導(dǎo)數(shù)的概念（教學(xué)設(shè)計(jì)）VIP

1 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù) 的的 概概 念念 樊加虎 導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)中微積分的核心概念之一 是一種思想方法 這種思想方 法是人類(lèi)智慧的驕傲 導(dǎo)數(shù)的概念 這一節(jié)內(nèi)容 大致分成四個(gè)課時(shí) 我主要 針對(duì)第三課時(shí)的教學(xué) 談?wù)勎业睦斫馀c設(shè)計(jì) 敬請(qǐng)各位專(zhuān)家斧正 一 教材分析 1 1 編者意圖 導(dǎo)數(shù)的概念 分成四個(gè)部分展開(kāi) 即 曲線(xiàn)的切線(xiàn) 瞬 時(shí)速度 導(dǎo)數(shù)的概念 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 編者意圖在哪里呢 用前兩部分作 為背景 是為了引出導(dǎo)數(shù)的概念 介紹導(dǎo)數(shù)的幾何意義 是為了加深對(duì)導(dǎo)數(shù)的 理解 從而充分借助直觀來(lái)引出導(dǎo)數(shù)的概念 用極限思想抽象出導(dǎo)數(shù) 用函數(shù)思 想拓展 完善導(dǎo)數(shù)以及在應(yīng)用中鞏固 反思導(dǎo)數(shù) 教材的顯著特點(diǎn)是從具體經(jīng) 驗(yàn)出發(fā) 向抽象和普遍發(fā)展 使探究知識(shí)的過(guò)程簡(jiǎn)單 經(jīng)濟(jì) 有效 1 2 導(dǎo)數(shù)概念在教材的地位和作用 導(dǎo)數(shù)的概念 是全章核心 不僅在于它 自身具有非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)構(gòu) 更重要的是 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算是一種高明的數(shù)學(xué)思維 用 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算去處理函數(shù)的性質(zhì)更具一般性 獲得更為理想的結(jié)果 把運(yùn)算對(duì)象 作用于導(dǎo)數(shù)上 可使我們擴(kuò)展知識(shí)面 感悟變量 極限等思想 運(yùn)用更高的觀 點(diǎn)和更為一般的方法解決或簡(jiǎn)化中學(xué)數(shù)學(xué)中的不少問(wèn)題 導(dǎo)數(shù)的方法是今后全 面研究微積分的重要方法和基本工具 在在其它學(xué)科中同樣具有十分重要的作 用 在物理學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)等其它學(xué)科和生產(chǎn) 生活的各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用 導(dǎo) 數(shù)的出現(xiàn)推動(dòng)了人類(lèi)事業(yè)向前發(fā)展 1 3 教材的內(nèi)容剖析 知識(shí)主體結(jié)構(gòu)的比較和知識(shí)的遷移類(lèi)比如下表 表 1 知識(shí)主體結(jié)構(gòu)比較 對(duì) 象內(nèi) 容本 質(zhì)符號(hào)語(yǔ)言數(shù)學(xué)思想 曲線(xiàn) y f x 切線(xiàn)的斜率 割線(xiàn)斜率 的極限 0 lim x y k x 極限思想 現(xiàn)有 認(rèn)知 結(jié)構(gòu) 物體運(yùn)動(dòng)規(guī) 律 S s t 物體的瞬時(shí) 速度 平均速度 的極限 0 lim t s v t 極限思想 函數(shù)思想 最近 發(fā)展 區(qū) 函數(shù) y f x 導(dǎo)函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 平均變化 率的極限 0 lim x y y x 極限思想 函數(shù)思想 表 2 知識(shí)遷移類(lèi)比 導(dǎo)數(shù)像速度 2 已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)最近發(fā)展區(qū)相似點(diǎn) 物體在 t0時(shí)刻的速度 00 0 0 lim t s tts t v t 函數(shù) f x 在 x0處的導(dǎo)數(shù) 00 0 0 lim x f xxf x fx x 特指 常數(shù) 物體的任意時(shí)刻 t 的 速度 0 lim t s tts t v t 函數(shù) f x 在開(kāi)區(qū)間內(nèi) 