拋物線-圓結合專題-(含解析).doc

拋物線與圓的結合問題 20140927例1、拋物線交軸于、兩點，交軸于點,已知拋物線的對稱軸為，,， 求二次函數(shù)的解析式；在拋物線對稱軸上是否存在一點，使點到、兩點距離之差最大？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由； 平行于軸的一條直線交拋物線于兩點，若以為直徑的圓恰好與軸相切，求此圓的半徑解：（1）將代入，得 將，代入，得 是對稱軸，將（2）代入（1）得， 二次函數(shù)得解析式是（2）與對稱軸的交點即為到的距離之差最大的點點的坐標為，點的坐標為， 直線的解析式是，又對稱軸為， 點的坐標 （3）設、，所求圓的半徑為r，則 ，.(1) 對稱軸為， .(2)由（1）、（2）得：.(3) 將代入解析式，得 ，.(4)整理得： 由于 r=y，當時，解得， ， （舍去），當時，解得， ， （舍去）所以圓的半徑是或 例2、如圖，在直角坐標系中，C過原點O，交x軸于點A（2，0），交y軸于點B（0，）。 求圓心的坐標； 拋物線yax2bxc過O、A兩點，且頂點在正比例函數(shù)yx的圖象上，求拋物線的解析式； 過圓心C作平行于x軸的直線DE，交C于D、E兩點，試判斷D、E兩點是否在中的拋物線上； 若中的拋物線上存在點P（x0，y0），滿足APB為鈍角，求x0的取值范圍。解：（1）C經過原點O， AB為C的直徑。 C為AB的中點。ABCDEFOHxy過點C作CH垂直x軸于點H，則有CHOB，OHOA1。圓心C的坐標為（1，）。（2）拋物線過O、A兩點，拋物線的對稱軸為x1。拋物線的頂點在直線yx上， 頂點坐標為（1，）把這三點的坐標代入拋物線拋物線yax2bxc，得解得拋物線的解析式為。 （3）OA2，OB2，.即C的半徑r2。D（3，），E（1，）代入檢驗，知點D、E均在拋物線上（4）AB為直徑，當拋物線上的點P在C的內部時，滿足APB為鈍角。1x00，或2x03。例3、如圖，已知拋物線的頂點坐標為M(1,4)，且經過點N(2,3)，與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側)，與y軸交于點C。求拋物線的解析式及點A、B、C的坐標；若直線y=kx+t經過C、M兩點，且與x軸交于點D，試證明四邊形CDAN是平行四邊形；點P在拋物線的對稱軸x=1上運動，請?zhí)剿鳎涸趚軸上方是否存在這樣的P點，使以P為圓心的圓經過A、B兩點，并且與直線CD相切，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。解：（1）由拋物線的頂點是M（1，4），設解析式為 又拋物線經過點N（2，3），所以 解得a1 所以所求拋物線的解析式為y令y0，得解得：得A（1，0） B（3，0） ；令x0，得y3，所以 C（0，3）.（2）直線y=kx+t經過C、M兩點，所以即k1，t3 直線解析式為yx3. 令y0，得x3，故D（3，0） CD 連接AN，過N做x軸的垂線，垂足為F. 設過A、N兩點的直線的解析式為ymxn， 則解得m1，n1 所以過A、N兩點的直線的解析式為yx1 所以DCAN. 在RtANF中，AN3，NF3，所以AN 所以DCAN。 因此四邊形CDAN是平行四邊形.（3）假設在x軸上方存在這樣的P點，使以P為圓心的圓經過A、B兩點，并且與直線CD相切，設P（1，u） 其中u0，則PA是圓的半徑且過P做直線CD的垂線，垂足為Q，則PQPA時以P為圓心的圓與直線CD相切。由第（2）小題易得：MDE為等腰直角三角形，故PQM也是等腰直角三角形， 由P（1，u）得PEu， PM|4-u|， PQ由得方程：，解得，舍去負值u ，符合題意的u，所以，滿足題意的點P存在，其坐標為（1，）.例4、已知：如圖，拋物線的圖象與軸分別交于兩點，與軸交于點，經過原點及點，點是劣弧上一動點（點與不重合）（1）求拋物線的頂點的坐標； （2）求的面積；（3）連交于點，延長至，使，試探究當點運動到何處時，直線與相切，并請說明理由例4、解 （1）拋物線 的坐標