巧用數(shù)形結(jié)合思想解二次函數(shù)中的問(wèn)題.doc

巧用數(shù)形結(jié)合思想解二次函數(shù)中的問(wèn)題摘要：數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)。通過(guò)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”兩個(gè)方面，已經(jīng)成為當(dāng)今數(shù)學(xué)的特色之一，它使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。它兼有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與形的直觀，是優(yōu)化解題過(guò)程的重要途徑之一，是一種基本的數(shù)學(xué)方法。本文通過(guò)例題分析了解“數(shù)形結(jié)合思想”來(lái)解決二次函數(shù)中的問(wèn)題，因?yàn)榇祟悊?wèn)題的特點(diǎn)是若僅進(jìn)行代數(shù)推理,亦能解決, 但運(yùn)算繁、技巧強(qiáng)、難度大若以形助數(shù), 則運(yùn)算簡(jiǎn)、技巧弱、難度小。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想 二次方程和不等式 二次函數(shù)由于初中的“二次函數(shù)”的問(wèn)題，歷年來(lái)都是中考的熱點(diǎn)，因此，我從用“數(shù)形結(jié)合”思維思想來(lái)談一談這些問(wèn)題。一、數(shù)形結(jié)合思想概述法國(guó)著名的自然辨證哲學(xué)家恩格斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學(xué)”。數(shù)學(xué)中兩大研究對(duì)象“數(shù)”與“形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在因素，數(shù)形結(jié)合是貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)展歷史長(zhǎng)河中的一條主線，并且使數(shù)學(xué)在實(shí)踐中的應(yīng)用更加廣泛和深入。一方面。借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化，給人以直覺(jué)的啟示。另一方面，將圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，以獲得精確的結(jié)論。這種“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡(jiǎn)潔明快，而且可以大大開(kāi)拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)辟一條重要的途徑因此，數(shù)形結(jié)合不應(yīng)僅僅作為一種解題方法而應(yīng)作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，它是將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的“橋”。而課堂教學(xué)中多媒體的應(yīng)用更有利于體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。有利于突破教學(xué)難點(diǎn)，有利于動(dòng)態(tài)地顯示給定的幾何關(guān)系，營(yíng)造愉快的課堂教學(xué)氣氛，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，愛(ài)學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)”與“形”作為數(shù)學(xué)中最古老最重要的兩個(gè)方面一直就是一對(duì)矛盾體。正如矛和盾總是同時(shí)存在一樣有“數(shù)”必有“形”，有“形”必有“數(shù)”。華羅庚先生曾說(shuō)：“數(shù)與形本是相倚依，怎能分作兩邊飛，數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體。永遠(yuǎn)聯(lián)系切莫分離!”寥寥數(shù)語(yǔ)，把數(shù)形之妙說(shuō)得淋漓盡致“數(shù)形結(jié)合”作為數(shù)學(xué)中的一種重要思想，它在初、高中都是解決許多問(wèn)題得重要思想，特別是在高中數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位，關(guān)于這一點(diǎn)，我們只要翻閱近年高考試卷就可以一目了然。在多年來(lái)的高考題中，數(shù)形結(jié)合應(yīng)用廣泛大多是“以形助數(shù)”，比較常見(jiàn)的是在解方程和不等式、求函數(shù)的最值問(wèn)題、求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)等問(wèn)題中，與此同時(shí)“數(shù)形結(jié)合”思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用在中、高考命題中解決問(wèn)題也成了必不可少的部分，也是平時(shí)學(xué)習(xí)二次函數(shù)解決應(yīng)用問(wèn)題的一個(gè)重點(diǎn)。巧妙運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想解題可以化抽象為具體，達(dá)到事半功倍的效果。二、二次函數(shù)與系數(shù)之間的關(guān)系（1）二次函數(shù)的一般式是：y=ax+bx+c,其中a0，此函數(shù)的對(duì)稱軸是 22a ， 頂點(diǎn)坐標(biāo)是2a4a 。