0 lim x f xxf x y x 泛指 是函數(shù) 變 量 瞬時(shí)速度 一般說(shuō)成速度 導(dǎo)函數(shù) 一般說(shuō)成導(dǎo)數(shù) 名稱(chēng)對(duì)應(yīng) 泛指 v v t xfy 關(guān)系對(duì)應(yīng) v0 v t t0 00 xxyxf 求法對(duì)應(yīng) 位移對(duì)時(shí)間的變化率函數(shù)對(duì)自變量的變化率本質(zhì)對(duì)應(yīng) 通過(guò)比較發(fā)現(xiàn) 求切線(xiàn)的斜率和物體的瞬時(shí)速度 這兩個(gè)具體問(wèn)題的解決 都依賴(lài)于求函數(shù)的極限 一個(gè)是 微小直角三角形中兩直角邊之比 的極限 一 個(gè)是 位置改變量與時(shí)間改變量之比 的極限 如果舍去問(wèn)題的具體含義 都可 以歸結(jié)為一種相同形式的極限 即 平均變化率 的極限 因此以?xún)蓚€(gè)背景作為新 知的生長(zhǎng)點(diǎn) 不僅使新知引入變得自然 而且為新知建構(gòu)提供了有效的類(lèi)比方 法 1 4 重 難點(diǎn)剖析 重點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的概念的形成過(guò)程 難點(diǎn) 對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解 為什么這樣確定呢 導(dǎo)數(shù)概念的形成分為三個(gè)的層次 f x 在點(diǎn) x0可導(dǎo) f x 在開(kāi)區(qū)間 b 內(nèi)可導(dǎo) f x 在開(kāi)區(qū)間 b 內(nèi)的導(dǎo)函數(shù) 導(dǎo)數(shù) aa 這三個(gè)層次是一個(gè)遞進(jìn)的過(guò)程 而不是專(zhuān)指哪一個(gè)層次 也不是幾個(gè)層次的簡(jiǎn) 單相加 因此導(dǎo)數(shù)概念的形成過(guò)程是重點(diǎn) 教材中出現(xiàn)了兩個(gè) 導(dǎo)數(shù) 兩個(gè)可 導(dǎo) 初學(xué)者往往會(huì)有這樣的困惑 導(dǎo)數(shù)到底是個(gè)什么東西 一個(gè)函數(shù)是不是有 兩種導(dǎo)數(shù)呢 導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是怎么統(tǒng)一的 事實(shí)上 1 f x 在點(diǎn) x0處的 導(dǎo)數(shù)是這一點(diǎn) x0到 x0 x 的變化率的極限 是一個(gè)常數(shù) 區(qū)別于導(dǎo)函數(shù) x y 3 2 f x 的導(dǎo)數(shù)是對(duì)開(kāi)區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn) x 而言 是 x 到 x x 的變化率的極限 是 x y f x 在任意點(diǎn)的變化率 其中滲透了函數(shù)思想 3 導(dǎo)函數(shù)就是導(dǎo)數(shù) 是特殊 的函數(shù) 先定義 f x 在 x0處可導(dǎo) 再定義 f x 在開(kāi)區(qū)間 b 內(nèi)可導(dǎo) 最后a 定義 f x 在開(kāi)區(qū)間的導(dǎo)函數(shù) 4 y f x 在 x0處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在 x f x x0處的函數(shù)值 表示為這也是求 f x0 的一種方法 初學(xué)者最難理解 0 xxy 導(dǎo)數(shù)的概念 是因?yàn)槌鯇W(xué)者最容易忽視或混淆概念形成過(guò)程中幾個(gè)關(guān)鍵詞的區(qū) 別和聯(lián)系 會(huì)出現(xiàn)較大的分歧和差別 要突破難點(diǎn) 關(guān)鍵是找到 f x 在點(diǎn) x0可 導(dǎo) f x 在開(kāi)區(qū)間的導(dǎo)函數(shù) 和 導(dǎo)數(shù) 之間的聯(lián)系 而要弄清這種聯(lián)系的最好方 法就是類(lèi)比 用 速度與導(dǎo)數(shù) 進(jìn)行類(lèi)比 二 目的分析 2 1 學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn) 在知識(shí)方面 對(duì)函數(shù)的極限已經(jīng)熟悉 加上兩個(gè)具 體背景的學(xué)習(xí) 新知教學(xué)有很好的基礎(chǔ) 在技能方面 高三學(xué)生 有很強(qiáng)的概 括能力和抽象思維能力 在情感方面 求知的欲望強(qiáng)烈 喜歡探求真理 具有 積極的情感態(tài)度 2 2 