的圖象在 x=1 處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 3， 4），求 a 的值； （ ）若 0 a 1，求證： ； （ ）當(dāng)函數(shù) f（ x）存在三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，求 a 的取值范圍 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 （ ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到 f（ 1） =1 2a，又 ，得 1 2a=2，求得 a= ； （ ）求出 ，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求得 得答案； 第 19 頁(yè)（共 23 頁(yè)） （ ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后分 a 0， a ， 0 三種情況討論 f（ x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 【解答】 解：（ ） f（ x） =， ， f（ 1） =1 2a， 又 ， 1 2a=2， a= ； （ ） ， 令 ， 則 ， x （ 0， 1）時(shí)， g（ x） 0， g（ x）單調(diào)遞減， 故 x （ 0， 1）時(shí)， ， 當(dāng) 0 a 1 時(shí)， ； （ ） ， 當(dāng) a 0 時(shí)，在（ 0， +）上， f（ x） 0， f（ x）遞增， f（ x）至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意； 當(dāng) a 時(shí)，在（ 0， +）上， f（ x） 0， f（ x）遞減， f（ x）至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意； 當(dāng) 0 時(shí)，令 f（ x） =0，得 ， 此時(shí)， f（ x）在（ 0， 遞減，（ 遞增，（ +）上遞減， f（ x）至多有三個(gè)零點(diǎn) f（ x）在（ 1）遞增， f（ f（ 1） =0， 又 ， ，使得 f（ =0， 又 ， 恰有三個(gè)不同零點(diǎn)： ， 函數(shù) f（ x）存在三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)， a 的取值范圍是 第 20 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 請(qǐng)考生在 22、 23、 24 三