（2）函數(shù)式中的參數(shù)a的正負(fù)決定開(kāi)口方向，當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向上，在對(duì)稱軸右邊的隨函數(shù)圖象y隨x的增大而增大，左邊的圖象y隨x的增大而減?。划?dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向下，在對(duì)稱軸右邊的函數(shù)圖象y值隨x的增大而減小，左邊的圖象y隨x的增大而增大，整個(gè)圖形是對(duì)稱的。然而a的大小決定了二次函數(shù)的開(kāi)口度的大小，a越大開(kāi)口度越小，a越小開(kāi)口度越大。（3）與x軸交點(diǎn)的情況。當(dāng)y=0時(shí)，是二次方程，當(dāng)0時(shí)，則此二次函數(shù)都與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)=0時(shí)，二次函數(shù)與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，二次函數(shù)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。（4）二次函數(shù)的表達(dá)式還有以下幾種：-b(-b,4ac-b2)=交點(diǎn)式：y=a（x-x1）（x-x2），其中a0，x1、x2是該函數(shù)y=0是的兩個(gè)根； 頂點(diǎn)式：y=a（x-k）+h，其中a0，而（k，h）是二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)。 x三、從方程的“數(shù)”到函數(shù)的“形”，以形象定性抽象的內(nèi)容例1:已知方程|x2 -4x+3|= m 有4個(gè)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍。【分析】此題并不涉及方程根的具體值，只求根的個(gè)數(shù)，而求方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求兩條曲線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題來(lái)解決。解：方程|x2 -4x+3|= m 根的個(gè)數(shù)問(wèn)題就是函數(shù)y= |x2 -4x+3|與y= m 函數(shù)圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。如圖所示：作出拋物線y= x2 -4x+3的圖像，將x軸下方的圖像沿x軸翻折上去，2 得到y(tǒng)= |x-4x+3|圖像，再作直線y = m ，如圖所示。由圖像可以看出，拋物線y= x2-4x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，-1），經(jīng)由x軸翻折后變成（2,1），所以當(dāng)0ml時(shí)，兩函數(shù)圖像有4個(gè)交點(diǎn)，故m的取值范圍是(0，1)。例2:確定函數(shù)y=x|x|一2|x|的單調(diào)區(qū)間。0，作出 0,f(3)= 9k+90,又因?yàn)?b/2a=-k介于-1與3之間,即-1-k3,且f (-k) =-k2+3k0同時(shí)成立, 解得-1k0,故k (-1,0)。例4：已知b,c為整數(shù)，方程5x2+bx+c=0的兩根都大于-1且小于0，求b和c的值。（99年初中聯(lián)賽）解：設(shè)f(x)=5x2+bx+c,則由題可知，此拋物線與x軸的交點(diǎn)設(shè)為（x1,0）和 （x2，0），其中-1x10，-1x20，并且開(kāi)口向上，畫出的大致圖像 （如圖所示），則有：0即0b-20cD22a100-f(-1)0c+5-b，00cf(0)10b020c所以b2c+5c2。 由、得20cb100,0c5,所以當(dāng)c=1時(shí)，有、得：0b6且b220，得b=5；2當(dāng)c=2時(shí)，0b7且b40，此時(shí)b無(wú)整數(shù)解；當(dāng)c=3時(shí)，0b8且b260，此時(shí)b無(wú)整數(shù)解；當(dāng)c=4時(shí)，0b9且b280，此時(shí)b無(wú)整數(shù)解；所以b=5，c=10。四、數(shù)形結(jié)合可以求得平移后的拋物線解析式，比較函數(shù)值的大小。 例1：如圖2，把此拋物線線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，則該拋物線對(duì)應(yīng)的解析式為： 。若把新的拋物線再向右平移2個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，則此時(shí)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為： 。解：1、由于是繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)不變，對(duì)稱軸不變，所以設(shè)原拋物線的解析式為：Y=a（x+1）2+4，又因?yàn)檫^(guò)了A點(diǎn)（1,0），帶入解析式得到：a=-1，所以原函數(shù)的解析式為：Y=-（x+1）2+4，故繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后，只有開(kāi)口變了，所以新函數(shù)的解析式為：Y=（x+1）2+4。2、因?yàn)閽佄锞€圖象的平移本質(zhì)上是把握點(diǎn)的平移。只要把握好規(guī)律，結(jié)合圖形的變換，做到做“+”右“-”，上“-”下“”這樣就很容易得到此時(shí)的函2數(shù)解析式：Y=（x-1）-1。