教學(xué)目標(biāo)的擬定 鑒于這些特點(diǎn) 并結(jié)合教學(xué)大綱的要求以及對(duì)教材的 分析 擬定如下的教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)目標(biāo) 理解導(dǎo)數(shù)的概念 掌握用定義求導(dǎo)數(shù)的方法 領(lǐng)悟函數(shù)思想和無(wú)限逼近的極限思想 能力目標(biāo) 培養(yǎng)學(xué)生歸納 抽象和概括的能力 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)表示和數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力 情感目標(biāo) 通過(guò)導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí) 使學(xué)生體驗(yàn)和認(rèn)同 有限和無(wú)限對(duì)立統(tǒng) 一 的辯證觀 點(diǎn) 接受用運(yùn)動(dòng)變化的辯證唯物主義思想處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的積極態(tài)度 三 過(guò)程分析 設(shè)計(jì)理念 遵循特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律 結(jié)合可接受性和可操作性原則 把教學(xué)目標(biāo)的落實(shí)融入到教學(xué)過(guò)程之中 通過(guò)演繹導(dǎo)數(shù)的形成 發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程 幫助學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)概念 引引導(dǎo)導(dǎo)激趣激趣概括抽象概括抽象互互動(dòng)導(dǎo)標(biāo)動(dòng)導(dǎo)標(biāo)類(lèi)類(lèi)比拓展比拓展 分分層層作作業(yè)業(yè)引引導(dǎo)導(dǎo)小小結(jié)結(jié)回回歸歸體體驗(yàn)驗(yàn)概念概念導(dǎo)導(dǎo)析析 4 3 1 引導(dǎo)激趣 設(shè)計(jì)意圖 創(chuàng)設(shè)情景 提出課題 演示曲線(xiàn)的割線(xiàn)變切線(xiàn)的動(dòng)態(tài)過(guò)程 為學(xué) 生提供一個(gè) 聯(lián)想的 源 從變量分析的角度 巧妙設(shè)問(wèn) 把學(xué)習(xí)任務(wù)轉(zhuǎn)移給學(xué)生 p x y o x y Y f x M 割線(xiàn) 切切線(xiàn)線(xiàn) 演示 曲線(xiàn)的切線(xiàn) x0 y0 x y 0 0 問(wèn)題 割線(xiàn)的變化過(guò)程中 x 與 y 有什么變化 有什么含義 在 x 0 時(shí)是否存 x y x y 在極限 3 2 概括抽象 設(shè)計(jì)意圖 回顧實(shí)際問(wèn)題 抽象共同特征 自然提出 f x 在 x0處可導(dǎo)的 定義 完成 導(dǎo) 數(shù) 概念的第一層次 曲線(xiàn)的切線(xiàn)的斜率 抽象舍去問(wèn)題的具體含義 5 歸結(jié)為一種形式相同的極限 即 0 lim x y x f x0 0 lim x y x 000 0 lim x f xxf x x 在黑板上清晰完整的板書(shū)定義 并要求學(xué)生表述 書(shū)寫(xiě) 以培養(yǎng)學(xué)生的 數(shù)學(xué)符號(hào)表示和數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力 3 3 互動(dòng)導(dǎo)標(biāo) 設(shè)計(jì)意圖 設(shè)置兩個(gè)探究問(wèn)題 分析不同結(jié)果的原因 并引導(dǎo)學(xué)生提出 新的問(wèn)題或猜想 鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)交流 激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的熱情 從 而找到推進(jìn)解決問(wèn)題的線(xiàn)索 提出 f x 在開(kāi)區(qū)間 b 內(nèi)可導(dǎo)的定義 a 完成 導(dǎo)數(shù)概念 的第二個(gè)層次 研究 函數(shù) y 2x 5 在下列各點(diǎn)的變化率 1 x 1 2 x 2 3 x 3 研究 函數(shù) y x2 在下列各點(diǎn)的變化率 1 x 1 2 x 2 3 x 3 定義 函數(shù) f x 在開(kāi)區(qū)間 b 內(nèi)每一點(diǎn)可導(dǎo) 就說(shuō) f x 在開(kāi)區(qū)間 b 內(nèi)aa 可導(dǎo) 3 4 類(lèi)比拓展 設(shè)計(jì)意圖 回顧 瞬時(shí)速度的概念 滲透類(lèi)比思想和函數(shù)思想 讓學(xué)生產(chǎn) 生聯(lián)想 拓展出 f x 在開(kāi)區(qū)間 b 內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)的定義 完成 導(dǎo)數(shù) 概念a 的第三層次 已有認(rèn)知 物體在時(shí)刻 t0的速度 00 0 00 limlim tt s tts ts v tt 物體在時(shí)刻 t 的速度 00 limlim tt ss tts t v tt 新認(rèn)知 函數(shù) f x 在開(kāi)區(qū)間 b 內(nèi)每一點(diǎn)可導(dǎo) 就說(shuō) f x 在開(kāi)區(qū)間 b 內(nèi)可導(dǎo) aa 點(diǎn)撥 映射 函數(shù) 對(duì)于 b 內(nèi)每一個(gè)確定的值 x0 對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值 這a 0 x f 樣就在開(kāi)區(qū)間 b 內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)a 導(dǎo)函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 00 limlim xx yf xxf x fxy xx 6 3 5 概念導(dǎo)析 設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生用辨析和討論的方式 反思導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)質(zhì) 從而 突破難點(diǎn) 促成學(xué)生形成合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu) 辨析 1 f x0 與相等嗎 0 f x 2 與 f x0 相等嗎 試討論 f x0 與 00 0 2 lim x f xxf x x 區(qū)別與聯(lián)系 x f 反思 f x 在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù) f x 在開(kāi)區(qū)間 b 內(nèi)的導(dǎo)函數(shù) 和 導(dǎo)a 數(shù) 之間的區(qū)別和聯(lián)系 板書(shū) 導(dǎo)數(shù)概念主體結(jié)構(gòu)示意圖 f x 在點(diǎn) x0處可導(dǎo) f x 在開(kāi)區(qū)間 b 內(nèi)可導(dǎo)a f x 在開(kāi)區(qū)間 b 內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)a 導(dǎo)數(shù) 3 6 回歸體驗(yàn) 體現(xiàn) 導(dǎo)數(shù) 的應(yīng)用價(jià)值 設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)隨堂提問(wèn)和討論例題 增強(qiáng)師生互動(dòng) 讓學(xué)生在 做 中 學(xué) 體驗(yàn)求導(dǎo)的結(jié)果表示的實(shí)際意義 體驗(yàn)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的作用 體會(huì)用導(dǎo)數(shù)定 義求導(dǎo)的兩種方法 產(chǎn)生認(rèn)可和接受 導(dǎo)數(shù) 的積極態(tài)度 并養(yǎng)成規(guī)范使用數(shù)學(xué)符 號(hào)的習(xí)慣 想一想 1 導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是什么 你能用今天學(xué)過(guò)的方法去解決上次課 的問(wèn)題嗎 第 109 頁(yè)練習(xí) 1 2 第 111 頁(yè)練習(xí) 1 2 有什么感想 2 切線(xiàn)的斜率 物體的瞬時(shí)速度 的本質(zhì)都是什么 怎樣表示 k 或 k 00 xxyxf x f v0 或 v 00 ttsts ts 7 3 導(dǎo)數(shù)還可以解決實(shí)際生活中那些問(wèn)題 你能舉例說(shuō)明嗎 例題 A 組 已知 S r2 求 r S 已知 V 求 3 4 3 R R V 已知 y x2 3x 求 1 2 求 x 2 y y 例題 B 組 已知 求 并思考的定義域與函數(shù)在開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)的yx