例2：若（，），（，）是拋物線上（）（）上的兩點(diǎn)，則（填，或）。 變式：若（，），（，）是拋物線上（）（）上的兩點(diǎn)，則（填，或）。 變式：若（，），（，）是拋物線上（）（）上的兩點(diǎn)，當(dāng)取何值時(shí)，？解：因?yàn)?，開(kāi)口向上，又從圖中看到是函數(shù)的對(duì)稱軸，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與軸的交點(diǎn)在軸的負(fù)方向，所以，所以得出：當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小。因此：（）因?yàn)?，所以；（）因?yàn)椋?；（）要使，則，即是、關(guān)于對(duì)稱，所以就有：（），解得：，所以無(wú)論取何值，；很明顯，要得到，從圖像可知：在對(duì)稱軸的右側(cè)，則只要就行。五、從函數(shù)的“形”到方程的“數(shù)”，使推理判斷更準(zhǔn)確例1如圖，一小孩將一只皮球從A處拋出去，它所經(jīng)過(guò)的路線是某個(gè)二次函數(shù)圖像的一部分，如果他的出手處A距地面的距離OA為1m，球路的最高點(diǎn)B(8，9)，則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為 ，小孩將球拋出了約 米(精確到01m)。解：由題意和圖像可可知，設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-8)2 +9，將點(diǎn)A(0，1)代入，得a=-1/8。所以該二次函數(shù)的解析式為：y=-1/8(x-8)2+9=-1/8x2+2x+1,令y=0,則有-1/8x2+2x+1=0，解得：62，+62,所以C（88=A 0）, x16.5(米)O62+8=OC注：從“形”到“數(shù)”的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意觀察函數(shù)圖像的形狀特征，充分挖掘圖像的已知條件，確定函數(shù)的解析式，從而利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解。六、“數(shù)形結(jié)合”在二次函數(shù)中的綜合應(yīng)用例1：市“健益”超市購(gòu)進(jìn)一批20元千克的綠色食品，如果以30元千克銷售，那么每天可售出400千克由銷售經(jīng)驗(yàn)知，每天銷售量v(千克)與銷售單價(jià)x(元)(x30)存在如下圖所示的一次函數(shù)關(guān)系式。(1)試求出v與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)“健益”超市銷售該綠色食品每天獲得利潤(rùn)P元，當(dāng)銷售單價(jià)為何值時(shí)，每天可獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少?(3)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，該綠色食品每天可獲利潤(rùn)不超過(guò)4480元現(xiàn)該超市經(jīng)理要求每天利潤(rùn)不得低于4180元，請(qǐng)你幫助該超市確定綠色食品銷售單價(jià)x的范圍。解：(1)設(shè)y=kx+b，由圖像可知,1000=b200=b+40k-20,解得=k400=b+30k所以一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=-20x+1000,(30x50)。(2)p=(x-20)y=(x-20)(-20x+lO00) =-20x2+1400x-20000又因?yàn)閍=一200，所以P有最大值。(或通過(guò)配方，P一20(x一35) +4500，也可求得最大值)答：當(dāng)銷售單價(jià)為35元千克時(shí)，每天可獲得最大利潤(rùn)4500元。(3)因?yàn)?180-20(x-35)+45004480，1(x一35) 16，所以31x34或36x39。注：在解決二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要注意“由數(shù)想形，以形助數(shù)”的方法，充分挖掘題目中的已知條件，從而創(chuàng)造性地解決問(wèn)題。（-20）14004500元2=35時(shí)，pmax=當(dāng)x七、結(jié)語(yǔ)在學(xué)習(xí)二次函數(shù)中“數(shù)”、“形”并進(jìn)，讓學(xué)生見(jiàn)“數(shù)”想到“形”。見(jiàn)“形”不忘“數(shù)”。在數(shù)形轉(zhuǎn)化結(jié)合的過(guò)程中，必須遵循下述原則：轉(zhuǎn)化等價(jià)原則；數(shù)形互補(bǔ)原則；求解簡(jiǎn)單原則。當(dāng)然在在用數(shù)形結(jié)合的思想解決“二次函數(shù)”中的問(wèn)題時(shí)，還應(yīng)掌握以下幾點(diǎn)：1善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。2正確繪制圖形，以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。3切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以圖識(shí)性，以性識(shí)圖。總之，二次函數(shù)的問(wèn)題，在數(shù)形結(jié)合中來(lái)解決就顯得不是那么的難，都是“二次方程、不等式”的“數(shù)”與二次函數(shù)的“形”之間相互轉(zhuǎn)化的。數(shù)與形的結(jié)合就是解決二次函數(shù)，以及所有函數(shù)問(wèn)題得一雙慧眼。參考文獻(xiàn)：1 姚立新數(shù)形結(jié)合的