y y 意義 3 7 引導(dǎo)小結(jié) 設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我小結(jié) 用聯(lián)系的觀點(diǎn)將新學(xué)內(nèi)容在知識(shí)結(jié)構(gòu) 思想方法等 方面進(jìn)行概括 鞏固新知 形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu) 知識(shí)結(jié)構(gòu) 1 導(dǎo)數(shù)的概念 語(yǔ)言表達(dá) 符號(hào)表示 f x 在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)函數(shù) 和 導(dǎo)數(shù) 之間的聯(lián)系和區(qū)別 2 主要數(shù)學(xué)思想 極限思想 函數(shù)思想 3 用定義求導(dǎo)的方法 步驟 4 導(dǎo)數(shù)的作用 3 8 分層作業(yè) 設(shè)計(jì)意圖 注意雙基訓(xùn)練與發(fā)展能力相結(jié)合 設(shè)計(jì)遞進(jìn)式分層作業(yè)以滿(mǎn)足不 同學(xué)生的多樣化學(xué)習(xí)需求 使他們得到最全面的發(fā)展 把教材的第 112 頁(yè)的關(guān)于 可導(dǎo)必連續(xù) 的命題調(diào)整為選做題既不影響主體知識(shí)建構(gòu) 又能滿(mǎn)足學(xué)生的進(jìn)一 步的探究需求 必 做 題 1 教材第 114 頁(yè) 第 2 3 4 題 2 若 f x0 a 1 求的值 000 0 lim x f xxf x x 8 2 求的值 00 0 lim x f xxf xx x 思 考 題 1 已知 y x3 求 1 2 x 0 3 求曲線(xiàn)在 0 0 處的切 y y 線(xiàn)方程 2 討論 y x 在 x 0 處是否可導(dǎo) 選 做 題 求證 如果函數(shù) y f x 在 x0處可導(dǎo) 那么函數(shù) y f x 在點(diǎn) x0處連續(xù) 四 教法分析 依據(jù) 循序漸進(jìn)原則和可接受原則 設(shè)計(jì)理念 把教學(xué)看作是一個(gè)由教師的 導(dǎo) 學(xué)生的 學(xué) 及其教學(xué)過(guò)程中的 悟 為三個(gè)子系統(tǒng)組成的多要素的和諧整體 教法 支架式過(guò)程法 即 b 學(xué)習(xí)a 教師啟發(fā) 誘導(dǎo) 激勵(lì) 評(píng)價(jià)等為學(xué)生的學(xué)習(xí)搭建支架 把學(xué)習(xí)的任a 務(wù)轉(zhuǎn)移給學(xué)生 b 學(xué)生接受任務(wù) 探究問(wèn)題 完成任務(wù) b 以問(wèn)題為核心 通過(guò)對(duì)知識(shí)的發(fā)生 發(fā)展和運(yùn)用過(guò)程的演繹 揭示a 和探究 組織和推動(dòng)教學(xué) 圖 3 b 導(dǎo) 學(xué) 悟 教 學(xué) 學(xué)習(xí)a 圖 4 導(dǎo) 悟 學(xué) 啟 接 發(fā) 受 問(wèn)題 誘 組 推 探 導(dǎo) 織 動(dòng) 究 循序漸進(jìn)原則 知識(shí)的發(fā)生 發(fā)展 運(yùn)用 9 激 完 勵(lì) 成 可接受原則 認(rèn)知規(guī)律 4 1 導(dǎo) 引導(dǎo)學(xué)生用變量觀點(diǎn)去認(rèn)識(shí) x y和 x y 引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的思想去認(rèn)識(shí) f x0 向 f x 拓展的過(guò)程 引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系的觀點(diǎn)弄清導(dǎo)數(shù)概念之間的區(qū)別和聯(lián)系 學(xué) 通過(guò)具體的導(dǎo)數(shù)背景提出問(wèn)題 通過(guò)類(lèi)比 聯(lián)想分析問(wèn)題 通過(guò)交流 體驗(yàn) 反思解決問(wèn)題 悟 通過(guò)教師的 導(dǎo) 學(xué)生的 學(xué) 悟 出導(dǎo)數(shù)的本質(zhì) 4 2 借助多媒體顯示直觀 體現(xiàn)過(guò)程的優(yōu)勢(shì)來(lái)展示割線(xiàn)的動(dòng)態(tài)變化 向?qū)W 生滲透無(wú)限逼近的極限思想 為抽象出導(dǎo)數(shù)的概念作必要的準(zhǔn)備 4 3 板書(shū)設(shè)計(jì) 3 1 3 導(dǎo)數(shù)的概念 主線(xiàn) 1 定義 函數(shù) y